【章概览】三角函数

三角函数——章概览1．本章的知识结构和研究脉络是怎样的？本章的知识结构如下图所示：三角函数是特殊的函数，与指数函数、对数函数、幂函数等并列，是函数的下位知识，因此本章是按照研究一类函数的路径展开的：分析实际问题，抽象得出概念、绘制函数图象、探索发现性质、函数应用等．但是三角函数内容较多，关系较其他函数复杂，与其他函数相比，具体的路径又有变化．首先在形成定义之前，需要将角的范围从0°~360°拓展到任意角，并引入弧度制将角的大小用实数表示．做好这些铺垫，才能学习三角函数的概念．第二，三角函数的概念及其性质．三角函数种类较多，高中要学习正弦函数、余弦函数和正切函数．而且三角函数的定义不同于其他函数，是借助于单位圆给出的，是几何定义．因此借助于单位圆的几何性质可以找到三角函数的多重性质，包括：同角三角函数关系，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推论．可见这些性质是圆的几何性质的代数化．第三，三角函数的图象与性质．它不同于第二点中所述的三角函数的性质，是函数变化过程中不变的规律，包括单调性、奇偶性（对称性）、最大（小）值、周期性等等．第四，掌握了三角函数之后，就可以应用它解决问题了．按照如下的路径展开：事实（周期性现象）——角与弧度——数学对象（三角函数的定义）——图象与性质（周期性、单调性、奇偶性、最大值与最小值等）——三角恒等变换——联系——应用”．其中，“角与弧度”是刻画圆周运动的预备知识，而“三角恒等变换”是三角函数的特殊研究内容．2．依据课标，本章的定位、核心素养、思想方法、育人价值是怎样的？在课标中“三角函数”属于必修主题二“函数”中的内容，函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，而三角函数是用来刻画现实世界中周期变化现象，是一类最典型的周期函数．本章是多种数学素养培养的载体，具体可以用下表表示：核心素养载体数学抽象任意角、弧度制、三角函数概念的形成数学建模三角函数概念的形成、函数y=Asin（ωx+φ）、三角函数的应用直观想象诱导公式、三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）逻辑推理诱导公式、三角恒等变换数学运算诱导公式、三角函数的图象与性质、三角恒等变换本章蕴含着丰富的数学思想方法，特别是分类讨论、数形结合和化归转化，等．在研究过程中，充分应用了类比、联系、推广、化归等数学研究中的常用方法．比如，通过类比长度、重量的不同度量单位引入弧度制；联系一般函数性质的研究思路引出研究三角函数性质的思路；在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法；研究函数y=Asin（ωx+φ）的图象，按照y＝sinx→y＝sin（x+φ）→y＝sin（ωx+φ）→y=Asin（ωx+φ）的线索展开，体现了从简单到复杂，由特殊到一般的思想方法．三角函数是学生在高中阶段系统学习的最后一个基本初等函数，通过本章的学习，学生能进一步理解函数是刻画现实世界规律的重要模型，能巩固并丰富研究函数的方法，提升学生的数学思维水平．3．本章知识与其他知识之间有什么联系？怎样把握教学的深度和广度？首先，三角函数是刻画周期现象的数学模型，那么它与初中学习的锐角三角函数是什么关系？锐角三角函数，是用直角三角形边长的比来刻画的，它与“解三角形”有直接关系．而任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系．但是按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦、余弦、正切，与按本章三角函数定义求得的值相等．第二，三角函数自身的内容，在本章将完整地学习，并且要达到对三角函数概念本质的理解，准确掌握图象、性质和公式，这样在后续其他主题中才能灵活地应用．第三，三角函数与其他学科有紧密联系．由于周期现象在现实中广泛存在，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、音乐、潮汐、波浪、四季变化、生物钟等，这些是物理、地理、生物、天文等其他学科研究的对象，因此教学中应充分利用学生的生活经验以及其他学科的知识，使三角函数的学习建立在丰富的背景上．从学生的实际来看，由于可能会缺乏某些学科知识，因此在教学中要注意借助信息技术形象化地说明周期变化．4．本章的学习目标有哪些？根据课标，本章的学习目标如下：（1）角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．（2）三角函数概念和性质①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（π±②借助图象理解正弦函数在[0，2π]上、余弦函数在[-π，π]上、正切函数在（-③结合具体实例，了解y=Asin（ωx+φ）的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．（3）同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，．（4）三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，不要求记忆这三组公式）．（5）三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．5．三角函数是刻画哪一类变化规律的？其定义的形成有什么改变？三角函数是刻画事物周期变化规律的数学模型．大纲版的教科书中，任意角的三角函数是通过终边上点的坐标比定义的．2003版课标的教科书中，三角函数的概念是由锐角三角函数的定义推广得到的．2017版课标的教科书中，是直接从建立周期现象的数学模型出发，利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数．并且是直接利用圆周运动进行定义的，突出了三角函数的本质．首先，圆周运动是周期性变化现象的典型代表，选择单位圆上点的圆周运动作为载体是不失一般性的，这是一个数学抽象的过程；第二，用单位圆上运动的点的坐标定义正弦函数、余弦函数，清楚地表明了正弦函数、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系；第三，如果α是弧度数，即∠xOP=αrad，那么正弦函数、余弦函数就是关于任意实数α的函数，这时的自变量和函数值都是实数，这就与函数的一般概念完全一致了．6．单位圆在这一章的研究中起着怎样的作用？在任意角、任意角的三角函数、三角函数的性质（周期性，单调性、最大值、最小值等）、同角三角函数的关系式、诱导公式、三角函数的图象、两角差的余弦公式等，都可以借助单位圆得到认识，这也是人们把三角函数称作“圆函数”的原因．首先，在引进弧度制时就渗透了单位圆，并在讲三角函数概念之前给出单位圆概念，然后直接由单位圆引出三角函数定义．接着，三角函数诱导公式是圆的特殊对称性的代数化．先利用单位圆的对称性发现新的角，然后利用单位圆上对称点的坐标的关系来发现诱导公式，因此诱导公式二～公式六都与单位圆上的对称图形（即角的终边的对称性）联系在一起，从而使这五组公式形成一个有机整体．再者，两角差的余弦公式是利用单位圆的旋转对称性（任意一个圆绕着圆心旋转任意角后都与原来的圆重合的性质）进行推导．首先以单位圆的圆心为顶点、x轴的非负半轴为始边画出角α，β，α－β，然后根据三角函数的定义写出角α，β，α－β的始边和终边与单位圆的交点A，P1，A1，P的坐标，接下来，利用圆的旋转对称性，得到等量关系：AP=A1P1，最后根据两点间的距离公式得到两角差的余弦公式．可见，以单位圆的几何直观为纽带，将三角恒等变换与整个三角函数内容融为一体．7．本章中众多公式之间的关系是怎样的？可以说本章中其他公式都是两角差的余弦公式的推论．如图所示．（1）从两角差的余弦公式，通过整体代换，可以推导出两角和的余弦公式，进而得到两角和与差的正弦、正切公式．（2）在两角和的正弦、余弦和正切公式中，令角α，β相等，可以得到相应的二倍角公式，以及这些公式的变式．（3）在两角和与差的公式中，给角α或β赋特值，就可以得到诱导公式，即诱导公式是特殊的两角和的正弦、余弦、正切公式．（4）从两角差的余弦公式中，令α=β可以得到同角三角函数关系．可见，和角、差角、倍角的三角函数及同角三角函数关系、诱导公式之间存在紧密的内在联系，要善于运用数学内在的逻辑关系展开探索发现，比如你可以沿着上述的知识结构图进一步探索，还可以拓展研究思路和办法，比如对它们进行运算，一定会有意外的惊喜．这是学数学的方法之一，也是乐趣所在．8．与2003年课标下的教科书相比，本章内容主要有哪些变化？与按照2003年颁布的课程标准编写的教科书相比，本章内容主要有如下一些变化：（1）弧度制：强调引入弧度制的必要性，加强了用初中已学的弧长与半径的关系解释弧度制定义的合理性；（2）三角函数的定义：直接从建立周期现象的数学模型出发，利用单位圆上点的坐标定义三角函数，然后再建立与锐角三角函数的联系；（3）正弦线、余弦线和正切线：根据《课程标准（2017年版）》的设置，删除正弦线、余弦线和正切线；（4）诱导公式：从单位圆关于原点、坐标轴、直线y=x等的对称性出发探究诱导公式，即通过把圆的对称性“代数化”，获得诱导公式；（5）正弦函数的图象：体现函数图象与三角函数定义之间内在的逻辑联系——图象是函数的一种表示法，先根据定义画出任意一点，掌握了任意一点的作法原理后，通过选择具体的、足够多的点进行描点，最后借助技术描任意多的点，连续成线画三角函数的图象，这里加强了信息技术的应用；（6）三角恒等变换：一以贯之地强调单位圆的作用，两角差的余弦公式利用圆的旋转对称性导出；（7）函数y=Asin（ωx+φ）：为体现数学建模的过程，在本节的开始先借助筒车运动的实际背景探究匀速圆周运动的函数模型，体现函数y=Asin（ωx+φ）的现实背景，然后借助信息技术研究参数A，ω，φ对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响，最后以摩天轮为实际背景，应用这个模型解决典型的周期性变化的实际问题；（8）三角函数的应用：体现三角函数应用的层次性，有关三角函数应用的问题大致分成三类：第一类是匀速圆周运动的问题，如筒车匀速圆周运动的问题；第二类是弹簧振子、交变电流等物理学中的周期性现象的刻画；第三类是现实生活中仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的问题，如温度随时间呈周期性变化的问题，港口海水深度随时间呈周期性变化的问题．与原教科书一样，本章仍然强调三角函数作为刻画现实世界中一类周期变化现象的数学模型，借助单位圆理解三角函数的概念、性质，以及通过建立三角函数模型解决实际问题等，强调“削枝强干”．因此，教学中应把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用上．9．数学建模与数学应用的差异是什么？以“函数y=Asin（ωx+φ）”为例解释．数学建模是对于所研究的变化现象的规律是什么还不确定的情况下，通过探索，发现变量之间的关系，并将实际问题转化为数学问题研究，再将研究结果返回到实践中进行检验，如果与实际相符合，那么所求关系，即为针对此类问题建立的数学模型，否则进行校正修改，依次进行前述的过程，直到形成恰当的数学模型．本章“5.6函数y=Asin（ωx+φ）”就是典型的数学建模范例．即数学建模遵循如下的流程：5.6函数QUOTEy=Asinωx+φy=Asin（ωx+φ）1．本节课的研究路径是怎样的？实际问题（水车模型）→数学模型（函数QUOTEy=Asinωx+φy=Asin（ωx+φ））→函数QUOTEy=Asinωx+φy=Asin（ωx+φ）的图象→规则应用→模型应用．2．本节课的定位是怎样的？对函数QUOTEy=Asinωx+φy=Asin（ωx+φ）的研究是怎样展开的？本节名称“函数QUOTEy=Asinωx+φy=Asin（ωx+φ）”就明确给出了定位：研究一个新的函数QUOTEy=Asinωx+φy=Asin（ωx+φ），它与三角函数、指数对数函数等地位等同的函数，而不是三角函数的一个附属品．函数是刻画现实世界变化规律的重要的数学模型，本节课又选择了水车这个实际问题作为背景，更突显了函数的这一特点，因此，这节课是数学建模的一个典范．基于这样的定位，我们要按照研究函数的系统方法进行研究，其途径如1所述．但是因为在前面已经渗透了对函数QUOTEy=Asinωx+φy=Asin（ωx+φ）性质的研究，因此本节课重点研究函数的图象，及模型的应用．3．本节课中“水车问题”与“摩天轮问题”定位有何不同？解决办法有什么联系？“水车问题”是建立数学模型的实际背景，水车的运动规律有怎样的函数刻画，学生可能有所感觉——与三角函数有关，但解析式却是未知的，因此在探索过程中只能引导学生寻找“与盛水桶运动有关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？”然后利用三角函数的定义，找到变量之间的关系，建立函数模型．“摩天轮问题”是函数模型建立后的应用，因此对其分析重在化归与转化，即先分析“摩天轮上的座舱运动可以近似地看做质点在圆周上作匀速圆周旋转”吗？经过比较，认为可以，于是确定“摩天轮问题”可以用函数QUOTEy=Asinωx+φy=Asin（ωx+φ）刻画，是该函数模型的应用．接下来根据三个参数A，ω，φ的意义，结合情境确定它们的值即可．可见两个问题的定位不一样，解法不同，前者是建模的基础，后者是模型的应用．4．之前研究过含有三个参数的函数吗？是怎样研究的？对本节课的研究有什么启示？初中学习过的二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）．对二次函数的研究，具体的操作办法是“控制变量法”．具体的研究路径是：令h=k=0→研究a对函数y=ax²图象的影响，从特殊到一般进行归纳：令a=2，3等→画出函数y=2x²，y=3x²等的图象→归纳得出y=ax²（a＞1）图象特征；类似地，归纳得出y=ax²（a＜1且a≠0）图象特征．再控制变量，令k=0，研究h对函数y=a（x－h）²图象的影响，取a=2，归纳出函数y=a（x－h）²的图象特征．类似地，研究k对函数y=a（x－h）²+k图象的影响，可以采用与上面类似的办法．这个研究经历了：特殊→一般→再特殊→一般……这样的过程．函数QUOTEy=Asinωx+φy=Asin（ωx+φ）中也含有三个参数，因此可以采用类似的“控制变量法”．这种梳理已有知识经验，确定新问题的解决办法的思路，也体现在数学学习中要注重应用一类问题的研究方法的意识和能力．5．在“水车问题”中φ的物理意义是什么？如何利用其物理意义，判断函数QUOTEy=Asinωx+φy=sinx与函数QUOTEy=Asinωx+φy=sin（x+φ）上对应点的位置关系？在“水车问题”中φ表示筒车运动的起点．如图（1）．（1）（1）先以φ=为例解释．（1）在半径为1的水车上，筒车以单位角速度运动，如果动点P0以Q0为起点，对应的函数关系为y=sinx．从行程的角度来理解，此时，点P的运动速度为1rad/s，因此xs走过的路程为xrad，xs后运动到点P，它的纵坐标y=sinx，于是就得到正弦函数y=sinx的图象的点F（x，y）．（2）在半径为1的水车上，筒车以单位角速度运动，将起点Q0绕O1旋转到Q1，让动点P1以Q1为起点，按照与P0一样的方式运动，得到的函数是y＝sin（x＋）．按照行程问题来思考．此时运动的速度没有改变，还是为1rad/s，只是起点变了，从点Q1按照逆时针方向运动到点P，路程变为（x-），因此需要的时间为：（x-）．所以对应的函数y＝sin（x＋）图象上点G的坐标是（x-，y）．即将点F向左平移个单位得到点G．（3）根据两个函数图象上任意点的变化关系，可知从函数y=sinx的图象得到函数y＝sin（x＋）的图象：只需要将函数y=sinx的图象向左平移个单位即可．（4）对于函数y=sinx的图象得到函数y＝sin（x＋φ）的图象之间的关系可以类比理解．6．在“水车问题”中ω的物理意义是什么？如何利用其物理意义，判断函数y=sin（x+φ）与函数QUOTEy=Asinωx+φy=sin（ωx+φ）上对应点的位置关系？在“水车问题”中ω表示筒车运动的角速度．如图（2），以ω=2为例解释．（2）（2）（1）在半径为1的水车上，筒车以Q1为起点，以角速度ω=1运动，对应的函数关系是y＝sin（x＋）．假设从点Q1按照逆时针方向运动到点P，需要的时间是x，那么对应函数图象上的点G（x，y）．（2）在半径为1的水车上，筒车以Q1为起点，以角速度ω=2运动，对应的函数关系是y＝sin（2x＋）．按照行程问题来思考．此时运动的速度为2rad/s，是原来的2倍．运动的起点和终点不变，依然是从点Q1按照逆时针方向运动到点P，路程没有改变，因此需要的时间变为原来的，即为：，因此对应函数图象y＝sin（2x＋）上的点K（，y）．即将点G的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到点K．（3）根据两个函数图象上任意点的变化关系，可知从函数y=sin（x＋）的图象得到函数y＝sin（2x＋）的图象：只需要将函数y=sin（x＋）的图象上点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变即可．（4）对于函数y=sin（x＋）的图象得到函数y＝sin（ωx＋）的图象之间的关系可以类比理解．7．在“水车问题”中A的物理意义是什么？如何利用其物理意义，判断函数y=sin（ωx+φ）与函数QUOTEy=Asinωx+φy=Asin（ωx+φ）上对应点的位置关系？在“水车问题”中A表示筒车的半径．如图（3），以A=2为例解释．（3）（3）（1）在半径为1的水车上，筒车以Q1为起点，以角速度ω=2运动，对应的函数关系是y＝sin（2x＋）．假设从点Q1按照逆时针方向运动到点P，需要的时间是x，那么对应函数图象上的点K（x，y）．（2）在半径为2的水车上，筒车以Q1为起点，以角速度ω=2运动，对应的函数关系是y＝2sin（2x＋）．假设从点Q1按照逆时针方向运动，运动时间为x，因为与（1）中的运动具有相同的角速度，所以由图（3）可知，筒车运动到点T，那么对应函数图象上的点N（x，2y）．即将点K的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到点N．（3）根据两个函数图象上任意点的变化关系，可知从函数y=sin（2x＋）的图象得到函数y＝2sin（2x＋）的图象：只需要将函数y=sin（2x＋）的图象上点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍即可．（4）对于函数y=sin（2x＋）的图象得到函数y＝Asin（2x＋）的图象之间的关系可以类比理解．8．借助筒车模型，如何理解从函数y=sinωx的图象变换到函数y=sin（ωx+φ）的图象的平移单位是？（1）根据ω，φ的物理意义可知两个函数描述的运动分别是：（1）函数y=sinωx描述的筒1运动是以水平位置Q0为起点，角速度为ω．（1）函数y=sin（ωx+φ）描述的筒2运动是以Q1为起点，角速度为ω．（2）从行程问题的角度分析．筒1与筒2的运动速度相等，起点不同，若终点都是点P，那么筒2的路程比筒车1的路程少|φ|个单位．如果筒1从点Q0运动点P所用时间为x，那么筒2从点Q1运动点P所用时间应该少：．即如果在函数y=sinωx的图象上有一点M（x，y），那么在函数图象y=sin（ωx+φ）图象上有一点N（x-，y）．即点N是由点M向左平移个单位得到的．9．“5.6函数QUOTEy=Asinωx+φy=Asin（ωx+φ）”教学建议．本节是典型的数学建模课，因此教学过程要充分体现数学建模的思想方法，提升学生的数学建模核心素养．首先是实际问题（水车问题）抽象成数学问题：将水车看做圆，将筒看做质点．并最终抽象成一个数学问题，提升学生数学抽象核心素养．第二，根据三角函数定义