人教版八年级数学上册《最短路径问题》专项课时练习及解析-试题

新人教版学八年级上13.4课题习短路径问题时练习一、选择题（共15小）1图直坐标系中有线段AB＝到轴距离分别为10cm和40cmB点y轴距离为30cm，现在在x轴y轴分别有动点P、，四边形的长最短时，则这个值为（）A．50B．50

C．50D．50＋50答案：知识点：坐标与图形性质；勾股定理；轴对最路线问题解析：解答过B点BMy轴y轴E点取EMBEA点ANx轴交x轴点截取NF＝，接MN交xy分别为P，点过M点作MK⊥x轴，过N点NKy轴两线交于K点．MK＝40＋＝，作BL⊥轴交KNL点过A点ASBP交BP于S点∵LNAS50

＝．∴＝＋40＝100．∴MN＝502＝50∵MN＝MQ＋PN＝＋QP＋AP50∴四边形PABQ周长＝505＋50．故选D．

5

．分析B点BMy轴交y于E点取＝BEA点ANx轴x轴F点截取NF＝，接XY轴别为PQ点此时四边形PABQ的长最短，根据题目所给的条件可求出周长．2．图，在面直角坐标系中，点A（24），B（4，）在x轴取一点P，点P到A和B的离之和最小，则点P的标是（）A（2，）B（4，）C．（2，）D．（0，）答案：C知识点：点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；轴对-最短路线问题解析：解答：作A于x轴的对称点C连接AC交x轴D连接BC交x轴P连接AP，则此时＋PB最，即此时点P到A和B的离之和最小，∵A（－2，）∴（2，－4，设直线CB的析式是y＝＋，把CB的标代入得

，解得：＝，＝－，∴＝－，把y＝代得0x－，x＝，即P的标是20），故选C．分析：作A于x轴的对称点C连接AC交x轴D连接BC交x轴P连接AP，此时点P到A和B的离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的析式是y＝＋，C、的标代入求出析式是y＝－，＝0代入求出x即．3．图，等△边长为4，AD是BC上的中线是AD边上动点E是AC边上一点，若AE＝2，当＋CF取得最小值时，则ECF的数为（）A．15°B22.5C30D．°答案：知识点：等边三角形的性质；轴对最路线问题解析：解答：过E作EMBC交AD于N，∵＝，AE＝，∴＝＝AE，∴＝BM＝2，∴＝，∵AD是边的中线是等边三角形，∴ADBC，∵∥BC，∴ADEM，∵＝，∴E和M关AD对，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋的最小，∵△是边三角形，∴∠ACB60AC＝BC，∵＝BM，∴∠ECF＝

∠＝°，故选C．分析：过E作EMBC，交AD于N，连接交于F，连接EF，推出M为AB中，求出E和M关AD对，根据等边三角形性质求ACM，即可求出答案．4．图，AOB30，有一点P且OP6，、为OA、上两动点，那么△PMN的长最小为（）．A．

6

B6C．2

D．

答案：知识点：等边三角形的判定与性质；轴对-最短路线问题解析：解答：作P关OA的称D作P于OB的称点E，接DE交于，交OB于N连接PM，PN，则此时PMN周长最小，连接ODOE∵P、关OA对，∴＝PM，同理OE＝，＝，∴＝＝OP＝

∵P、关OA对，∴OA⊥PD，∵＝，∴∠DOA∠POA同理∠POB∠，∴∠DOE2AOB230═°∵＝＝

，∴△DOE是边三角，∴＝

，即PMN的长是PM＋MNPN＝＋＋＝DE，故选D．分析：根据题意画出符合条件的图形，求出O＝OE，DOE＝60，得出等边三角形DOE，求出DE＝6

，求出PMN的长DE即可求出答案．5．知两点M（，5），（，－1），点P是x轴上一动点，若使PM＋PN最短，则点P的标应为（）．A（

12，－4）B．（，0）C．（，0）D．（，）23答案：知识点：坐标与图形性质；轴对-最短路线问题；待定系数法一次函数解析式解析：解答：PM＋PN最短，∴M、、三共线，∵M（3，）（，），∴设解析式为y＝kx＋b，把（，），（，1）别代入解析式得，k

，解得

，其解析式为y＝－．当y＝时，＝

43

．故P点标为（故选C．

43

，）分析：若PMPN最，则M、N三共线，根据MN的标，求出的析式，再求出与x的交点即可．6．知AOB的小为αP是AOB内的一个定点，且OP＝2点E分是、OB上动点，若PEF周的小值等于，α＝（）．A°B．45°C°D．90答案：知识点：等边三角形的判定与性质；轴称最路线问题解析：解答：如图，作点P关OA的称点C关于OB的称点D，连接CD交于E，OB于F．此时，PEF的长最小．连接OC，PEPF．∵点P与C关OA对，∴垂平分，∴∠COA∠AOP，PE＝CE，OCOP同理，可得DOB∠BOP，＝DF，＝．∴∠COA＋∠DOB＝∠AOP∠BOP＝AOB＝，＝ODOP2∴∠＝α．又△PEF的长PE＋＋FP＝＋＋＝CD＝2，∴＝OD＝CD＝，∴△COD是等边三角形，∴α60，∴α＝°故选A分析：设点P关于OA的称为C，关于OB的称点为D，当点E、在CD上，PEF的长为＋EF＝CD，此时周长最小，根据CD＝2可求出的度数．7．线L是条河，，是个村庄．欲在L上某处修建一个水泵站，向P，两供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）．AB．C．D．答案：知识点：轴对称最短路线问题解析：解答：作点于直线L的对称点P，接QP交线LM．根据两点之间，线段最短，可知选项铺的管道，则所需管道最短．故选D．分析：利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．8．知两点A（，）和B（，－2，点P在y轴且使APBP最短则点的坐标是（）A（，

11）B．（，）C．（0，1）D（0，

）答案：知识点：点的坐标；轴对称最路线问题；待定系数法求一次函数解析式解析：解答：根据已知条件，点关于y轴对称点A为－，）．设过AB的析式为y＝kx＋，－3kb＝2；＋＝2．解得＝－1，b＝1那么此函数解析式为y－－1．与y的交点是0，－），此点就是所求的点P故选C．分析：根据已知条件和两点间线段最短，可知点“其中一点关于y轴对称点与另一点的连线和y的交点．9在面直角坐标系中点AB的标分别（240点C的标（m

）m为负数），则CACB的小值是（）A．6B．

7

C．

D．5答案：知识点：轴称最路线问题；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题解析：解答：如图所示：∵点C的标为，

m（m为非负数）∴点C的标所在直线为y＝3x点A关直线y＝

x的对称点的坐标为A′，AA所在直线为y＝

33

x＋，把点A的坐标（2，0）代入得23解得b．3

33

×2＋＝，故AA所在直线为y

x＋．x联立C坐标所在直线和AA′所在直线可3x3

，1x解得y2

，∴的标在直线和AA所直线的交点M的标为（

，）2∴点A关直线y＝

3

x的对称点的坐标为（1，

3

），∴AB

(4

2

(03)

2

＝

28

＝

7

，即CA＋的最小值．故选C．分析：分别得到点C的坐标所在直线，点A关于点C的标所在直线的对称点的坐标A所在直线AA的解析式求得两条直线的交点进一步得到A点坐标再根据两点间的距离公式即可求解．10．图，在锐中AB42

，BAC＝°，BAC的分线交BC点D、N分是ADAB上动点，则BM＋的小值是（）A3B4C．5．6答案：知识点：三角形的角平分线、中线和高；轴对称最路线问题；全等三角形的判定与性质解析：解答：如图，在AC上取AE＝，连接BE∵∠的平分线交BC于点D，∴∠EAM∠NAM，在AME与AMN中NAM

，

AMAM∴△AMEeq\o\ac(△,≌)AMN（SAS，∴ME＝MN．∴＋MN＝BM＋ME≥BE．∵＋有小值．当BE是B到线AC距离时BEAC，又AB＝，BAC45，此时，ABE为腰直角三角形，∴＝4，即BE取小为4，∴＋的小值是4．故答案为：．分析从知条件结合图形认真考过构造全等三角形利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．11．图，锐角三角ABC中，C45，N为上点NC＝BN＝2M为AC上的一个动点，则BMMN的小值是（）A．

B

21

C．

74

D．

45答案：知识点：三角形相关概念；勾股定理；轴对称最路线问题解析：解答：如图所示，先作点关AC的称点N，由两点之间线段最短可知BN′即为BMMN的小值，根据对称的性质可知N′CNC＝，ACB＝′＝°，即∠′＝90°，在′中BN＝

N'C22

＝

2

＝

．故答案为：．分析：先作N关AC对称点N，两点之间线段最短可BN即为BM＋MN的小值，根据对称的性质可知NC＝NC＝，BCN＝°再利用勾股定理即可求BN′的．12．油站A和店B在路MN的一侧（如图）A到MN的离大于B到MN的离AB7一个行人P在路MN上行走，问P到A的离与P到B的离之差最大时，这个差等于（）米．A．8B．C．6D．7答案：知识点：轴对称最短路线问题；三角形的三边关系解析：解答：当A、、三不在同一直线上时，此时三点构成三角形．∵两边AP与BP的差小于第三边AB．∴A、、在同一直线上，∴P到A的距离与P到B的距离之差最大，∴这个差就是AB的，故答案为：．分析ABP构三角形时与BP的小于第三边AB以当在一直线上时PA与PB之最大＝AB＝．13．如图中ABAC＝BC＝10AD是BC边的中线FAD上动点，E是AC边上的动点，则CF＋EF的小值为（）．A．

12013

B10C．12D13答案：知识点：轴对称最短路线问题；等腰三角形的性质；勾股定理解析：解答：作E关AD的称点M，连接CM交于，接EF过CCNABN∵＝AC＝，＝，AD是BC边上的中线，∴＝DC＝5，ADBC，AD平∠BAC，∴M在AB上在中由勾股定理得AD＝

132

＝，∴S＝△ABC

1××AD＝××CN，2∴＝

＝＝，AB13∵E关于AD的对称点，∴EFFM，∴＋CFFM＝，根据垂线段最短得出CMCN，120即CF＋EF，13即CF＋EF最小值是

12013

，故答案为：．分析：作E关于AD对称点，连接交AD于F，接EF，过C作CNAB于N，根据三线合一定理求出BD的和AD⊥BC，根勾股定理求出AD，根据角形面积公式求出，根据对称性质求出CF＝，根据垂线段最短得出CF＋≥

，即可得出答案．14．图，中，ACBC＝4，点D，分是，的点在CD上一点P使PA＋最小，则这个小值是（）．A．

3

B4C．

5

D．5答案：知识点：轴对称最短路线问题；等腰三角形的性质解析：解答：如图，连接BE，则BE就PA＋的最小值，∵ABC中，AC＝BC＝，D，别是AB，AC的中点∴＝，∴＝

＝

，∴＋PE的小值是故答案为：．

25

．分析：要求PA＋的最小值PAPE不直接求，可考虑通过作辅助线转化PAPE的值，从而找出其最小值求解．15．知，如图，一牧童在A处马，牧童家在处，，两距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的离为500米天黑前牧童A点马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（）米．A1100．1200C．1300D．1400答案：知识点：轴对称最短路线问题；勾股定理解析：解答：点B关CD的称点E由对称的性质可知，BDED，EDM∠MDB，＝，∴△MDB，∴＝ME，＋AMMEAMAE，即AE为童走的最短路程．∵＝CD＝500米，AN＝NCAC700＋＝1200，∴在中AE

ANEN

2

＝

＝．故牧童至少要走1300米分析：在CD边找一点M使AM和BM的最小，延长BD到E，使BD＝DE，连接AE交边点，点E作ENAC于，则AE为求的长即牧童最少要走的距离．二、填空题（共5小）1．图，已ABADCD⊥AD垂足分别为AD，＝AB5CD3，P是段AD上一个动点设AP＝DP＝y

25y

，a的小值是_____．答案：10知识点：相似三角形的判定与性质；轴对-最短路线问题解析：解答：由题意可得，当BPC三在同一直线时，a的最小．则ABPeq\o\ac(△,∽)DCP，x＝

159，＝，4则a的小值是10分析：首先确定BPC三在同一直线时a的值最小．然后根据相似三角形的性质计算．2．知如图示，＝40°，为MON内点，AOM上点B为ON上点，则当PAB的长取最小值时，APB的数_____．答案：°知识点：多边形内角与外角；三角形相关概念；轴对-最短路线问题解析：解答：如图，作出P点于OM、的称P，P连接P，交OM，ON于A、1212两点，此时PAB的周长最小，由题意可知PPP＝180－MON18040＝°，12∴∠PA＋∠PPB∠＋P＝180°－PPP＝°，121212∴∠APB14040°＝100°．故答案为：°．分析：作出P点于、的称点P，P连P，交OM，ON于、两点，1212此时PAB的长最小，再由四边形内和定理即可求出答案．3．图，在ABC，AC＝BC2∠ACB＝90°，是BC边中点，AB边一动点，则EC＋ED的小值是____．答案：

知识点：等边三角形的性质；勾股定理；轴对-短路线问题解析：解答：过点C作COAB，延长CO到′，OC＝，连接DC，AB于，连接CE，此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC的最小．连接BC，对称性可知CBE＝∠CBE＝°，∴∠′＝90，∴′BC，BCC′＝BCC＝°，∴＝′＝，∵是BC边中点，∴＝，根据勾股定理可得′＝故答案为：．

22＝2

5

．分析：首先确定DC＝＋′DE＋CE的最小．然后根据勾股定理计算．4．知：如所示M（，）N（，1．点P在轴上使PM＋PN最，则P点坐标为________．答案：（，－

14

）知识点：点的坐标；一次函数的应用；轴对最路线问题解析：解答：根据题意画出图形，找出点N关y轴对称点N，接MN，与y轴点为所求的点P∵（，1），∴′（－，1）设直线′的解析式为y＝＋，（32）′（，－1代入得：2，3k4，解得1b1所以＝x－，4令x＝，得y＝－

14

，则点P坐标为0－

14

）．分析：找出点N于y的对称点，连接M与称点，与y轴交点为P点根据两点之间线段最短得到此时点Py轴上且使PM＋PN最短根据关于y轴称点的特点，找出N称点的坐标设直线MP的程把N的称点的坐标和的坐标代入可确定出直线MP方程后令x＝求出直线与y轴交点出交点坐标即为点P的标．5．图，Rt△中ACB＝°＝°BC＝是AB边中点F是AC边的中点（EF＝____2若D是BC边一动点EFD的长最小值____．答案：；2＋

知识点：勾股定理；轴对-短路线问题；三角形中位线定理解析：解答：（）E是AB的中点F是AC边中点，∴EF为ABC的位线，∵＝，∴EF

1BC＝×4＝；2（）长到P，FC＝PC连接EP交BC于，接ED、FD此时ED＋最小，即EDF的周长最小，∵EF为ABC的位线，∴EFBC∵∠＝°∴∠EFC90FCPC＝

AC＝

，∵在中EP＝FP＝

2

(23)

2

＝，∴△EDF的长为：EF＋＋ED＝＋EDPD＋EP＝2＋213，故答案为：；2＋

．分析：（）根据E是AB边中点，是边的中点可以得到EF三角形的中位线，根据中位线定理求得EF的即可；（根对称点的性质延长FC到P使FC连接EP交BCD连EDFD，此时ED＋FD最，即EDF的长最小，求出EP长即可求答案．三、解答题（共6小）1．知：如，在POQ内有两点MN，MOP∠NOQ画图并简要说明画法：在射线上一点A使点A到M和N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到M和点N的离和最小；直接写出AMAN与＋BN的大小关系．答案：（）见解析；2AMANBM＋BN知识点：轴对称最短路线问题；作-轴对称变换解析：解答：（）如图所示．画法：作点M关射线的称点M'，连接M'N交OP点A．作点N关于射线的对称点N'，连接N'M交于B．（）AMAN与BM＋BN的大小系是＋AN＋．分析：（）分别作出点M关射OP的称点M'，点N关射线OQ的称点N'，连接M'N即求出答；（）据轴对称性质求出即可．2．大型农拟在公路L旁建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地AB的果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使B地到加工厂的输路程之和最短要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）答案：见解析知识点：轴对称最短路线问题；作-轴对称变换解析：解答：如图分析：作A关直线L的对称点E，连接BE交线L于C，则C为求．3．图，△ABC的ABAC上分别有定点M，请在BC边上找一点P，使得PMN的周长最短．（出作法，保留作图痕迹）答案：见解析知识点：轴对称最短路线问题；作-轴对称变换解析：解答：①作点N关BC的称N′，连接MN交BC于P，②由对称的性质可知PN＝PN，PN＋＝MN′，③由两点之间线段最短可知，PMN的短周长即为′＋．分析：作点N关BC的称点N，接′交BC于P由两点之间线段最短可知点即为所求点．4．某一地，有条小河和草地，一天某牧民的计划是A处牧牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路