2022届重庆市南开中学高考冲刺七数学（文）试题

/16/16/2022届重庆市南开中学高考冲刺七数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则集合元素的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【解析】先求出再求交集即可.【详解】.所以.故选：C【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解以及交集的基本运算,属于基础题型.2．若复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点落在虚轴上，则实数a的值为（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】根据复平面上对应的点落在虚轴上可知复数为纯虚数,利用复数除法化简即可.【详解】复数,由题为纯虚数.故.故选：B【点睛】本题主要考查了复数除法的运算与纯虚数的理解,属于基础题型.3．等差数列的前7项和为28，，则（）A．6 B．7 C．9 D．14【答案】A【解析】先根据已知得到关于的方程组，解方程组得的值，再求的值.【详解】由题得.故选A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．已知实数x，y满足可行域,则取最大值时的最优解为（）A． B． C． D．4【答案】B【解析】画出可行域,再分析取最大值的时候的点判断即可.【详解】画出可行域,因为有,故当取最大值时的最优解为.故选：B【点睛】本题主要考查了线性规划的问题,属于基础题型.5．设与是单位向量，且其夹角为，若，，则在上的投影为（）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根据投影的公式求解即可.【详解】在上的投影为.故选：B【点睛】本题主要考查了投影的计算,属于基础题型.6．对于平面、、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A．若，，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则【答案】C【解析】根据线线和线面与面面的平行与垂直的判定和性质判断即可.【详解】A.根据线面垂直的垂直的判定定理可知,,必须是相交直线,所以A错误.B.根据直线和平面平行的判定定理可知,必须在平面外,所以B错误.C.根据面面平行的性质定理可知,两个平行平面同时和第三个平面相交,则交线平行,所以C正确.D.根据面面垂直的性质可知,必须垂直于的交线才有.所以D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定与性质,需要根据题意找到满足的条件,属于基础题型.7．已知双曲线的渐近线与相切，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】根据圆心到渐近线的距离等于半径求解关于的关系进而求得离心率即可.【详解】由题,圆心到渐近线即的距离为半径2.即.故离心率.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线中的基本量间的关系求离心率的方法,需要列出关于基本量的等式再进行化简求解,属于基础题型.8．如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算的值，即，时，进入循环，当时，退出循环，则判断框内填入的条件是．故选：．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9．已知函数图像关于点对称，且在上为增函数，则（）A． B．3 C． D．6【答案】A【解析】利用降幂公式与诱导公式化简,再根据图像关于点对称与在上为增函数求解即可.【详解】,又因为图像关于点对称,故,故.故,.又在上为增函数,故,即,所以.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三角函数性质求解参数的问题,需要根据题意列出关于参数的不等式,再根据整数取值即可.属于中等题型.10．函数在处取得极值，则的值为（）A． B． C．4 D．3【答案】A【解析】求导后代入可得导函数为0,以及代入原函数可得极值计算即可.【详解】由题意,,故..故.故.故选：A【点睛】本题主要考查了极值点的运用,需要根据题意列出关于的等式进行求解,属于中等题型.11．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则()A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】试题分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C．【考点】函数求解析式及求值12．数列中，且，则数列的前2022项和为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据提示求出关于的递推公式,再根据累加法求解通项公式,进而求得数列的前2022项和即可.【详解】由题,,故.故,…累加可得,因为所以.故.故数列的前2022项和为.故选：B【点睛】本题主要考查了构造数列以及累加法求解数列通项公式的方法,需要根据题中给的信息找到构造数列的方法进行求解,同时也考查了裂项求和的方法,属于基础题型.二、填空题13．某单位有职工750人，其中有中年职工250人，老年职工150人，其余为青年职工.为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________.【答案】15【解析】根据分层抽样的方法按比例抽取即可.【详解】由题意可得,单位的青年职工人数为.故抽取的比例为.故样本容量为.故答案为：15【点睛】本题主要考查了分层抽样的方法,属于基础题型.14．如图,在正三棱柱中,,异面直线与所成角的大小为,该三棱柱的体积为．【答案】【解析】试题分析：由线线角定义知，又为直角三角形，，则，故该三棱柱的体积为．【考点】（1）线线角的定义；（2）正三棱柱的性质及体积公式．15．已知实数，函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】在上单调递增，，即，由，得时，，综上，，故答案为．【方法点晴】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.16．已知，是抛物线上两点，且，F为焦点，则最大值为________.【答案】【解析】根据抛物线的几何意义,再利用余弦定理与基本不等式求余弦的最小值再判断即可.【详解】由题得,,即故.即.因为.且余弦函数在内单调递减,故.当且仅当时成立.故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径公式与余弦定理的综合运用等,需要根据题意列出对于的余弦定理,再利用基本不等式分析最值,属于中等题型.三、解答题17．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且.（1）求角A的大小；（2）设D是边AC的中点，若，且的外接圆的面积为，求边a.【答案】（1）（2）【解析】(1)根据可得对应的边的关系,再根据余弦定理求解角A的大小即可.(2)根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据余弦定理即可求解边a.【详解】（1）由得,,即故,又A是三角形的内角,所以（2）由题意,的外接圆的直径为2.在中,由正弦定理得,解得,故于是,在中,由余弦定理得,所以.【点睛】本题主要考查了向量平行的运用以及正余弦定理解三角形的方法,需要根据题意找到对应的边角关系列式,属于中等题型.18．某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.9.（1）若引种树苗A、B、C各10棵.①估计自然成活的总棵数；②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗A的概率；（2）该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵?【答案】（1）①26②（2）该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元【解析】(1)①用每种的棵树10乘以对应的成活率再相加即可.②根据古典概型的方法求解即可.(2)设该农户种植B树苗n棵,再根据题意求出获利的解析式,再求解不等式即可.【详解】解：（1）①依题意：,所以自然成活的总棵数为26.②没有自然成活的树苗共4棵,其中两棵A种树苗、一棵B种树苗、一棵C种树苗,分别设为,,b,c,从中随机抽取两棵,可能的情况有：,,,,,,抽到的两棵都是树苗A的概率为.（2）设该农户种植B树苗n棵,最终成活的棵数为,未能成活的棵数为,由题意知,则有.所以该农户至少种植700棵树苗,就可获利不低于20万元.【点睛】本题主要考查了古典概型的运用与根据概率解决实际情况的问题,属于基础题型.19．如图，在中，，，面BCD，，E，F分别是AC，AD上的动点，且.（1）求证：平面ABC；（2）是否存在，使得平面面ACD？如果存在，求出的值并求此时面BEF分三棱锥得到的上下两部分几何体体积之比；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，使得平面面ACD，体积比为【解析】(1)先证,再证明平面ABC即可.(2)由题意可知只需即可,再利用直角三角形中的关系列式求解即可.【详解】（1）,.又,,平面ABC,,平面ABC（2）存在,使得平面面ACD.证明如下：要使平面面ACD,只需平面ACD,由（1）可知,故只需即可.当时,由三角形相似可得：,即所以.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及几何体比例的性质等.属于中等题型.20．椭圆的离心率为，，是椭圆C的短轴端点，且，点M在椭圆C上运动，且点M不与，重合，点N满足，.（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】(1)根据椭圆的基本量求解即可.(2)设,,再设方程联立求得的关系,再将四边形面积表达成关于的解析式,再分析最值即可.【详解】解：(1),,又,且,,,因此椭圆C的方程为.(2)设,,,.直线……①直线……②由①,②解得：,又,,四边形的面积,,当时,S的最大值为.【点睛】本题主要考查了根据基本量的方法求解椭圆的方程,同时也考查了联立直线与椭圆的方法求椭圆内面积的问题,属于中等题型.21．已知函数，.若函数图象上任意一点P关于直线的对称点Q恰好在函数的图象上.（1）证明：；（2）若函数在上存在极值，求k的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】(1)根据题意先求得,再构造函数,再求导分析单调性求最值再证明即可.(2)由题可得在上有解,再构造分析函数的单调性,再根据零点存在性定理求解函数在处的函数值大小再判定即可.【详解】解：（1）由已知,得.设..当x变化时,,的变化情况如下表：x00单调递减极小值单调递增,即..（2）由已知,.则.函数在上存在极值,在上有解.即方程在上有解.令.,.函数在上单调递减.由于,,故函数的零点.方程在上有解,.的最大值为4.【点睛】本题主要考查了根据导数证明函数表达式以及零点存在性定理求解与极值点有关的问题等.属于难题.22．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．【答案】（Ⅰ）(t为参数)，；（Ⅱ）3.【解析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|?|AQ|的值．【详解】（Ⅰ）直线l1的参数方程为，（t为参数）即（t为参数）．设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2=-3，∴|AP|?|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23．已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；(2)若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|·f.【答案】（1）{x|x≥3或x≤－5}．（2）证明见解析【解析】（1）分段讨论当x＜－3时，当－3≤x≤1时，当x＞1时，求解不等式即可；（2）利用分析法，要证f(ab)＞|a|f，只需证|ab－1|＞|b－a|，再两边平方证明即可.【详解】解：（1）依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.当x＜－3