向量及其线性运算

关于向量及其线性运算第1页，共43页，2023年，2月20日，星期三四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算

第八章第2页，共43页，2023年，2月20日，星期三向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.||向量的模：向量的大小.单位向量：一、向量的概念或或或第3页，共43页，2023年，2月20日，星期三自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量.第4页，共43页，2023年，2月20日，星期三规定:零向量与任何向量平行

;平行向量：若向量

a与

b方向相同或相反,a与

b平行,

a∥b;记作则称

向量共线：当两个平行向量的起点放在同一

点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上

.因此，两向量平行又称两向量共线.时，如果个终点和公共起点在一个平面上

.

就称这个向量共面.向量共面：当把个向量的起点放在同一

点第5页，共43页，2023年，2月20日，星期三二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律

:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加

.第6页，共43页，2023年，2月20日，星期三第7页，共43页，2023年，2月20日，星期三2.向量的减法三角不等式一般地，任给向量及点第8页，共43页，2023年，2月20日，星期三3、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：第9页，共43页，2023年，2月20日，星期三例1.

设M

为解:ABCD对角线的交点,第10页，共43页，2023年，2月20日，星期三按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.两个向量的平行关系第11页，共43页，2023年，2月20日，星期三证充分性显然；必要性‖两式相减，得第12页，共43页，2023年，2月20日，星期三ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ第13页，共43页，2023年，2月20日，星期三2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,沿三个坐标轴方向的分向量.此式称为向量

r

的坐标分解式

,任意向量

r可用向径

OM表示.第14页，共43页，2023年，2月20日，星期三向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点

A,B,C点

M特殊点的坐标

:有序数组(称为点

M

的坐标)原点

O(0,0,0);第15页，共43页，2023年，2月20日，星期三坐标轴:

坐标面:第16页，共43页，2023年，2月20日，星期三四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:第17页，共43页，2023年，2月20日，星期三例2.已知两点在AB直线上求一点

M,

使解:

设

M

的坐标为如图所示及实数得即第18页，共43页，2023年，2月20日，星期三说明:由得定比分点公式:点

M为

AB

的中点

,于是得中点公式:第19页，共43页，2023年，2月20日，星期三五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与第20页，共43页，2023年，2月20日，星期三例3.在

z

轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在

xoy

面上与A,B

等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B

等距离之点的轨迹方程?离的点

.第21页，共43页，2023年，2月20日，星期三提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例4.已知两点和解:求第22页，共43页，2023年，2月20日，星期三解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或第23页，共43页，2023年，2月20日，星期三2.方向角与方向余弦设有两非零向量

任取空间一点

O,称

=∠AOB(0≤≤)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角

.与三坐标轴方向角的余弦称为其方向余弦.

记作特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.的夹角

,,为其方向角.第24页，共43页，2023年，2月20日，星期三方向余弦的性质:第25页，共43页，2023年，2月20日，星期三例6.已知两点和的模、方向余弦和方向角

.解:计算向量第26页，共43页，2023年，2月20日，星期三例7.设点

A

位于第一卦限,解:已知角依次为求点

A

的坐标

.则因点

A

在第一卦限

,故于是故点

A

的坐标为

向径

OA

与

x

轴

y轴的夹

第27页，共43页，2023年，2月20日，星期三解第28页，共43页，2023年，2月20日，星期三第29页，共43页，2023年，2月20日，星期三3.向量在轴上的投影空间一点在轴上的投影第30页，共43页，2023年，2月20日，星期三空间向量在轴上的投影

称为向量在轴上的分向量.设数称为向量在轴上的投影，记作或第31页，共43页，2023年，2月20日，星期三设则或记作向量投影的性质性质1其中为向量与轴的夹角性质2性质3第32页，共43页，2023年，2月20日，星期三例8一向量的终点在点，它在轴、

轴、轴上的投影依次为.求这向量的起点的坐标.解

设

的坐标为由已知可得所以即解例9已知，它与的夹角为，求.第33页，共43页，2023年，2月20日，星期三解第34页，共43页，2023年，2月20日，星期三向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）四、小结向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.（注意分向量与向量的坐标的区别）向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量在轴上的投影与投影定理.第35页，共43页，2023年，2月20日，星期三思考题1已知平行四边形ABCD的对角线试用表示平行四边形四边上对应的向量.解答第36页，共43页，2023年，2月20日，星期三思考题2解答对角线的长为第37页，共43页，2023年，2月20日，星期三练习题1