2020-2021学年广西桂林市高二下学期期末质量检测数学（理）试题

桂林市2020～2021学年度下学期期末质量检测高二年级数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数，则（）A．0 B．1 C． D．2．设复数，则的实部为（）A． B．2 C． D．3．用反证法证明“是无理数”时，正确的假设是（）A．不是无理数 B．是整数 C．不是有理数 D．是无理数4．5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种5．（）A． B． C． D．6．在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为，则第2组的频率是（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.17．向量，向量，若，则实数（）A． B．1 C． D．8．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件为“取到的2个数之和为偶数”，记事件为“取到的两个数均为偶数”，则（）A． B． C． D．9．若随机变量的分布列如右表所示，则的值为（）1230.2A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.410．正方体中，与平面所成角的余弦值为（）A． B． C． D．11．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A．0.0799 B．0.1587 C．0.3 D．0.341312．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为______．14．已知为虚数单位，则______．15．______．16．在中，，，，是斜边上一点，以为棱折成二面角，其大小为60°，则折后线段的最小值为______．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）在的展开式中，求（1）含的项；（2）展开式中的常数项．18．（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）设是的极值点，求的极小值．19．（本小题满分12分）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．（1）证明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知数列的前项和．（1）计算，，，，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．21．（本小题满分12分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）若在单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且仅有一个极值点，求实数的取值范围，并证明：．桂林市2020～2021学年度下学期期末质量检测高二年级数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，本题满分共60分．题号123456789101112答案BBACAACBBDBA二、填空题：每小题5分，共20分．13．100 14． 15．1 16．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）由题意知，，1，2，3，4，5，6；令，得，所以含的项为．（2）由（1）知，得，所以常数项为．18．（本小题满分12分）解：（1）即，；则，，故所求切线方程为，即．（2），由题知，解得，则，，当时，当时所以当时取极小值．19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得，平面，平面，故又，所以平面（2）由（1）知．由题设知，所以，故，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，则即所以可取设平面的法向量为，则，即可取于是所以，二面角的余弦值为．20．（本小题满分12分）解：（1）当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴．由此猜想．（2）证明：①当时，，猜想成立．②假设（且）时，猜想立，即，那么时，，∴．∴当时，猜想成立．由①②知猜想成立．21．（本小题满分12分）解：（1）记“3次投篮的人依次是甲，甲，乙”为事件，依题意，得∴3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．（2）由题意可能取值为0，1，2，3，则，，，；所以，分布列为0123所以的期望．22．（本小题满分12分）解：（1）在单调递增，∴在恒成立∴在恒成立，∴．（2）设，，①当时，令得：，，，单调递增，，，单调递减，若，恒成立，无极值；若，，而，，此时有两个极值点；故不符合题意．②当时，，，单调递减，