2023高中数学必修三知识点归纳

必修3

算法初步

一、算法与程序框图

1.算法的概念

算法通常是指用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确

和有效的，而且能够在有限步之内完成.

2.程序框图

(1)程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地

表示算法的图形.，

(2)程序框图基本图形及功能"

图形符号。名称。功能2

O.起止框一表示一个算法的起始和结束。

输入、，

表示一个算法输入和输出的信息”

U输出框口

-处理框。赋值、计算。

根据条件决定出口，条件成立出口标“产或“是”，否

判断框，

则标7或“否"Q

(3)基本算法结构

顺序结构

条件结构(两彳&)型循环

循环结构

直到型循环

注：各种框图结构的功能及注意事项见下节相应语句.

二、基本算法语句

1.赋值语句

格式：变量=表达式

功能：将表达式的值赋给变量.

说明：①变量名必须以字母开头，可以是单个字母，也可以是一个字母后面跟若干数字

或字母，不要使用运算符号、特殊符号（如+、一、&等）.②每个赋值语句只能给一个变量

赋值.③表达式可以是常数或单个变量，也可以是含有常数及变量的算式，还可以使用系统

提供的函数.④若表达式中含有左面的变量时（如4=4+1）,则用变量当前的值计算后赋给

变量，即变量（4）变成表达式的值，原来的值丢失；当左右变量名不同时（如4=5+1）,

则赋值后右面变量（皮的值不变.

注：①表达式中常用的运算符号有：+（加）、-（减）、*（乘，不能用X或•，更

不能省略）、/（除，不能用土）、A（乘方）、\（整除，即整数商）、掰切（余数）.

②常用的函数有：ABS0）（即才的绝对值，不用|彳|）、SQR（乃（乃的算术平方根，

不能用衣）等.注意函数中的才可以是常数，也可以是表达式，但必须放在括号里.

2.输入语句，

格式：INPUT”提示信息”；变量。

功能：程序运行后，给指定的变量赋值.，，

说明：①提示信息在程序运行后显示在屏幕上，给用户以提示；②可给多个变量赋值,

变量间用逗号分开，程序运行后输入数据时，各数值间也用逗号分开，数的个数要与变量个

数一致，各个值分别赋给相应位置的变壁;③输入语句没有计算功能,只能输入整数或小数，

不能输入分数、无理数或函数值（如履2，点，2/3等）*

注意：①输入语句对程序运行后才能确定数值的变量赋值如判定质数时，用ZTI语

句输入小只要每次输入不同的值，就可以对不同的数进行判定，若用赋值语句，则每次都

要修改程序.②只能给变量赋值，不能对表达式赋值，有些资料上有“INPUT;尸5”这样的错

误用法，注意避免.

3.输出语句

格式：PRINT"提示信息"；表达式

功能：计算表达式的值并输出.

说明：①提示信息在程序运行后原样显示在屏幕上，起提示作用；②先计算表达式的值,

然后输出在提示信息后面，即输出语句具有计算功能；③每次可输出多个表达式，中间用逗

号或分号分开，按原顺序输出；④可以只有提示信息而无表达式，或只有表达式而无提示信

息.

注意：①程序中一般要有输出语句；②提示信息要放在英文引号内，即键盘上的

左右相同（课本上的引号是错误的）.

4.条件语句

ELSE

语句2

ENDIF

功能：当计算机执行上述语句时，首先判定条件是否成立.若条件成立则执行语句1,

跳过语句2,否则跳过语句1,执行语句2.如

若成立则执行THE、后的语句，否则跳过这些语句，直接执行ENDIF后的语句如框图，

说明：①格式1中的语句1、语句二和格式2中的语句，可以是一个语句或一组语句，

甚至可以是另一个条件语句.②ENDIF中间有空格，不要漏掉.③中间的语句向后缩是为了

便于阅读及查错，不是必须的，但最好缩将宝与・

5.循环语句

格式：

(l)r-WW<-

WHILE条件

~循环体

WEND

功能：先判定条件的真假，若条件成立则执行循环体，然后再判定条件，若条件成立再

执行循环体，…这样反复进行，直到条件不成立时退出循环.

说明：当型循环是先判定条件，后执行循环体，因此循环体可能一次也不执行.

(2)直到型循环：

DO

-循环体Z——

LOOPUNTIL条件

功能：先执行一次循环体，然后判定条件真假，若条件不廖芈再执行循环体，…这样反

复进行，直到条件成立时退出循环.

说明：①直到型循环是先执行循环体，后判定条件，因此循环体至少执行一次.②当型

循环是条件为真时循环，直到型是条件为假时循环.

注：循环体中一定要有改变条件的语句，否则将构成死循环.

三、算法案例

1.辗转相除法

设以Z?是两个正整数(不妨设取>加，用0除以小商为小余数为r,得到除式〃=

r<〃).若rW0,则令m=n,n-r,再继续上面的除法，这是一个反复执行

的步骤，当r=0时，就得到了。和〃的最大公约数为〃.

2.更相减损术

给定两个正整数，若两数不相等，则以较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数比

较，若两数不相等，再用较大的数减去减小的数，反复执行此步骤，直到两数相等为止.最

后这个等数就是两个数的最大公约数.

3.秦九韶算法

用秦九韶算法求多项式/廿4...+aix+第当.v=.v)时的值，首先计算

11=0^0-0^1.再计算V2=n•xo-az，V3=V2-xo-a^j,...»&=i*「XLao，贝U如就等于/(TO).，

4.数制转换

(1)十进制数化为4进制数J

方法：除注取余法.即先用人去除十进制数，得到余数n,再用。去除所得的商，得到

余数n，…，直到商为0终止，则将所有余数按相反顺序二五写出来就是k进制数了“

(2)才进制数化为十进制数。

44-1-4，灯=%10M+%T4°HT+一一+勺一10+%・0

统计

一、随机抽样

1.简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有〃个个体，从中逐个不放回地抽取A个个体作为样本(。

W加，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简

单随机抽样.

(2)方法：抽签法(抓阉法)；随机数表法.

(3)适用范围：总体容量〃较小，且没有明显的个体差异.

2.系统抽样

(1)方法步骤：假设要从容量为〃的总体中抽取容量为〃的样本，则步骤如下：

①先将总体的〃个个体编号；

②确定分段间隔A,对编号进行分段，当"是整数时，取《(当*不是整数时，

要先剔除零头);

③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号7;

④按照一定的规则抽取样本.通常是将/加上间隔A得到第2个个体编号(1+外，再加

A得到第3个个体编号J+2A),依次进行下去，直到获取整个样本.

(2)适用范围：总体容量较大，且没有明显的个体差异.

3.分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立

地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层

抽样.

(2)抽取数量的计算：各层抽取的数量之比，等于各层的数量之比.如各层分别有300,

200,400个个体，则从各层中抽取的个体数量之比为300：200：400,即3：2：4.

(3)适用范围：总体容量〃较大，且个体差异明显(有明显的层次).

二、用样本估计总体+

1.用样本频率分布估计总体频率分布,

(1)频率分布直方图的做法。

①求极差；即最大数与最小数的差；。

②决定组距与组数：组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过

程(试题中一般有规定)；。

③数据分组：计算各小组的频数和频率，列出频率分布表；。

④画频率分布直方图：图中纵轴表示频率,组距，各小矩形的面积引页率

(2)茎叶图：(略)。

2.用样本的数字特征估计总体，

(D众数：出现次数最多的数用频率分布直方图估计众数时，可用最高矩形的横坐标

的中点表示.众数可能不只一个*

中位数:将数据从小到大排列，则处于正中间的二个数叫做中位数.若数据个数为偶数，

则取中间两个数的平均数作为中位数.用频率分布直方图估计中位数时，可用直线尸。将直

方图分成左右两侧面积皆为0.5,此时w就是中位数.中位数只有一个.

平均数：X1,豆的平均数为

X]+*2+…+X〃

n

（2）标准差：x\,42,…，乂的标准差为

224----X）2].

s—\一[（X]—X）+（x2—X）卜（x3—

Vn

标准差的平方叫方差，用$2表示.

标准差（或方差）越小，说明数据波动越小，越稳定；标准差越大说明数据越分散，越

不稳定.

三、变量间的相关关系

1.线性相关与最小二乘法

回归直线J=法+。.

a__n__

工（七一辿或一亍）-"三亍

i=2=L_------------=---------

加「一）2''

i-Ii-1

a=y-bx.

注：①计算"a的公式不要求记忆.②点（X,』）叫做回归中心，回归直线必定经过回归

中心”

2.相关系数

£（毛一*）（内一亍）

胶（X-M法（五一亍尸

V1-11-1

注；①|力口；②r>0为正相关，“0为负相关；③当同川,75时相关性很强.④公式不要

求记忆

概率

一、随机事件的概率

1.概率的相关概念

(1)事件：我们把在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件；

在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件；必然事件与不可能事

件统称为相对于条件S的确定事件；在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于

条件S的随机事件.

(2)频数与频率：在相同的条件S下重复A次试验，观察某一事件/是否出现，称。

次试验中事件4出现的次数功为事件4出现的频数，称事件4出现的比例£,(A)=一为事

件Z出现的频率.

(3)概率：对于给定的随机事件4如果随着试验次数的增加，事件力发生的频率fn(A)

稳定在某个常数上，把这个常数记作PC4),称为事件4的概率.

(4)事件的关系与运算

①对于事件4与事件8,如果事件/发生，则事件6一定发生，这时称事件8包含事件

A(或称事件为包含于事件皮，记作82A(或A=.

②若52A,且4口3,那么称事件/与事件8相等，记作本5.

③若某事件发生当且仅当事件4发生或事件6发生，则称此事件为事件4与事件5的并

事件(或和事件)，记作力U8(或4+8).

④若某事件发生当且仅当事件4发生且事件6发生，则称此事件为事件4与事件8的交

事件(或积事件)，记作力C5(或四).

⑤若415为不可能事件，那么称戴匕4与事件5互斥，其含义是：事