高考数学专项练习讲义-空间直线、平面的平行

§7.4空间直线、平面的平行

【考试要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.

2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线与此平g^a

判定

面内的一条直线平行，那么该Ca'=>a//a

定理

直线与此平面平行al/b.

一条直线与一个平面平行，如alla

性质

果过该直线的平面与此平面aUB

定理

由逡，那么该直线与交线平行aCB=b.

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

bU8

如果一个平面内的两条相交直

判定aCb=P>

线与另一个平面平行，那么这

定理a"a

两个平面平行

/.7b"a>

a//H]

两个平面平行，如果另一个平

性质/ifnaC\y=g\

面与这两个平面相交,那么两6n尸zj

定理

条交线平行

^>a//b

【常用结论】

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a邛,则a〃夕.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃6p//y,则a〃/

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a_La,bka,则

(4)若a〃6，aC.a,贝

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“义”）

（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.（X）

（2）若直线a〃平面a,Pea,则过点尸且平行于直线。的直线有无数条.（X）

（3）若直线aU平面a,直线OU平面4a//b,则a〃夕.（X）

（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（V）

【教材改编题】

1.下列说法中，与“直线。〃平面a”等价的是（）

A.直线a上有无数个点不在平面a内

B.直线a与平面a内的所有直线平行

C.直线a与平面a内无数条直线不相交

D.直线a与平面a内的任意一条直线都不相交

答案D

解析因为a〃平面a,所以直线a与平面a无交点，因此a和平面a内的任意一条直线都

不相交.

2.已知不重合的直线a,〃和平面a,则下列选项正确的是（）

A.若〃〃a,bUa,贝！ja〃Z）

B.若a〃a,b//a,贝！1a〃b

C.若a〃ZbbUa,则a〃a

D.若a〃匕，aUa,则匕〃a或Z?Ua

答案D

解析若a〃a,bUa,则a〃人或异面，A错；

若。〃a,b//a,则a〃〃或异面或相交，B错；

若a〃b,bUa,见］a〃a或aUa,C错；

若a〃6,“Ua,则b〃a或bUa,D对.

3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFG”为截面，则四边形EFGH的形状为

答案平行四边形

解析平面ABFE//平面DCGH,

又平面EFGHQ平面ABFE=EF,

平面EFG”n平面DCGH=HG,

/〃HG.同理EH〃尸G,

四边形是平行四边形.

■探究核心题型

题型一直线与平面平行的判定与性质

命题点1直线与平面平行的判定

例1如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD是平行四边形，E,尸分别是BC,P。的中

点，求证：

(1)PB〃平面ACF；(2)EF〃平面物8.

证明(1)如图，连接BQ交AC于0,连接。尸,

•.•四边形A8CD是平行四边形，

，0是8。的中点，

又是尸。的中点，A0F//PB,

又；。尸U平面ACF,PB4平面ACF,

...PB〃平面ACF.

⑵取心的中点G,连接GF,BG.

是PO的中点，

；.G尸是△外。的中位线，

：.GF^AD,

:底面A8CZ)是平行四边形，E是BC的中点,

：.BE^AD,；.GF统BE,

四边形BEFG是平行四边形,

C.EF//BG,

又；EF@平面弘B,BGU平面南B,

，£尸〃平面PAB.

命题点2直线与平面平行的性质

例2如图所示，在四棱锥「一ABC。中，四边形ABCD是平行四边形，”是尸C的中点，在

OM上取一点G,过G和孙作平面交80于点H.

求证：PA//GH.

证明如图所示，连接AC交于点。，连接0M,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.0是AC的中点，

又M是PC的中点，

.,.PA//OM,

又0MU平面BMD,以C平面8WD,

；.B4〃平面BMD,

又平面fiAHGC平面BMD=GH,

：.PA//GH.

【教师备选】

如图，四边形ABC。是矩形，片平面ABCD,过BC作平面BCFE交”于点E,交QP于点

F,求证：四边形BCFE是梯形.

证明•.•四边形ABCD为矩形,

J.BC//AD.

平面以Q,BCC平面力£>,

；.BC〃平面PAD.

•平面BCFED平面以O=EF,BCU平面BCFE,

C.BC//EF.

；AO=BC,ADKEF,

:.BC乎EF,

四边形BCFE是梯形.

思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点).

②利用线面平行的判定定理(a《a,bC.a,a//b^>a//a).

③利用面面平行的性质(a〃夕，aUa=a〃夕).

④利用面面平行的性质(a〃夕，郦,a〃a=a〃#.

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确

定交线.

跟踪训练1如图所示，已知四边形A8C。是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF

的中点.

(1)求证：AM〃平面BOE；

(2)若平面AOMC平面BDE=/,平面ABMP平面BDE=,〃，试分析/与的位置关系，并证

明你的结论.

(1)证明如因，记AC与BO的交点为。，连接0E.

因为。，M分别为AC,EF的中点，四边形ACEF是矩形,

所以四边形AOEM是平行四边形，

所以AM〃OE

又因为OEU平面BDE,AMQ平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

(2)解/〃相，证明如下：

由(1)知AM〃平面BDE,

又4MU平面AOW,平面AOMC平面8DE=/,

所以1//AM,

同理，AM〃平面BDE,

又4WU平面ABM,平面ABMC平面8OE="?,

所以所以/〃九

题型二平面与平面平行的判定与性质

例3如图所示，在三棱柱ABC—AIBCI中，过BC的平面与上底面48C1交于G〃(GH与

81G不重合).

⑴求证：BC//GH；

(2)若E,F,G分别是AB,AC,的中点，求证：平面£74〃平面2CHG.

证明(1)；在三棱柱ABC—中，

平面4BC〃平面A\B\C\,

又；平面BCHGC平面ABC^BC,

且平面BCHGC平面A\B\C\=HG,

...由面面平行的性质定理得BC//GH.

(2)VE,F分别为AB,AC的中点，J.EF//BC,

；EFQ平面BCHG,BCU平面BCHG,

〃平面BCHG.

又G,E分别为4/1,AB的中点，分

：.AxG统EB,

四边形4EBG是平行四边形，：.A\E//GB.

困平面8cHG,GBU平面8C//G,

〃平面BCHG.

又；AiEnEF=E,A\E,EFU平面E/沟，

平面E4h〃平面BCHG.

延伸探究在本例中，若将条件“E,F,G分别是AB,AC,AIBI的中点”变为“点、D,D}

分别是AC,ACi上的点，且平面BG。〃平面AS。”，试求反的值.

解如图，连接A山交于0,连接0G.

由平面BC\D//平面AB\D\,

且平面4BGC平面BCiD=BCi,

平面AiBGn平面AB\D\=D\O,

所以8G〃口。，则点=/=L

【教师备选】

如图，在三棱柱ABC—43G中，E,F,G分别为BCi，AiS，AB的中点.

(1)求证：平面4C1G〃平面8EF；

(2)若平面4C|GC8C=H,求证：”为BC的中点.

证明⑴尸分别为BiG,AS的中点，

：.EF//A\C\,

•••AiGU平面4C1G,EM平面ACiG,

.,.EF〃平面AiCiG,

又尸，G分别为4Bi,AB的中点，

：.A\F=BG,

又4尸〃BG,

四边形AiGBF为平行四边形，

则BF//A\G,

,；AiGU平面4GG,BFQ平面4ciG,

...8F〃平面4GG,

又EFCBF=F,EF,BFU平面BEF,

平面4GG〃平面BEF.

(2):•平面ABC〃平面AiBiCi,平面AiGGCl平面A\B\C\=A\C\,

平面4GG与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线，设交BC于点H,如图,

则AiCi〃G〃，#GH//AC,

：G为4B的中点，为8c的中点.

思维升华证明面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(/_La,I邛=a〃B).

(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(a〃夕,£〃y

=a〃y).

跟踪训练2如图，四棱柱ABCO-AiBCQi的底面ABC。是正方形.

⑴证明:平面43。〃平面CDiBi；

(2)若平面A8CDD平面C2Bi=直线/,证明：BQJ/L

证明(1)由题设知统所以四边形BBQ。是平行四边形，所以

又8OC平面COB1，8Q|U平面CD山1,

所以平面

因为4。统BiG统BC,

所以四边形AIBCDI是平行四边形，

所以A出〃OjC.

又4网平面CD向，OiCU平面。力向，

所以A|8〃平面CD\B\.

又因为B£>nA|B=B,BD,48U平面A|B£>,

所以平面AiBO〃平面CD\B\.

(2)由(1)知平面4即〃平面CDiBi,

又平面ABCDC平面。)］囱=直线/,

平面ABC。。平面A|8£>=直线BD,

所以直线/〃直线BD,

在四棱柱A8CQ—ASCiQi中，四边形囱为平行四边形,

所以所以BQJ/I.

题型三平行关系的综合应用

co

例4如图，在正方体48co-A]8]CQ]中，P,。分别为对角线5。，C。1上的点，且箔=

BP2

~PD=3'

⑴求证：尸。〃平面AiOQA；

47?

若是上的点，标的值为多少时，能使平面〃平面请给出证明.

(2)RABr\DPQR4AD4?

(1)证明连接CP并延长，与。A的延长线交于M点，如图，连接MO|,因为四边形ABCD

为正方形，

所以BC//AD,

故APBCsAPDM,

CP_BP_2

所以•

7M~~PD~V

又因为空=丝=2

乂凶刃QD|一pO_3'

CQCP2

所以QOi=丽=子

所以PQ//MDi.

又MDiU平面AIOIDA,PQQ平面AQQA,

故P。〃平面A\D\DA.

AR3

(2)解当了方的值为《时，能使平面PQR〃平面AQ1D4.如图,

i\DD

证明如下:

AR=3

因为AB=y

即鬻=多

BRBP

故ilr丽==丽

所以PR//DA.

又D4U平面AIDIDA,PRC平面4O1D4,

所以PR〃平面4AD4,

又PQ〃平面AiQQA,PQHPR=P,PQ,PRU平面PQR,

所以平面PQR〃平面AiDiDA.

【教师备选】

如图，四边形ABCD与AOEF均为平行四边形，M,N,G分别是A3,AD,EF的中点.求

证：

(1)BE〃平面DMF；

(2)平面BQE〃平面MNG.

证明(1)如图，连接AE,则AE必过。尸与GN的交点0,

连接M0,则M。为AABE的中位线，所以BE〃M0.

又8所平面DMF,M0U平面DMF,

所以BE〃平面DMF.

(2)因为N,G分别为平行四边形AOEf'的边A。，EF的中点，所以DE〃GN,

又OEQ平面MNG,GNU平面MNG,

所以OE〃平面MNG.

又M为AB的中点，

所以MN为△4BO的中位线，所以BD〃MN,

又MNU平面MNG,BZK平面MNG,

所以80〃平面MNG,

又£>E,BDU平面BDE,DEQBD=D,

所以平面BQE〃平面MNG.

思维升华证明平行关系的常用方法

熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题

的关键.面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.

跟踪训练3如图所示，四边形EFG4为空间四边形ABC。的一个截面，若截面为平行四边

形.

⑴求证：AB〃平面EFGH；

(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.

(1)证明；四边形E尸G”为平行四边形,

C.EF//HG.

；HGU平面ABO,Et风平面A8D,

〃平面ABD.

又；EFU平面ABC,

平面A8QC平面ABC=AB,

：.EF//AB,

又；A阅平面EFG",EFU平面EFGH,

〃平面EFGH.

⑵解设EF=x(0<x<4),

由⑴知EF〃AB,

.CF=EF=x

•软一而一不

与(1)同理可得CD//FG,

•FG_BF

•F=反，

FGBFBC-CF,x

则

BCBC14'

四边形EFGH的周长

L=2（x+6_%）=12—x.

又；0<r<4,.,.8<L<12,

故四边形EFG”周长的取值范围是（8,12）.

课时精练

立基础保分练

1.（2022.宁波模拟）下列命题中正确的是（）

A.若“，。是两条直线，且&〃b,那么。平行于经过匕的任何平面

B.若直线〃和平面a满足a〃a,那么。与a内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线“，和平面a满足a〃6,«Ca,Ma,贝！］b〃a

答案D

解析A中，。可以在过b的平面内；B中，a与a内的直线也可能异面；C中，两平面可能

相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知6〃a,正确.

2.（2022•呼和浩特模拟）设a,b是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则a〃夕的一

个充分条件是（）

A.存在一条直线a,a//a,a//p

B.存在一条直线a,aUa,a//p

C.存在两条平行直线a,h,aUa,bC.fi,a//p,h//a

D.存在两条异面直线a,b,aC.a,bUfj,a//P，b//a

答案D

解析对于A,一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不正确；

对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不正确；

对于C,两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不正确；

对于D,如图，在直线人上取点B,过点B和直线a确定一个平面y,交平面“于a',

因为。〃人所以“〃合,

又a'Qa,aC.a,所以a'//a,

又因为6〃a,bHa'=B,b<^p,a'U"，所以£〃a.

3.（2022・广州模拟）如图，在三棱柱ABC—ABG中,AM=2MA\,BN=2NB\,过MN作一

平面分别交底面AABC的边8C,AC于点E,F,则（）

A.MF//EB

B.A\B\//NE

C.四边形MNEF为平行四边形

D.四边形MNEF为梯形

答案D

解析由于B,E,尸三点共面，F©平面8EF,M在平面BEF,故MF,EB为异面直线，

故A错误；

由于Bi,N,E三点共面，囱右平面BWE,4母平面BiNE,故4囱，NE为异面直线，故B

错误；

;在平行四边形44由山中，AM=2MA\,

BN=2NB”

:.AM//BN,AM=BN,

故四边形AMNB为平行四边形，

：.MN//AB.

又MNQ平面ABC,ABU平面ABC,

〃平面ABC.

又MNU平面MNEF,平面MNEFA平面ABC=EF,

J.MN//EF,J.EF//AB,

显然在△ABC中，EF^AB,

:.EF/MN,

四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确.

4.（2022•杭州模拟）已知P为aABC所在平面外一点，平面a〃平面ABC,且a交线段布，

PB,PC于点A',夕，C',若孙'：/14'=2：3,则SAABc:SAABC等于（）

A.2：3

C.4：9D.4：25

答案D

解析：平面a〃平面ABC,

.♦.A'C'//AC,A'B'//AB,B'C//BC,

2

：.S&ABC-S&ABC^（PA'：PA）,

又PA':AA'=2:3,

：.PA':%=2：5,

•*"5AA,Bc•SAABC=^:25.

5.（多选）（2022・济宁模拟）如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，D,E,F

为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线A8与平面OE尸平行的是（）

答案AC

解析对于A,AB//DE,ABQ平面DEF,

OEU平面DEF,

直线AB与平面OEF平行，故A正确;

对于B,如图，取正方体所在棱的中点G,连接FG并延长，交A8延长线于H,则4B与平

面DEF相交于点〃，故B错误;

对于C,AB//DF,ABQ平面OEF,£>FU平面£>EF,

直线AB与平面DEF平行，故C正确；

对于D,AB与。尸所在平面的正方形对角线有交点8,。尸与该对角线平行，

直线AB与平面OEF相交，故D错误.

6.（多选）如图，透明塑料制成的长方体容器ABC。-481GA内灌进一些水，固定容器一边

48于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（）

A.没有水的部分始终呈棱柱形

B.水面EFGH所在四边形的面积为定值

C.随着容器倾斜程度的不同，AiG始终与水面所在平面平行

D.当容器倾斜如图（3）所示时，AEA”为定值

答案AD

解析根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公

共边都互相平行），结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边E尸的长保持不变，

但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为AG〃AC,ACU平面ABC。，4CQ平

面4BCC,所以4G〃平面ABC。，当平面EFGH不平行于平面ABC。时，AiG不平行于水

面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图（3）所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱

AEH-BFG的体积V为定值，又V^S^AEH-AB,高A8不变，所以SAAEH也不变，即AEAH

为定值，故D正确.

mUaI//m1

7.考查①②两个命题，①l//m，=/〃a；②m//a\=>l//a,它们都缺少同一个条件,

补上这个条件就可以使其构成真命题（其中/,机为直线，a为平面），则此条件为

答案IGa

解析①由线面平行的判定定理知/aa；②由线面平行的判定定理知/《a.

8.如图所示，在正四棱柱A8CD—A防G。中，E,F,G,H分别是棱CG，C\D\,D\D,

DC的中点,N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件

就有〃平面8山。£）］.（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

答案点M在线段FH上（或点M与点，重合）

解析连接HN,FH,PM图略），

则尸H〃DDi,HN//BD,

平面尸HN〃平面8出。£）|,只需MQFH,

则MNU平面FHN,，MN〃平面B\BDD\.

9.如图，在正方体ABCQ-Ai&CQi中，E,F,G,，分别是BC,CG，GA，A4i的中点,

求证：

⑴BF〃HDi；

(2)EG〃平面BBiDiD；

(3)平面2OF〃平面B\D\H.

证明如图.

（1）取BiB的中点M,

连接HM,MC\,易证四边形HMGOi是平行四边形,

：.HD\//MC\.

又MC//BF,

：.BF//HD\.

⑵取的中点。，连接OE,0D\,

贝ij0E*DC.

又。G统，）C,

：.OE^DiG.

四边形OEG。是平行四边形，

：.EG//D\O.

又OiOu平面BBiDiD,EGd平面BBQiD,

；.EG〃平面BB\D\D.

(3)由(1)知8尸〃由题意易证8Qi〃8D

又BiDi,"Au平面BQ1”，BF,BZ)u平面BDF,且DBCBF=B,

平面BDF〃平面BQH.

10.如图，在四棱锥P-A8C。中，AD//BC,AB=BC=^AD,E,F,H分别为线段AO,PC,

8的中点，AC与BE交于。点，G是线段OF上一点.

P

(1)求证：4P〃平面BEF；

(2)求证：GH〃平面B4D

证明(1)如图，连接EC,

因为AO〃BC,BC=^AD,

所以8C〃AE,BC=AE,

所以四边形A8CE是平行四边形,

所以。为AC的中点.

又因为F是PC的中点，

所以FO//AP,

因为FOu平面BEF,

AR平面BEF,

所以AP〃平面BEF.

(2)连接FH,OH,因为F,H分别是PC,CD的中点,

所以FH//PD,

因为POu平面PAD,FHQ平面PAD,

所以FH〃平面PAD.

又因为。是BE的中点，”是CD的中点，

所以OH〃A£>,

因为AOu平面PAD,OH。平面PAD,

所以OH〃平面PAD.

又FHCOH=H,FH,OHu平面OHF,

所以平面OHF〃平面PAD.

又因为GHu平面OHF,

所以GH〃平面PAD.

立技能提升练

11.（多选）已知a,夕是两个平面，m,〃是两条直线.下列命题正确的是（）

A.如果/«〃/j,〃Ua,那么加〃a

B.如果机〃a,〃?U夕，a（^p=n,那么"〃”

C.如果a〃6mC.a,那么根〃尸

D.如果a_L夕，aC\/3=n,mJ-n,那么，"_L£

答案BC

解析如果,"〃〃，nCa,那么机〃a或〃?Ua,故A不正确；

如果m//a,mcp,aC£=n,那么m//n,这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故B

正确；

如果a〃夕，皿Ua,那么〃?〃夕，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故C正确；

缺少相Ua这个条件，故D不正确.

12.（2022•福州检测）如图所示，正方体ABC£>—AIBJGQJ中，点E,F,G,P,。分别为棱

AB,C,D|,D\A\,D\D,GC的中点，则下列叙述中正确的是（）

A.直线BQ〃平面EFG

B.直线A8〃平面EFG

C.平面APC〃平面EFG

D.平面AiBQ〃平面EFG

答案B

解析过点E,F,G的截面如图所示（H,/分别为A4,BC的中点），连接4B,BQ,AP,

PC,易知8Q与平面EFG相交于点Q,故A错误；

AEB

'：AiB//HE,A山C平面EFG,HEU平面EFG,

，A|8〃平面EFG,故B正确；

APU平面AOOiAi,HGU平面AOOiA,延长HG与南必相交，故C错误；

易知平面4BQ与平面EFG有交点。，故D错误.

13.（多选）（2022・临沂模拟）如图1,在正方形A8CD中，点E为线段BC上的动点（不含端点）,

将AABE沿AE翻折，使得二面角B-AE-D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B-AECD,

点F为线段上的动点（不含端点），则在四棱锥B-AECD中，下列说法正确的有（）

A.B,E,C,尸四点不共面

B.存在点尸，使得CF〃平面BAE

C.三棱锥B-ADC的体积为定值

D.存在点E使得直线BE与直线CO垂直

答案AB

解析对于A,假设直线5E与直线CF在同一平面上，所以E在平面8CF上，

又因为E在折前线段BC上，BCD平面BCF=C,所以E与C重合，与E异于C矛盾,

所以直线BE与直线CF必不在同一平面上，即8,E,C,F四点不共面，故A正确；

对于B,如图，当点尸为线段8。的中点，

EC=）。时，直线CF〃平面8AE,证明如下：

取AB的中点G,连接GE,GF,

则EC//FG且EC=FG,

所以四边形ECFG为平行四边形,

所以FC〃EG,又因为EGU平面8AE,

则直线CF与平面B4E平行，故B正确；

对于C,在三棱锥B-4DC中，因为点E的移动会导致点B到平面4CD的距离发生变化，

所以三棱锥8—AOC的体积不是定值，故C不正确；

对于D,过。作。于，，因为平面BAEJ_平面AEC。，平面B4EC平面AEC£)=4E,

所以QH_L平面BAE,所以DH1BE,

若存在点E使得直线8E与直线CD垂直，DHU平面AECD,

且。CU平面AECQ,DHC\DC=D,所以8E_L平面AECZ),所以8£_L4E,

与AABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线C£＞垂直，故D

不正确.

14.如图，在长方体A8CD—4BiGOi中，AD=DD{=\,AB=小,E,F,G分别是AB,

BC,G9的中点，点P在平面ABC。内，若直线DP〃平面EFG,则线段OP长度的最小

值是.

竺案