(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量课时跟踪检测(二十六)平面向量的数量积其应用文

课时追踪检测（二十六）平面向量的数目积及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝________.分析：因为a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b，所以－4－2x＝0，x＝－2，所以a＝(1，－2)，a·b＝10.答案：102π2．(2018·江苏百校结盟联考)已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|2，则|b|＝________.分析：因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||ba，b＝8，1所以4＋2|b|×2＝8，解得|b|＝4.答案：43．(2017·盐城三模)已知向量a，b知足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝21，则向量a，b的夹角为________．分析：设向量a，b的夹角为θ，由|a－b|＝21得，21＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1π25＋1－2×5×cosθ，即cosθ＝2，所以向量a，b的夹角为3.答案：π34．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________．分析：a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0，所以m＝－2.答案：－25．(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ABC＝60°，则―→―→AB·AC＝________.分析：由题意得―→―→―→―→―→―→―→―→―→2＋AC＝AB＋AD，所以AB·AC＝AB·(AB＋AD)＝AB―→―→AB·AD＝4＋2×1×cos120°＝3.答案：3―→1―→―→1―→6．(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC，BD＝2BC，AE＝3AC，AD与―→―→BE交于点P，则PB·PD的值为________．1分析：如图，以D为原点，以BC为x轴，AD为y轴，成立平面直角33坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，D(0,0)，A(0，33)，E(1,23)，P0，2，―→―→―→2＝332＝27.所以PB·PD＝|PD|4227答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·淮安调研)已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|________.分析：由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0?－3＋x2＝0?x2＝3，所以|a|＝1＋x2＝4＝2.答案：2π32．若单位向量e1，e2的夹角为3，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝2，则λ＝________.分析：由题意可得e1·e2＝12，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ11＋＝0，解得λ＝－.421答案：－23．(2018·苏北四市期末)已知非零向量a，b知足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为________．分析：因为非零向量a，b知足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－1212252a－b252－4·ba＝－b，所以a·(2a－b)＝2a－a·b＝a，|2a－b|＝＝222aa52＝aa－b＝2a5577|a|，cos〈a2a－b〉＝＝＝.,|a|·|2a－b||a|·7|a|271457答案：144．(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且知足PA＝3，PC＝4，矩形对角线―→―→AC＝6，则PB·PD＝________.分析：由题意可得―→―→―→―→―→―→―→2―→―→PB·PD＝(PA＋AB)·(PA＋AD)＝PA＋PA·AD＋―→―→―→―→―→―→―→―→―→AB·PA＋AB·AD＝9＋PA·(AD＋AB)＋0＝9＋PA·AC＝9＋3×6×cos(π－22229＋36－1611PA＋AC－PC∠PAC)＝9－18×2××＝9－18×2×3×6＝－2.PAAC11答案：－25．(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD边长为π―→―→2，∠B＝，点P知足AP＝λAB，3λ∈，若―→―→BDR―→―→π分析：法一：由题意可得BA·BC＝2×2cos3＝2，―→―→―→―→―→―→BD·CP＝(BA＋BC)·(BP－BC)―→―→―→―→―→＝(BA＋BC)·[(AP－AB)－BC]―→―→―→―→＝(BA＋BC)·[(λ－1)·AB－BC]―→2―→―→―→―→―→2＝(1－λ)BA－BA·BC＋(1－λ)BA·BC－BC＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，1所以λ＝.2法二：成立如下图的平面直角坐标系，则(2,0)，(1，3)，(－1，3)．BCD―→―→3)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x令P(x,0)，由BD·CP＝(－3，3)·(x－1，－＝1.―→―→1因为AP＝λAB，所以λ＝.21答案：26.(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且＝3，＝5.若―→·―→＝－7，则―→·―→＝________.OAOCABADBCDC分析：―→·―→―→－―→―→―→)＝(―→＋―→―→―→)＝―→2－BC＝(OC)·(－ODOC)·(－OCDCOBOCODOCOD―→2―→―→―→2―→2―→―→―→2―→2―→2―→2OD，同理，AB·AD＝AO－OD＝－7，所以BC·DC＝OC－OD＝OC－AO－7＝9.3答案：97．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋2,2)，若(＋)⊥(－)，则向量，n的夹角mnmnmnm的余弦值为________．分析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，所以由(＋)⊥(－)得(＋)·(－)＝0，mnmnmnmn即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，则m＝(－2,1)，n＝(－1,2)，m·n4所以cos〈m，n〉＝|m||n|＝5.4答案：58.如下图，在等腰直角三角形―→―→AOB中，OA＝OB＝1，AB＝4AC，则―→―→―→＝________.OC·(OB－OA)―→―→2分析：由已知得|AB|＝2，|AC|＝4，―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→3π2则OC·(OB－OA)＝(OA＋AC)·AB＝OA·AB＋AC·AB＝2cos4＋412＝－2.答案：－

129．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；当k为什么值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．1解：由已知得，a·b＝4×8×－2＝－16.(1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝43.②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|4a－2b|＝163.因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.所以k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．―→―→10．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP＝2PD.4―→―→(1)若四边形ABCD是矩形，求AP·BP的值；(2)若四边形是平行四边形，且―→·―→＝6，求―→与―→夹角的余弦值．ABCDAPBPABAD解：(1)因为四边形ABCD是矩形，―→―→―→―→所以AB⊥AD，即AB·AD＝0，又＝9，＝6，―→＝2―→，ABBCCPPD―→―→―→―→1―→所以AP＝AD＋DP＝AD＋3AB，―→―→―→―→2―→BP＝BC＋CP＝AD－3AB，―→―→―→＋1―→―→2―→所以AP·BP＝AD3AB·AD－AB3―→21―→―→2―→2＝AD－3AB·AD－9AB222＝6－9×9＝18.―→―→(2)设AB与AD的夹角为θ，由(1)得，―→―→―→1―→―→2―→AP·BP＝AD＋3AB·AD－3AB―→21―→―→2―→2＝AD－3AB·AD－9AB21×9×6×cos22＝6－θ－×9＝6，392所以cosθ＝3.―→―→2故AB与AD夹角的余弦值为3.三登台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2的扇形中，∠＝90°，PAOBAOB―→―→―→―→为ABAB上的一点，若OP·OA＝2，则OP·AB＝________.分析：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴―→―→成立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,2)，设P(x，y)，由OP·OA＝2，5可得2x＝2，x＝1，P为AB上的一点，所以|―→―→，3)，OP|＝2，所以P(1，3)，OP＝(1又―→＝(－2,2)，所以―→·―→＝－2＋23.ABOPAB答案：－2＋232．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知△的边BCABC的垂直均分线交AC于点P，交BC于点Q.若|―→―→AB|＝3，|AC|＝5，―→―→―→―→的值为________．则(AP＋AQ)·(AB－AC)分析：法一：因为―→＝―→＋―→，所以―→＋―→＝2―→＋―→，APAQQPAPAQAQQP―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→而AB－AC＝CB，因为QP⊥CB，所以QP·CB＝0，所以(AP＋AQ)·(AB－AC)―→―→―→―→―→―→―→―→(2AQ＋QP)·CB＝2AQ·CB，又因为Q是BC的中点，所以2AQ＝AB＋AC，故―→―→―→―→―→―→―→2―→22AQ·CB＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB－AC＝9－25＝－16.法二：由题意得△ABC是不确立的，而最后的结果是独一的，所以取⊥，进而PABBC为AC的中点．―→―→―→3又|AB|＝3，|AC|＝5，所以|BC|＝4，cos∠BAC＝5，―→―→1―→1―→―→1―→―→故AP＋AQ＝2AC＋2(AB＋AC)＝2AB＋AC，进而―→―→―→―→(AP＋AQ)·(AB－AC)1―→＋―→―→―→＝2ABAC·(AB－AC)1―→―→―→22AB＋2AB·AC－AC1×9＋1×3×5×3－25＝－16.1―→225答案：－163．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且知足(―→―→―→―→2a－c)BA·BC＝cCB·CA.求角B的大小；―→―→若|BA－BC|＝6，求△ABC面积的最大值．解：(1)由题意得(2a－c)cosB＝bcosC.依据正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinB