河南省南阳市卧龙区2022年中考二模数学试题（含答案与解析）

2022年河南省南阳市卧龙区中考二模试题

数学

（考试时间100分钟试卷满分120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。

3.非选择题的作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试

题卷上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.

1.1-9的值是（）

A.9B.-9C.-D.±9

9

2.2021年中国GDP突破110万亿元，达到114.4万亿元，稳居全球第二大经济体.数据“114.4万亿”用

科学记数法表示是（）

A.1.144xl013B.1.144xl014C.0.1144xl014D.0.1144xl015

3.下列运算正确的是（）

A.cr+7>cr=4tz4B.

C.=a2-1D.-2/b3c2加=-2〃%

x—442（JC—1）

4.不等式组,1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（）

-（x+3）>x+1

卜BC.D.

5.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中，手的对面是口的是（）

勤|洗手_

A.藏口|罩

6.将一副三角板按如图所示位置摆放在直尺上，则N1的度数为（)

A.75°B,100°C.105°D.110°

7.定义运算：加一加〃一1，则方程3众7=0的根的情况为（）

A.无实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

8.已知一次函数丁=依-1经过B（2,%）两点，且M>力，则上的取值范围是（）

A.k>0B.k=0C.k<0D.不能确定

9.如图1,点P从AABC的顶点A出发，沿Af8fC匀速运动到点C,图2是点P运动时线段CP的

长度y随时间X变化的关系图象，其中点。为曲线部分的最低点，则AABC的边A8的长度为（）

10.如图，正方形ABC。的四个顶点均在坐标轴上，AB=2.将正方形A8C0绕点O顺时针旋转，每秒

旋转60。，同时点P从的中点处出发，在正方形的边上顺时针移动，每秒移动1个单位，则第2022秒

时，点P的坐标为（）

y

（遮一遮］

D.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.函数y=@二二的自变量x的取值范围是

x+1

计算：（7。一D+卜£|

12.

2x4-y=3

13.若心），满足<1，则3x+3y值为

14.如图，已知直线y=|x-3分别交x轴，y轴于A,B两点，将线段平移至CC的位置，使点。落

k

在X轴的负半轴上，点C在反比例函数y=：（x<0）的图象上，若治.8=9,则该反比例函数的解析式

15.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,ZBCD=45°,AB=BD=6,E为

4。上一动点，连接BE,将八钻石沿BE折叠得到AEBE,当点尸落在平行四边形的对角线上时，。尸的

长为.

三、解答题（共75分）

16'先化简,再求代数式£+1呈加值’其中户333。。+2.

17.年的6月6日为全国爱眼日.某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九（1）班和九（2）班

各随机抽取了10名学生，对他们进行视力检查，并把他们的视力数据收集整理分析如下：

【收集数据】

九（1）班学生视力数据：4.9,4.8,4.9,4.6,4.8,4.9,4.9,5.0,4.9,5.1

九（2）班学生视力数据：4.8,5.1,4.7,5.0,4.9,4.8,5.0,4.6,4,8,5.1

【整理数据】

九年级（1）班学生视力的扇形统计图:

视力分组

A455-4.75

B475-4.95

C495-5.15

【分析数据】

班级平均数中位数众数方差

九（1）班4.88a4.900156

九（2）班4.884.854.80.0256

（1）a=；

（2）若随机从九（1）班选取一名学生，该学生视力数据落在A组的概率约为；

（3）若九（2）班共有50名学生，则该班学生视力数据落在4.65〜5.05之间的大约有人；

（4）根据九（1）班、九（2）班分别抽取的10名学生的视力情况，你认为哪个班级学生的视力健康情况

总体更好一些？并说明理由.

18.北京冬奥会首钢滑雪大跳台以飘带曲线构筑的建筑外形十分优美、流畅，向世界传递出了中国式的浪

漫.某小组开展数学实践活动，在大跳台另一侧进行测量.如图，已知测倾器高度为1米，在测点A处安

置测倾器，测得点尸处的仰角/PBE=45。，在与点A相距7.8米的测点C处安置测倾器，测得点尸处的仰

角NPZ）E=50°（A,C与Q在一条直线上），求首钢大跳台起点到地面的高度PQ.（参考数据：

tan50°~1.20,sin500~0.77,cos50yo.64,计算结果精确到1米）

19.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过

ax

程.下面我们对函数y=（丫_（2+〃的图象与性质进行探究,下表是该函数y与自变量X的几组对应值

（y取近似值）:

_3£3_

X.・・-3-2-10123•・・

~2~2~2222

・・・I2

y1.061.131.21.240.920-2.4-6-7.2-6-4.62-3.6・・・

请解答下列问题：

(1)求该函数的解析式；

(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；

(3)写出该函数的一条性质—

20.已知：如图，直线a和直线外一点P.

求作：过点P作直线PC,使尸C〃a.

作法：①在直线。上取一点。，以点。为圆心，OP长为半径画经过点P的半圆，交直线。于A,B两点

(点A在点8左边)；②连接AP；③以点8为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；④作直线PC则

直线PC即为所求作的直线.请你：

P.

a

O

(1)使用无刻度的直尺和圆规，依上面的作法在所给的图中画出图形(点。已经给出，保留作图痕迹)；

(2)证明：PC//a；

(3)若A6=2，N84C=30°,则劣弧尸C和弦PC所围成的图形的面积为.

21.在新冠疫情防控期间，很多企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”.某爱心企业计划购买一批

口罩捐赠给学校，该企业计划用2400元购买4品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以

打八折，实际购买时按打八折后的价格，结果购买的数量比打折前多100个.

(1)求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？

(2)由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和8品牌N95口罩共800个.已知8品

牌N95口罩每个原售价为7元，现在两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过B

品牌N95口罩的三分之一，请问该爱心企业原计划用的2400元钱是否够用？如果够用，请设计一种最节

省的购买方案：如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？

22.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=%2+（a—l）x—2a,其中。为常数，点A（T,2a-4）在

此抛物线上.

（1）求抛物线的解析式及点4的坐标；

（2）设点M（x,y）为抛物线上一点，当—3«xW2时，求纵坐标y最大值与最小值的差；

（3）已知点尸（一2,-3）,。（2,-3）为平面直角坐标系内两点，连接PQ.将线段PQ向下平移r个单位

。>0）,在平移的过程中，要使线段PQ与抛物线始终只有一个公共点，则/的取值范围是_____.

23.如图，已知AABC和AADE是有公共顶点的两个等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,连接

BD,CE,8。和CE所在的直线交于点P.

（1）当△ABC绕点A旋转到图1的位置时，线段BD和CE之间的数量关系是；

（2）把AABC绕点4旋转，使/£4C=90°,请先在备用图中画出旋转后的图形，然后求当AB=3,

A£>=5时的长；

（3）若AB=3,AD=5,在绕点A旋转的过程中，线段尸。长度的最小值是.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.

1.1-9的值是（）

A.9B.-9C.-D.±9

9

【答案】A

【解析】

【分析】根据绝对值的计算方法：负数的绝对值等于它的相反数即可求解.

【详解】v|-9|=9,

.•.卜9|的值是9,

故选：A.

【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的性质，熟练掌握：正数和0的绝对值是其本身，负

数的绝对值是其相反数.

2.2021年中国G£>尸突破110万亿元，达到114.4万亿元，稳居全球第二大经济体.数据“114.4万亿”用

科学记数法表示是()

A.1.144xl013B.1.144X10'4C.0.1144xl014D.0.1144xl015

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正

整数；当原数的绝对值VI时，〃是负整数.

【详解】解：114.4万亿=114400000000000=1.144x1014.

故选：B.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中〃

为整数，表示时关键要确定〃的值以及”的值.

3.下列运算正确的是()

A.a2+3a2-4a4B.(-3a2/?)'=6a4b2

C.(«-l)2=«2-lD.-2a4/?3?4-(-«/?c)2=-2a2b

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式法则，逐项判断即可求解.

222

【详解】解：A、a+3«=4a.故本选项错误，不符合题意；

B、(-3a232=9a%2,故本选项错误，不符合题意；

C、(«-l)2=a2-2«+l,故本选项错误，不符合题意；

D、-2a4b3c2^-abc^=-2a4b3c2^a2b2c2=-2a2b,故本选项正确，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算

法则是解题的关键.

x-4<2(x-l)

4不等式组,x+3)〉x+”两个不等式的解集在数轴上表示正确的是()

B-D-

【答案】A

【解析】

【分析】分别解不等式①和②，求得原不等式组的解集为-2?x1,即可选出答案.

x-4<2(x-l)®

【详解】解:

耳x+3)〉x+l②

2

解不等式①：去括号，得x—4W2x—2,

移项，Wx-2x<4-2,

合并同类项，得一xW2,

系数化为1,得N2-2；

解不等式②：去分母，得x+3>2（x+l）,

去括号，得x+3>2x+2,

移项，得x-2x>2-3,

合并同类项，得-%>-1,

系数化为1,得X<1；

故原不等式组的解集为-2?x1.

故选A.

【点睛】本题考查不等式组，是中考的常考知识点，熟练掌握不等式组的解法是顺利解题的关键.

5.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中，手的对面是口的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点逐项判断即可.

【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形,

A、手的对面是勤，所以本选项不符合题意;

B、手的对面是口，所以本选项符合题意;

C、手的对面是罩，所以本选项不符合题意;

D、手的对面是罩，所以本选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了正方体相对面上的文字，属于常考题型，熟知正方体相对两个面的特征是解题的关

键.

6.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则N1的度数为()

A.75°B.100°C.105°D,110°

【答案】C

【解析】

【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案.

【详解】解：如图

•••Z2=180。-30°-45°=105°.

AB\\CD,

Z1=Z2=1O5°.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键.

7.定义运算：加☆〃=机〃2一加〃一1，则方程3仑^=()的根的情况为()

A.无实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【答案】D

【解析】

【分析】利用新定义得到3y2-3丁-1=0,然后利用/>0可判断方程根的情况.

【详解】由新定义得：3^y=3y2—3y—l=0

2

VA=(-3)-4X3X(-1)=21>0,

方程有两个不相等的实数根.

故选：D.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（“#））的根与/=尻-4/有如下关系：当/>0

时，方程有两个不相等的实数根；当/=0时-，方程有两个相等的实数根；当/<0时，方程无实数根.

8.已知一次函数丁="一1经过A（—l,yj,B（2,%）两点，且x>%，则k的取值范围是（）

A.k>0B.k=0C.k<QD.不能确定

【答案】C

【解析】

【分析】根据一次函数的增减性可得出结论.

【详解】；T<2，x>%，

.••函数），随x的增大而减小.

：.k<0,

故选：C.

【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键.

9.如图1,点P从AABC的顶点A出发，沿AfBfC匀速运动到点C图2是点P运动时线段CP的

长度y随时间X变化的关系图象，其中点。为曲线部分的最低点，则AABC的边的长度为（）

【答案】c

【解析】

【分析】根据图象可知点P沿Af6fC匀速运动到点C,此时AC最长，CP在AB边上先变小后变

大，从而可求出AB上的高，从图象可以看出点P运动到点B时CP=CB=13,可知AABC是等腰三角形,

进而得出结论.

【详解】由图象可知：点P在A上时，CP=AC=13,

点P在AB上运动时，在图象上有最低点，即AB边上的高，为12,

点P与点B重合时，CP即BC最长，为13,

所以，AABC是等腰三角形，

AB的长=2x7132-122=2x5=10

故选：C

【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度.

10.如图，正方形A8CO的四个顶点均在坐标轴上，A3=2.将正方形ABCD绕点。顺时针旋转，每秒

旋转60，同时点尸从AB的中点处出发，在正方形的边上顺时针移动,每秒移动1个单位，则第2022秒

时，点P的坐标为（）

也回

A.B.—也也1C.D.j

亍司一彳‘-"2

r7I2J

【答案】C

【解析】

【分析】正方形绕原点沿顺时针方向每秒旋转60°，旋转一周需要6秒,2022+6=337,第2022秒时正

方形回到初始位置；点P每秒移动1个单位，移动一周需要8秒，2022+8=2526,第2022秒时点

P移动到第三象限的位置，作PE_LOB于点E,根据点P为8c中点，得到尸3=1.根据正方形的性质

可知NPBE=45。,得到PE=BE=4Z，根据AB=2,得到。8=0，OE=—.得到点P的坐标

22

四

为J——V2

2J

【详解】•••正方形每秒旋转60。,

•.每6秒旋转一周,

2022+6=337,

♦.第2022秒时正方形回到初始位置;

.•点P每秒移动1个单位,

,.每8秒移动--周,

.•2022+8=252……6,

♦.第2022秒时点P移动到如图所示的位置,

过点尸作于点E,

.•点尸为8C中点,

••PB=\,

由正方形的性质可知NPBE=45°，

/.PE=BE=—

2

,:AB=2，

0B=y/2-

0E=—

2

（V2夜1

点P的坐标为I一-2-,--2—）

故选C.

【点睛】本题主要考查了正方形旋转，动点移动，熟练掌握正方形的边的性质，旋转图形的全等性质，动

点移动路线形状与移动速度的性质，是解决本题的关键.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.函数＞=上±的自变量x的取值范围是.

x+1

【答案】启1且在-1

【解析】

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

【详解】解：由题意得，1-启0且壮1加，

解得烂1且冲-1.

故答案为：闫且在-1.

【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取

全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被

开方数非负.

12.计算：（乃—12。22）+（_；）'=.

【答案】-6

【解析】

【分析】先根据零指数器，乘方，负整数指数基化简，再合并，即可求解.

-3

【详解】解：（万—2）°-（—产2）+"

=1+1-8

故答案为：-6

【点睛】本题主要考查了零指数累，乘方，负整数指数累，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

2x+y=3〜c

13.若x,y满足《，，则3x+3y的值为.

【答案】5

【解析】

【分析】解二元一次方程组求出x、y的值，再代入求值即可.

【详解】\c

①+②得3x=4

4

解得尤=彳

41

把x=§代入②得y=§

41

，3x+3y=3x—+3x—=5

33

故答案为：5

【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，利用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键.

14.如图，已知直线丁=^X—3分别交x轴，y轴于A,8两点，将线段A8平移至C。的位置，使点。落

k

在X轴的负半轴上，点C在反比例函数y=、(x<0)的图象上，若S“°=9,则该反比例函数的解析式

【答案】y=--(x<0)

X

【解析】

【分析】过点C作CELA。于E,得出NCED=/8OA=90。，根据平移得出AB=C£>,AB//CE,利用平行

线性质得出/C£>E=/A4。，可证丝ZSABO(AAS)得出CE=80,DE=AO,利用直线与x轴，y轴

于A,B两点，求出点A(2,0),B(0,-3)再利用三角形面积求出AD即可.

【详解】解：过点C作CE_LA£>于E,

ZCED=ZBOA=90°,

•.•将线段AB平移至CD的位置，

：.AB=CD,AB//CE,

：.ZCDE=ZBAO,

在ZkOCE和"8。中，

NCED=ZBOA

<ZCDE=ZBAO,

CD=BA

.•.△DCE^AABO(AAS)

：.CE=BO,DE=AO,

3

:直线>=5*-3分别交x轴，y轴于A,B两点，

；.点A(2,0),B(0,-3)

：.CE=BO=3,DE=AO=2,

S^ACD=9，

--SAACD=^CEDA=^X3AD=9,

：.AD=6,

：.OE=AD-AO-DE=2f

，点C(-2,3),

k

•・•点C在反比例函数y=t(xvO)的图象上，

k—xy-—6,

y=——(x<0).

故答案：y=-9(x<0).

本题考查待定系数法求反比例函数解析式，平移性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，直线于两轴

的交点坐标，三角形面积，掌握待定系数法求反比例函数解析式，平移性质，平行线性质，三角形全等判

定与性质，直线于两轴的交点坐标，三角形面积是解题关键.

15.如图，在平行四边形A8C。中，对角线AC,BO相交于点O,=45°,AB=BD=6,E为

AQ上一动点，连接BE,将人钻£沿BE折叠得到△FBE，当点尸落在平行四边形的对角线上时，。尸的

长为.

【答案】3或拽

5

【解析】

【分析】分点F落在8。上和落在AC上，两种情况讨论求解即可.

【详解】解：如图1所示，当点尸落在对角线3。上时，

由翻折的性质可得AB=BF,

•：AB=BD=6,

：.BF=BD,即尸与O重合，

•.•四边形ABC。是平行四边形，

・・,0F=0B=LBD=3；

2

如图2所示，当点尸在AC上时，设4c与BE交于G,

•••四边形ABCO是平行四边形，

ZBAD=ZBCD=45°,

;AB=BD,

：.NBAD=NBDA=45。,

：.ZABD=90°,

AO=y/AB2+OB2=3x/5，

由折叠的性质可知AG=FG,AFA.BE,

：.ZBGO=ZABO=90°,

又：NAOB=/BOG,

：.△AOBs/\BOG,

.OGOB

>•-------=--------

OBOA

...即止=亚

OA5

；•AG=FG^OA-OG=^^-

5

9J5

OFFG-OG=-

5

故答案为：3或为5.

5

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确画

出图形，利用分类讨论的思想求解是关键.

三、解答题（共75分）

⑹先化简,再求代数式号《一!^的值'其中户3皿3。。+2.

【答案】一二，旦

x—23

【解析】

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可.

3x+2x-\

【详解】解:原式(x+2)(x-2)

x+2x+2

3.3

(x+2)(x-2)x+2

3x+2

(x+2)(x-2)3

1

-7^2

当X=3tan300+2=3x2^+2=6+2，

3

原式二」=理

V3+2-2J33

【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及特殊角的三角函数值.

17.年的6月6日为全国爱眼日.某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九（1）班和九（2）班

各随机抽取了10名学生，对他们进行视力检查，并把他们的视力数据收集整理分析如下：

【收集数据】

九（1）班学生视力数据：4.9,4.8,4.9,4.6,4.8,4.9,4.9,5.0,4.9,5.1

九（2）班学生视力数据:4.8,5.1,4.7,5.0,4.9,4.8,5.0,4.6,4.8,5.1

【整理数据】

九年级（1）班学生视力扇形统计图:

九年级（2）班学生视力的频数分布直方图:

【分析数据】

班级平均数中位数众数方差

九（1）班4.88a4.90.0156

九（2）班4.884.854.80.0256

（1）a=；

（2）若随机从九（1）班选取一名学生，该学生视力数据落在A组的概率约为；

（3）若九（2）班共有50名学生，则该班学生视力数据落在4.65〜5.05之间的大约有人；

（4）根据九（1）班、九（2）班分别抽取的10名学生的视力情况，你认为哪个班级学生的视力健康情况

总体更好一些？并说明理由.

【答案】（1）4.9

（3）35

（4）九（1）班学生的视力健康情况总体更好一些；

【解析】

【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；

（2）由扇形统计图求出A所占的比例即可求落在A组的概率;

（3）用样本估计总体即可；

（4）从平均数、中位数、众数、方差各个方面分析即可;

【做出决策】估计表格中的数据判断即可.

【小问1详解】

九（1）班学生视力数据重新排序后为：4.6,4.8,4.8,4.9,4.9,4.9,4.9,4.9,5.0,5.1

121124.9

10人的中位数为:=

2

即a=4.9

【小问2详解】

扇形统计图求出A所占的比例为1-20%-70%=10%

...随机从九（1）班选取一名学生，该学生视力数据落在A组的概率约为10%=£

【小问3详解】

4+37

样本中该班学生视力数据落在4.65〜5.05之间概率为一—

1010

7

...九（2）班共有50名学生，则该班学生视力数据落在4.65〜5.05之间的大约有50x—=35人

10

【小问4详解】

从平均数来看，两个班一样；

从众数和中位数来看，九（1）班学生的视力健康情况总体更好一些；

从方差来看，九（D班更加稳定，学生的视力健康情况总体更好一些；

综上，九（1）班学生的视力健康情况总体更好一些；

【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差的意义以及频数分布表，明确平均数、中位数、方差所反映数

据的特征是解决问题、做出判断的前提.

18.北京冬奥会首钢滑雪大跳台以飘带曲线构筑的建筑外形十分优美、流畅，向世界传递出了中国式的浪

漫.某小组开展数学实践活动，在大跳台另一侧进行测量.如图，已知测倾器高度为1米，在测点A处安

置测倾器，测得点P处的仰角NPBE=45。,在与点A相距7.8米的测点C处安置测倾器，测得点P处的仰

角NPZ）E=5（）。（A,C与。在一条直线上），求首钢大跳台起点到地面的高度P。.（参考数据：

tan50°~1.20,sin50cM）.77,cos50°~0.64,计算结果精确到1米）

【答案】首钢大跳台起点到地面的高度为47.8m

【解析】

【分析】延长8。交尸。于点F,根据NP8尸=45。，得出正尸=3尸，然后在RSPZA7中用尸尸表示出

DF,根据班'一£户=3。列出方程，解方程即可得出PF的长，进而求出尸Q.

【详解】解：延长80交PQ尸点?如图所示：

•；BF工PF，NPBF=45°,

NBPF=90°-NPBF=45°,

:./PBF=/BPF，

:.PF=BF，

设PF=BF=x,

在中，tanZPDF=—,

DF

NPDF=50。,

x

tan50°=—

DF

Y

则。F=x

tan50°L2

•.•BO=AC=7.8,

：.BF-DF=BD=7.8,

解得：x=46.8,

即PE=46.8m,

•t,FQ=AB=Im,

:.PQ=PF+FQ=47.Sm,

答：首钢大跳台起点到地面的高度为47.8m.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

19.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过

ax

程.下面我们对函数丁=G71]^的图象与性质进行探究，下表是该函数y与自变量x的儿组对应值

（y取近似值）:

・・・_5_23_3・・・

X-3-2-10123

~2~2~2222

.・・106092・・・

y1.131.21.241.20-2.4—6-7.2-6-4.62-3.6

请解答下列问题:

(1)求该函数的解析式；

(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象;

(3)写出该函数的一条性质.

-6x

【答案】()y=

1(x-l)2+l

(2)见解析(3)x>2时，y随x的增大而增大(答案不唯一)

【解析】

【分析】(1)将(-1,1.2),(1,-6)代入解析式，用待定系数法求出a,b即可;

(2)先描点，再连线即可;

(3)观察函数图象，写出函数满足的任意一条的性质即可(可从增减性、对称性等考虑);

【小问I详解】

由表格得，(-1,1.2),(1,-6)在函数上，

ax

将(-1,1.2),(1,-6)代入~kT

(x-1)+b

-a

1.2=

(-1-1)2+Z?

得:

a=-6

解得:

工=1

-6x

・・・该函数解析式为：

y(5+1'

【小问2详解】

描点、连线，图形如下:

【小问3详解】

由图可知，x>2时，了随x的增大而增大（答案不唯一）

【点睛】本题考查函数图象和性质，能够用表格中已知点通过待定系数法求出函数解析式、利用描点法画

图是关键.

20.已知：如图，直线a和直线外一点P.

求作：过点P作直线PC,使尸C〃/

作法：①在直线。上取一点。，以点。为圆心，OP长为半径画经过点P的半圆，交直线a于A,B两点

（点A在点B左边）；②连接AP；③以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；④作直线PC.则

直线PC即为所求作的直线.请你：

P.

a

O

（1）使用无刻度的直尺和圆规，依上面的作法在所给的图中画出图形（点。已经给出，保留作图痕迹）;

（2）证明：PC//a；

（3）若AB=2,N84C=30°,则劣弧PC和弦PC所围成的图形的面积为.

【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）工—走

64

【解析】

【分析】（1）根据题意，画出图形，即可求解；

(2)根据同圆中，等弧所对的圆周角相等,即可求解;

(3)过点。作OOLPC于点。，连接0P,OC,AC,根据圆周角定理可得NBOC=2/BAC=60。，

N4OP=60°,可证得△OPC是等边三角形,再由劣弧PC和弦PC所围成的图形的面积为

S扇形COP-S4cop>即可求解.

【小问1详解】

解：如图，直线PC即为所求作的直线.

【小问2详解】

证明：连接P8,根据题意得AP=BC,

BC=AP，

：.NABP=NCPB,

：.PC//a-,

【小问3详解】

解：如图，过点。作OOLPC于点。，连接。P,OC,AC,

VAB=2,ZBAC=30°,

：.BC=OP=OC=\,NBOC=2/BAC=60°,

BC=AP，

NABP=NBAC=30°,

AZAOP=60a,

；.NCOP=60°,

OP=OC,

...△OPC是等边三角形，

AZPOD=30°,PC=\,

OD=OP-cosAPOD=—，

2

...劣弧CP和弦PC所围成的图形的面积为

_60^-xI216_兀石

-xlxT=--T

【点睛】本题主要考查了作图一一复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，求

扇形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

21.在新冠疫情防控期间，很多企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”.某爱心企业计划购买一批

口罩捐赠给学校，该企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以

打八折，实际购买时按打八折后的价格，结果购买的数量比打折前多100个.

（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？

（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个.已知B品

牌N95口罩每个原售价为7元，现在两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过B

品牌N95口罩的三分之一，请问该爱心企业原计划用的2400元钱是否够用？如果够用，请设计一种最节

省的购买方案；如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？

【答案】（1）6元（2）该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1760元钱

【解析】

【分析】（1）设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口罩的售价是0.8x

元，利用数量=总价+单价，结合打折后购买的数量比打折前多100个，即可得出关于x的分式方程，解

之经检验后即可得出结论；

（2）设购进A品牌N95口罩烧个，购买800个口罩的总费用为w元，则购进3品牌N95口罩（800-X）

个，利用总价=单价X数量，即可得出w关于，〃的函数关系式，再利用一次函数的性质可得出卬的最小

值，将其与2400比较作差后即可得出结论.

【小问1详解】

解：设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，

则打折后每个A品牌N95口罩的售价是0.8x元，

2400

依题意得:理=1。。

0.8%X

解得x=6,

经检验，x=6是原方程的解，且符合题意.

答：打折前每个A品牌N95口罩的售价是6元；

【小问2详解】

解：设购进A品牌N95口罩加个，购买800个口罩的总费用为w元,

则购进B品牌N95口罩（800-根）个,

依题意得：w=6x0.8/77+7x0.8(800-m)=-0.8/T?+4480,

随胆的增大而减小，

又•・・m<800x'=400,

2

当〃2=400时，卬取得最小值,

最小值=-0.8x400+4480=4160.

V4160>2400,且4160-2400=1760（元），

...该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1760元钱.

答：该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1760元钱.

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出

分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于，"的函数关系式.

22.在平面直角坐标系X。），中，已知抛物线y=f+（a-l）x—2a,其中“为常数，点A（T,2a—4）在

此抛物线上.

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；

（2）设点M（x,y）为抛物线上一点，当—3WxW2时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；

（3）已知点P（-2,-3）,。（2,-3）为平面直角坐标系内两点，连接PQ.将线段PQ向下平移，个单位

（t>0）,在平移的过程中，要使线段与抛物线始终只有一个公共点，则/的取值范围是______.

【答案】（1）抛物线的解析式为产/+2x-6.点A的坐标为（-4,2）

（2）9（3）0</<3

【解析】

【分析】（1）将点坐标代入解析式求解得出。的值即可.

（2）根据抛物线开口方向及对称轴方程可得m-1时y取最小值，x=2时y取最大值，进而求解.

（3）分类讨论抛物线顶点落在PQ上，点尸和点。落在抛物线上的临界值，通过数形结合求解.

【小问1详解】

把点A（-4,2a-4）代入抛物线解析式（白-1）x-2a,

得2a~4=（-4）2-4（。-1）-2a.

解得a=3.

・・・抛物线的解析式为,=/+2心6.点A的坐标为（-4,2）.

【小问2详解】

2

•・,抛物线的对称轴为直线工=--=-1,且-30烂2.

2

・\当x=-l时，y最小=-7・

二•当4-3时，）=-3；当x=2时，）=2,

・力般大=2.

・••点M纵坐标y的最大值与最小值的差为：>城大-y勉小=2-（-7）=9.

【小问3详解】

由题意可知，PQ〃x轴.且