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6/6北京科技大学2０11年《科学与工程计算》研究生考试试题答案一、填空题（每空题2分，共２0分) 1。是精确值的近似值，则其有4位有效数字。1。６487212748650７87８１４22．为了提高数值计算精度,当数非常大时，应将改写为.3．设,则=4,＝。 4.已知为区间[0，1］上关于权函数的首项系数为1的正交多项式族,，则.5．设,则差商=1。=0６.求解初值问题时，若用改进欧拉方法的绝对稳定域中步长h不超过。0。1.7.设是［0,2］上的三次样条函数，那么a=－2,ｂ=3。二、(1０分）用牛顿法求的近似值，取初始值,要求误差解:利用牛顿法构造递推公式,(２分）,计算结果如下，２分2分2分２分（１分)三、（10分）使用Dolｉｔtlｅ三角分解求解线性方程组解：求解得求解得四、（１０分）设其中,给出求解的Gauｓs－Ｓeiｄeｌ迭代矩阵，并给出Gaｕss－Ｓeｉdel迭代收敛时的范围.解：或由导出迭代矩阵Gauｓs-Ｓeidel迭代收敛时，五、（10分）找到合适的househｏｌｄ矩阵,使得，其中c为某常数。解：,令，有。六、(10分)已知函数在［-1，１］上存在连续的五阶导数,试求一个不超过4次多项式，使得和。解：方法１首先构造差商表：ｘ—１-10１1f（x)—10-10-５2210５7１８—５11135１那么,（每个插商1分,总9分）（1分）方法２待定系数法（1分）(1分）（1分）（1分)（1分）解得（5分）（０分）或解得或先由构造出拉格朗日插值多项式,由，且的次数为4，所以解得七、（1０分）已知数据表01２333514用最小二乘法求二次拟合多项式。解:解方程得（每个非0系数1分,共8分）二阶拟合多项式为(2分）八、（1０分)构造求积公式，使其代数精度尽可能高，(1)给出最高的代数精度（２)使用此公式和Simpson求积公式计算，对比两者误差并分析原因。解:时相等时时解得当当最高代数精度为3（2）误差0.5８1Simpson公式误差—0.010５929００两者代数精度均为3，但前者计算量与误差均小于后者.九、(10分）用改进的欧拉方法求解初值问题取步长,计算的近似值并与准确值比较.解:，,公式2分，,,（１分）(１分）,,（１分）真实值1．0050２5126(1分),误差0。(

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