2020七宝中学招生人数2020

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海市七宝中学高一上学期期中数学试题（解析

版）20XX-2020学年市中学高一上学期期中数学试题一、单选题1.设命题甲“”，命题乙“”，那么甲是乙的（）入.充分非必要条B.必要非充分条C.充要条D.既非充分又非必要条【答案】A【解析】分析成立的条，根据充分性、必要性的概念即可选出正确答案.【详解】因为，所以由一定能推出，由，不一定能推出，所以甲是乙的充分非必要条.故选：A【点睛】本题考查了充分非必要条的判断,属于基础题.2.已知集合，，则与的关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】用列举法表示集合，这样就可以选出正确答案.【详解】或或或.因此，所以.故选：C【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，理解本题中集合元素的属性特征是解题的关键.3.若实数、、满足,则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】利用取特殊值的方法和差比的比较法即可选出正确答案.【详解】选项A：当时，显然满足,但是，显然不成立；选项B：，因为，所以，故本结论成立；选项C：当时，显然不成立；选项D：当时，不等式能成立，但是此时不成立.故选：B【点睛】本题考查了利用已知不等式判断有关不等式是否成立问题，利用特殊值法、差比的比较法、不等式的性质是解决这类问题的常用方法.已知、、为实数，，，记集合，，则下列命题为真命题的是（）A.若集合的元素个数为2,则集合的元素个数也一定为2B.若集合的元素个数为2,则集合的元素个数也一定为2C.若集合的元素个数为3,则集合的元素个数也一定为3D.若集合的元素个数为3,则集合的元素个数也一定为3【答案】D【解析】利用一元二次方程根的判别式，结合函数的表达式，先考虑当集合的元素个数分别为2、3时，集合的元素个数情况；再考虑当集合的元素个数分别为2、3时，集合的元素个数情况，最后选出正确答案.【详解】选项A：当时，集合的元素个数为2,此时，集合的元素个数为1,故本选项说法错误；选项B：当时，集合的元素个数为2,此时，集合的元素个数为3，故本选项说法错误；选项C：当时，集合的元素个数为3,此时，集合的元素个数为2,故本选项说法错误；选项D：若集合的元素个数为3,方程有三个不等实根，则有,在该条下方程一定有这一个根，且不是的根，又，所以有两个不等于的根，即集合的元素个数也一定为3.故选：D【点睛】本题考查了通过方程根的情况求参数问题，考查了分类讨论思想.二、填空题已知集合，，且,则实数的取值范围是.【答案】【解析】利用数轴，根据集合并集的定义，结合已知，可以求出实数的取值范围.【详解】因为集合，，且，所以，因此实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数问题，利用数轴、理解掌握集合并集的定义是解题的关键.若集合，，若，则实数.【答案】【解析】根据,可以确定，运用分类讨论方法进行求解，求解过程中要再计算一下.【详解】因为，所以.当时，解得，此时，因此，这与不符，故舍去；当时，解得，此时，所以符合题意；当时，方程无实根，综上所述实数.故答案为：【点睛】本题考查了已知集合交集的结果求参数问题,分类讨论是解题的关键.7.命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是。【答案】若至少有一个为零，则为零【解析】解：因为命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是就是将条和结论同时否定，再作为新命题的结论和条，即可。故为.若a,b至少一个为0,则ab为08.科技节期间，高一年级的某同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数：，如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则【答案】【解析】按照操作过程，得到一个方程，解方程即可.【详解】由题意得：.故答案为：8【点睛】本题考查了数学阅读理解的能力，考查了解方程的能力，属于基础题.9.设函数，若，则.【答案】【解析】根据分段函数的解析式，分类讨论即可求出的值.【详解】当时，因为，所以，而，所以；当时，因为，所以，而,所以舍去,综上所述：.故答案为：【点睛】本题考查了已知分段函数的函数值求自变量取值问题，考查了分类思想，考查了数学运算能力.10.已知函数，，则【答案】【解析】求出函数的定义域，再求出函数的定义域，然后进行运算即可.【详解】函数的定义域为：，而函数的定义域为：，因此函数的定义域为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力.11.已知不等式的解集中有且只有5个整数，则实数的取值范围是.【答案】【解析】在直角坐标系内，画出函数图象，平移函数的图象，利用数形结合思想，结合已知，可以求出实数的取值范围.【详解】在直角坐标系内，画出函数图象,如下图所示；平移函数的图象，可以发现：当时，不等式的解集中有且只有5个整数.故答案为：【点睛】本题考查了利用函数图象解决不等式整数解问题，考查了数形结合思想.12.若关于的不等式在上的解集为，则实数的取值范围是.【答案】【解析】根据一元二次不等式的解法可知：一元二次方程根的判别式小于零，因此可以通过解不等式可求出实数的取值范围.【详解】因为关于的不等式在上的解集为，所以一元二次方程根的判别式小于零，即.故答案为：【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题,掌握一元二次不等式的解法是解题的关键，考查了方程与不等式之间的联系.13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【解析】根据的定义域，可以得出函数中自变量的满足的不等式组，解这个不等式组即可.【详解】因为函数的定义域为，所以有，因此函数的定义域为.故答案为：【点睛】本题考查了求函数的定义域，掌握求复合函数的定义域的方法是解题的关键.14.已知，，则的最小值为.【答案】3【解析】试题分析：根据条，解得，那么，当且仅当时取得等号，所以的最小值为3,故填：3.【考点】基本不等式15.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】在平面直角坐标系内，画出函数的图象，画出函数的图象的示意图，平移函数的图象，利用数形结合，可以求出实数的取值范围.【详解】在平面直角坐标系内，画出函数的图象，画出函数图象的示意图，如下图所示：向右平移函数图象的过程中可以发现：当从左到右平移到与横轴的交点为时，要想不等式对任意恒成立，即满足；再继续往右平移时，当函数图象的左侧经过点时，此时，显然当时，不等式对任意恒成立，综上所述：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了利用函数图象求解不等式恒成立问题，考查了数形结合思想、平移思想.16.对于集合，定义函数，对于两个集合、，定义集合，用表示有限集合所含元素的个数，若，，则能使取最小值的集合的个数为【答案】【解析】通过定义可以用集合中的补集来解释，再根据取最小值时所满足的条，最后可以求出集合的个数.【详解】因为，所以有，要想最小，只需最大,且最小，要使最小，则有，，所以集合是集合和集合子集的并集，因此集合的个数为个.故答案为：8【点睛】本题考查了新定义题，考查了集合与集合之间的关系，考查了数学阅读能力.三、解答题17.已知集合，函数的定义域为集合，且，求实数的取值范围.【答案】【解析】解不等式化简集合的表示，求出函数的定义域,结合已知，利用数轴，可以求出实数的取值范围.【详解】，或,所以.因为，所以有：或，解得或,综上所述：实数的取值范围是.【点睛】本题考查了根据集合关系求参数问题，考查了解分式不等式，考查了求函数的定义域，利用数轴是解题的关键.18.若实数、、满足，则称比接近.若比4接近1,求实数的取值集合；若、均属于(1)中集合,求证：比接近0.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】(1)根据题目已知给的信息，可以把比4接近1,转化成不等式，解这个不等式即可；(2)根据题意可以得到，想要证明比接近0,只需证明即可，运用平方法、差比的比较法、因式分解法可以证明出结论.【详解】（1）因为比4接近1,所以有，所以实数的取值集合；（2）由题意可知：,因为，所以，即于是有，由题意可知：比接近0.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了证明绝对值不等式，考查了数学阅读能力.19.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位:万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位:平方米）之间的函数关系是为常数）.记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.（1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式；（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）；（2）当为55平方米时，取得最小值为57.5万元.【解析】试题分析：（1）根据题意知，将其代入为常数）即可求出参数，即可求出关于的函数关系式；（2）直接对函数进行求导，求出其极值点，然后讨论函数的单调性，进而求出函数的最小值.试题解析：的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费.由，得所以因为当且仅当，即时取等号所以当为55平方米时，取得最小值为57.5万元.(2)导数解法：，令得当时，，当时，.所以当为55平方米时,取得最小值为57.5万元.【考点】导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用.20.已知是满足下述条的所有函数组成的集合：对于函数定义域内的任意两个自变量、，均有成立.已知定义域为的函数，求实数、的取值范围；设定义域为的函数，且，求正实数的取值范围；已知函数的定义域为，求证：.【答案】(1)，;(2)；(3)证明见解析.【解析】(1)根据题意得到不等式，通过不等式可以求出实数、的取值范围；(2)求出时，正实数的取值范围，然后根据补集思想，求出正实数的取值范围即可；（3）设，利用分子有理化，绝对值不等式的性质，可以证明出，这样就可以证明出.【详解】（1）因为定义域为的函数，所以均有成立,即，显然，因此，；（2）设定义域为的函数，且，所以均有成立，即,设，即在上恒成立，，因此有：，因此当时，正实数的取值范围为：；（3）设，所以有，显然也成立.【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了有关不等式恒成立问题，理解题意、运用绝对值的性质、分子有理化的方法是解题的关键.21.对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.（1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由；（2）求证：集合是“和谐集”；（3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数.【答案】（1）不是；理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）根据集合中这5个数字的特征，可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”；（2）集合去掉任意一个元素进行分类讨论，找到符合题意的两个集合即可证明集合是“和谐集”；（3）判断任意一个元素（）的奇偶性相同，分类讨论，可以证明出若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数.【详解】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：，经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等，故集合不是“和谐集”；（2）集合所有元素之和为49.当去掉元素1时,剩下的元素之和为48,剩下元素可以组合这两个集合，显然符合题意；当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，剩下元素可以组合这两个集合，显然符合题意；当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，剩下元素可以组合这两个集合，显然符合题意；当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，剩下元素可以组合这两个集合，显然符合题意；当去掉元素9时，剩下的元素之和为40,剩下元素可以组合这两个集合，显然符合题意；当去掉元素11时，剩下的元素之和为38,剩下元素可以组合这两个集合，显然符合题意；当去