弧度制与角度

弧度制炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状若从数学角度看我们能否用黄金比(去计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单——弧度．．弧度制(1)定义：以_弧度_为单位度量角的单位制叫做弧度制．(2)度量方法长度等于半径长_的弧所对的圆心角叫做1弧的角如所︵的半径为r的等于r，∠就度的角．知识点拨一定大小的圆心角α的度是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．(3)记法：弧度单位用符号rad表，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．．弧度数一般地正角的弧度数是一正_数负的弧度数是一个_负_零的弧度数是__0__．如果半径为r的的心角所弧的长为l角的弧度数的绝对值是＝

lr

．知识点拨对于角度制和弧度制，在具体的应用中，者可混用吗？如何书写才是规范的？π角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例α＋(k∈πZ)，＝k＋60°(∈Z)等法都是不规范的应写为＝k＋30°(∈)＝2k＋∈Z)．．弧度与角度的换公式(1)周角的弧度数是2，而在角度制下的度数是360于是360°＝π，

rr22rr22根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．弧度与角度的换算公式如下：απ若一个角的弧度数为α，度数为，则rad＝()°，n＝π(2)常用特殊角的弧度数

rad．0°

135°150°

π

π

π

π

2π35π4

π

3π

2_知识点拨度与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混.角度制弧度制

用度作为单位来度量角的单位制用弧度作为单位来度量角的单位制

角的大小与半径无关角的大小与半径无关

单位“”能省略单位“rad可以省略

角的正负与方向有关角的正负与方向有关

六十进制十进制(3)角的概念推广后在弧度制下的集合与实数集R之间建立一一对应__关系：每一个角都有唯一的一个实数__(即这个角的弧度数与它对应；反过来，任一个实也都有唯一的一角_(即弧度数等于这个实数的)与它对应．．弧长公式与扇形积公式(1)弧长公式l在半径为r的中，弧长为l的所对的圆心角大小为，α＝变形可得lαr，此公式称为弧长公式，其中α的位是弧度．(2)扇形面积公式πrl由圆心角为1rad的形面积为＝r2弧长为l的扇形的圆角大小为故2π2rlr211面积为S＝×＝lr将lαr代上可得＝lrαr

，此公式称为扇形面积公式．(3)弧长公式及扇形面积公式的两表示名称

角度制

弧度制

22弧长公式扇形面积公式

πrlπr2＝

S＝

lr__α|1r2＝

lr注意事项

r是形的半径n是心角的角度数

r是形的半径α是圆心角的弧度数，l是弧长点拨．下列表述中正确的(D)A一弧度是一度的圆心角所对的弧B一弧度是长度为半径的弧C．弧度是一度的弧与一度的角之和D．弧是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．－化弧度是B)4πA－7πC．

5πB－7πD．．已知半径为10的圆，有一条弧的长是cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是__4__．．＝rad则的边()A第一象限C．三象限

B第二象限D．四限解析1rad57.30°2≈α命题方向

有关角度”与弧度”概念的解典例下列题中，正确的命题①③④__①1°角是周角的，1rad的角是周的；2π②1rad的等于1度的角；③180°的角一定等于πrad的；④“度和弧度”是度量角的种单位．思路分析从两种度量制的定义上，把握解题角度，弧度制和角度制的定义出发解题．解析“”“”21πrad

1808π121211808π12121『规律总结』弧度与角度的概的区别与联系区别联系

(1)定义不同．(2)单位不同：弧度制“弧度为单位，角度制“度”为单位．(1)不管以“弧度”还是以“度”单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．(2)“弧度”与“角度”之间可以互转.〔跟踪练习1〕在半径不等的圆中，半径长的弦对的圆心(D)A为弧度B各不相等，半径长则圆心角大C．不相等，半径长则圆心角小πD．相，为弧度命题方向

角度制与弧度制的转化典例(1)将下列各角化为弧度：′；②－；5π19(2)将下列各弧度化为角度：①－rad；②π．＝

π

πrad，rad思路分析

角度制

→弧度ππ5解析rad112°30′×π73154(2)rad(π5π5180rad×°75°(×)°π『规律总结』角度制与弧度制化的关键与方法：(1)关键：抓住互化公式rad＝180°关键；π(2)方法：度数×＝弧度数；弧度×)°＝度数；π(3)角度化弧度时，应先将分、秒成度，再化成弧度；(4)角度化为弧度时，其结果写成的式，没特殊要求不必化成小数．3π〔跟踪练习2〕设＝－、＝750°β＝、＝．(1)将α、用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；

11621251212312π111621251212312π12(2)将β、用度制表出来，并指出它们各自所在象限．解析180°π570π1919π5π2×750π25πα×．3π3(2)×108°πβ＝ββ命题方向

用弧度制表示区域角典例用度表示顶点在原点，始边重合于x轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合不包括边界，如下图)．思路分析观阴影部分图形．．确定角的始边和终边．．写出角的集合．π2π解析＋2kZ)2π(kZ)2ππ2π<kZ

π2(2)＋2kZ)OBkZMMM2π<kZ2M2π<<kkZ

π1363366π1363366MM2π<k

2πkα<2kkZ

『规律总结』根据已知图形写出区域角集合的步骤：①仔细观察图形．②写出区域边界作为终边时角的表示．③用不等式表示区域范围的角．注事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错．〔跟踪练习3用弧度制表示顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合不包括边界)，如图所示．ππππ解析(1)330°xππ{k<<2π，}5ππ5π(2)210°135°x465π3{k<kZ}π7(3)30°πππ{π<<2}{kπ<πkZ}{kθπZ}{|(2kππ1)<(21)，Z}{nθ<π，nZ}求扇形面积最值的函数思想当扇形周长一定时其积有最值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想．典例已一扇形的周长为40cm，它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？思路分析正确使用扇形弧长公式及面积公式．

r10r1rr10r1r解析θrllr40l402r.(0<1lr(40r)r20rr22

(r

r10100cm

l40×102(rad)『规律总结』本主要借助于长和面积公式造出二次函数然后求解二次函数的最值及相关的量将数学问题的解还原为实际问题的解是应用类问题时的一般思路同我还应该注意所构出函数的定义域除使解析式有意义外要虑它的实际意义．〔跟踪练习4(1)知扇形的周长为，面积为cm2，扇形圆心角的弧度数；(2)一个扇形的周长为0形圆心角等于多少弧度时扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．解析rlθlr20l20rlr9(202rr2r2

10r90(r1)(rr1rl18rl1818>2)l2rl2θ(2)rl(202rl<2πr0<20r<2πr<1(202r)r(r<rπrl10252252

易混易错警示iyijingshi

角度和弧度混用致错典例求边在如图所示阴影部(不包括边界内的角的集合．

ππ错解一错解二[因分析]

{k·360°α<Z}{kαπ60°}正解Z}

ππ{|2k<Z}{α60°[区警示同一个问题(或题目中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么弧度制单位，不能将两者混用．〔跟踪练习5〕把角－585°为k＋(0≤<2的式为D)A－π－πC．3π－

B－＋D．4＋π．在不等圆中1rad的心角所对的是)A弦长相等C．长等于所在圆的半径

B弧长相等D．长于所在圆的半径解析1radD10π．－转为角度是B)A－300°C．

B－D．1200°解析1rad()°10π18010(×)°600°π3．圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边，则圆弧所对圆心角的弧度数为()πAC．

BD．2解析R33

4343

3．沈阳铁路中学期)已知扇形面积为π，径是，则扇形的圆心角()AπC．π

BD．π33解析αRππ．与－终相的角的集合(D)πA{}πC．{a＝2π＋，k∈Z}

5πB{}D．{＝2π＋，∈Z}13解析παkZak6)65π6)(Z)D一、选择题．下列各式正确的()πA＝

πB＝C．3°π．2145°化为弧度数为(D)A16πC．

D．38°＝B143πD．

ππ143解析2145°2015×πrad．下列各式不正确的()7πA－210°＝－

9πB405°＝C．335°＝

23π

47πD．705°＝．在0,2内终边与相同的角是B)πA

πB

rrrrπC．

2πD．解析1035°45°×360°45°1035°ππ45°，(0,2．青岛高一检测)将－1485°化成＋2k≤<2，∈)的形式是(D)πBπ－8πA－8ππD．π10πC．－解析1485°×315°π360°315°πrad1485°2k≤<2Z)π10．圆的半径变为原来的2倍弧长也增加到原来的，则B)A扇形的面积不变B扇形的圆心角不变C．形的面积增大到原来的2倍D．形圆心角增大到原来的l2l解析α二、填空题︵．扇形AOB半径为，|AB＝2cm，则A所对的圆心角弧度数为π解析AO|AB290°．︵．如图所示，图中公路弯道AB的长l＝精确到．

π

．π解析lα×≈三、解答题．一个半径为r的形，如果它的周长等弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？

ππ18012π32ππ18012π32解析l2rrθπr2(2)·(lrr(π22．(1)把化弧度；(2)把

5π

rad化角度；π7π(3)已知＝、＝、＝、＝、＝，试比较α、、、、的大小．解析(1)310°

π31rad3105π

5×75°(3)()πππ7πα15°15.θ105°×π7π<<1<.<<<(πβ×()°18°γ≈7πφ×()°105°π15°<18°<57.30°<105°αβγ<φB级素养提升一、选择题αα．若＝k＋(k∈Z)，则的终边在D)A第一象限C．轴

B第四象限D．轴上απ解析k(Z)α6π(kZ3k(Z)ααkyα终D．下列表述中不正确的(D)A终边在轴上角的集合{＝，k∈Z}

22Rπ422Rπ4πB终边在轴上角的集合{＝＋π，k∈Z}πC．边在坐标轴上角的集合{＝k，k∈}πD．边直线＝上的集合{＝＋2π，k∈Z}π解析y{απZ}若度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所对的扇形面积A)A4cm2C．π

B2D．π1解析rαrαr×2×

2

)A．一个半径为的形，它的周长是4，则这个扇形所含弓形的面积(D)A(2－sin1cos1)RC．R

B2sin1cos1D．R－2sin1cos1l解析ll2R4lRR2α2SR·sin1·