改后第四章概率论习题-奇数答案

.第四章概率论习题__奇MN1某批产品共有件，其中正品件（0NM）。从整批产品中随机的进行有放回抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了n次（n1）。试求这次中n抽到正品的平均次数。N解每次抽到正品的概率为：，放回抽取，抽取次，抽到正品的平均次数为：NnMnM1fx,xRX3设随机变量的概率密度为X，这时称服从标准柯西分布。1x2X试证的数学期望不存在。xdx1ln(1x2)|xf()2xdx解由于：0(1x2)0X所以的数学期望不存在。5直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为p（0p1n）。表示到时刻为止质点nn1nSnSn向右移动的次数，表示在时刻时质点的位，置。求与的期望。npn解每次向右移动的概率为，到时刻为止质点向右移动的平均次数，即的期望为：nE()npnnS时刻质点的位置的期望为：E()Snpn(1p)(n2p1)nn1T7某信号时间长短（以秒计）满足：PTtet1et0t，。用两种方法求出2ET。解方法1：由于P(0)T1，所以T为非负随机变量。于是有：1E()TP()Ttdtet(1et)dt324(1F())tdt000方法二：由于P(0)T1，所以，可以求出T的概率函数：0,t0f()t1et(12et),t023tf()tdt于是E()ttf()tdt409已知一根长度为1的棍子上有个标志点Q，现随机的将此棍（1）求包含Q点的那一段棍子的平均长度（若截点刚好在Q点，则认为Q包含在较短的一截内）；子截成两段。精选文档..（2）当Ｑ位于棍子何处时，包含Ｑ点的棍子平均长度达到最大？解设棍子上的点是在[0,1]之间的，Q点的位置距离端点0的长度为q。设棍子是在t点处跌断，t服从[0,1]的均匀分布。于是：包含Q点的棍子长度为T，则：t,qt1T1t,0tq，qt1min(q,1q),tq于是包Q点的那一段棍子的平均长度为：tdt1qq2E(T)Tdx(1t)dt1q1200q11、为诊断５００人是否有人患有某种疾病，抽血化验。可用两种方法：（Ｉ）每个人化验500k1一次；（II）分成ｋ人一组（共５００／ｋ组，假设为正整数，）。将每组ｋ人的k血样集中起来一起检验，如果化验结果为阴性，则说明组内的每人都是阴性，就无需分别化验。若检验结果为阳性，则说明这ｋ人中至少有一人患病，那么就对该组内的ｋ人再单独化验。如果此病的得病率为３０％，试问哪种方法的检验次数相对少些？解(I)每个人化验一次，需要化验500次500（II）分成k组，对每一组进行化验一共化验次，每组化验为阳性的概率为：10.7k，k若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k次，于是该方法需要化验的次数为：500(1(10.7k)k)。k500将（II）的次数减去（I）的次数，得：(1(10.7k)k)500500(10.7k)kk于是：1当1时，第二种方法检验的次数少一些；当0.7k00.7k0时，第一种方法检验的kk1次数少一些；当0.7k0时，二种方法检验的次数一样多。krr013、某电子监视器的圆形屏幕半径为（），若目标出现的位置点Ａ服从均匀分布。设Ａ的平面直角坐标为X,Y。（１）求E(X)与E(Y)；（２）求点Ａ与屏幕中心位置0,0的平均距离。解由题意知：12,rxr2,ryr，f(x)r0，其他值,x,y在圆内，f(x,y)rf(x)r2XY0，其他值0，其他值2（1）计算可得E(X)E(Y)rxdx0rr（2）A的位置是x,y，距中心位置（0，0）的距离是：x2y2，于是所求的平均距离为：精选文档..12rdxdyr3x2y2E(X2Y2)2x2y2r2315、接第13题，求当横坐标为时，纵坐标的条件期望。rY21,r2x2yr2x2f(x,y)解f(y|x)2rf(x)XY|X0，其他值f(3r,y)21rr,yf(y|3r)2r222f(3r)Y|X0，其他值2X于是：3r1rE(Y|X)ydy0222rr217、某技术考试，成绩必为0,1，…，10这11个数之一，而且考生取得每个成绩的可能性XY相同。第一次考试，若考生成绩为，然后需继续参加下一次考试，直到他获得的成绩不Z低于第一次考试为止。记第一次考试后，又进行了次才通过第二次考试。由于每次考题都是在题库中随机抽取的，所以所有考试均相互独立。（1）求最终的平均成绩EY解：由题意知P(Xk)1；（2）求EZ。11，其中k0,1,2,10。于是P(Yk,Xi)0,ik1,,1111P(Yk,Xi)P(Xi)P(Yk|Xi),i0,1,,k1111i11kk从而P(Yk)P(Yk,Xi)1111ii0i0110k于是：E(Y)k7.511ik0i010(11i)ik1又P(Zk)11k1i1110从而E(Z)P(Zk)k3.02(11i)i1k1精选文档..19、随机变量X服从Gamma分布，概率密度函数为fxx1ex，x0，其EXk1DX中，称为“形状参数”，称为“尺度参数”。求（）和。k00()k,(k1)xx1exdxk解E()Xka()()k0a(2)(1)[]2axx1exdx[D()Xxx1exdx]22()()()()220021、机器处于不同状态时制造产品的质量有所差异。如果机器运作正常，则产品的正品率为98%；如果机器老化，则产品的正品率为90%；如果机器处于需要维修的状态，则产品的正品率为74%。机器正常运作的概率为0.7，老化的概率为0.2，需要维修的概率为0.1.先随机抽取了100件产品（假设生产这些产品的机器的状态相互独立），求（1）产品中非正品数的期望与方差；（2）在已知这些产品都是正常机器制造出来的条件下，求正品数的期望和方差。解(1)设p表示从产品取到非正品的概率，于是有：p(198%)*0.70.2*(190%)0.1*(174%)0.06，用X表示产品中非正品数，X服从二项分布B(100，0.06)，有：E()XkP(Xk)1000.066100k0D()X100p(1p)5.64（参考77页的例4.2.5）（3）用Y表示在该条件下正品数，Y服从二项分布B(100,0.98)，于是E()Y1000.9898D()X1000.98(10.98)1.96XY23、设随机变量和独立，且方差存在，证明：D()()()(())()(())()XYDXDYEX2DYEY2DX解证明：D()(())(())XYEXYEXY2E(X2Y2)(())EXY22E()()(()())(X2EY2EXEY2由于X,Y相互独立)=(D()())((XEXDYE())()()YEX2EY222D()()(())()(())()XDYEX2DYEY2DXXX25、接第20，题（1）求与的相关系数，并判断两者是否相关；XX（2）判断与是否独立？精选文档..解（1）由相关系数的定义，得：Cov(X,X)XX，其中Cov(X,X)E(XX)E(X)E(X)D(X)D(X)XX通过计算得Cov(X,X)0，即（2）很显然，X与X不是相互独立的。27、随机三角形ABC，角A与角B独立同分布，其分布律均为0，从而说明X,X是不相关的。/6/3/4AP1322181。已知EsinAE(cosA)00其中，，且满足。（1）写出A,B的联合分布律；（2）求EsinC；（3）求角A与角C的相关系数，并由此判断它们的相关性（若相关，要求说明是正相关还是负相关）。解（1）由题意得：E(A)(1)3466612E(sinA)sinsinsin，E(cosA)coscoscos6126126611，结合已知条件，可求出：42由于A和B是独立同分布的，于是（A,B）的联合分布律为：ABP(A=i)3461/161/81/161/431/81/41/81/2461/161/81/161/4（2）精选文档..E(sin)CE(sin(BA))E(sincosBA)E(cossin)BAE(sin)BE(cos)AE(cos)BE(sin)A2[3221]20.9668Cov(A,C)（3）AC，其中D(A)D(C)Cov(A,C)Cov(A,AB)Cov(A,A)Cov(A,B)Cov(A,A)D(A)D(C)D(AB)D(A)D(B)2D(A)所以：AC，说明A和C是负相关的。Cov(A,C)1D(A)D(C)2XY），若和相29、设X~N(0,1)Y1PY1p（0p1，的可能取值为，且互独立，并记XY。X；（2）计算，并判断与的相关性和独立性。（1）证明：~N(0,1)XXY解（1）证明：由于和相互独立，于是由题意得E()E(XY)E(X)E(Y)0D()D(XY)D(X)D(Y)(E(X))2D(Y)(E(Y))2D(X)4p(1p)(2p1)21从而有~N(0,1)（2）Cov(X,)XCov(X,)Cov(X,XY)E(X2Y)E(X)E(XY)D(X)D()E(X2)E(Y)E(X)2E(Y)E(Y)2p1p12p1，即0X时，和是不相关的；当X时，说明和是正相关的当当2XCp1，即0X时，说明和是负相关的2XCX显然，和是不独立的31、求参数为的泊松分布的众数。ek解（1）泊松分布的表示式为：P(Xk),k0,1,k!，于是通过计算有：精选文档..P(Xk1)P(Xk)k11,当k1P(Xk1)1,当k1故：P(Xk)1,当k1因此若为正整数，则众数为和-1；当不为正整数时，则众数为的整数部分[]。33、三元正态变量XX,X,XNa,Ba0,0,1，其中，123121。B2160104X（1）写出的每个分量的分布；XXX3（2）判别，，的相关性与独立性；12（3）若YXX，YXX，求YY,Y12的分布。112231解（1）由题意可知：D(X)1,E(X)0，说明X~N(0,1)111D(X)1,E(X)