电路相量法讲义

27二月20231第八章相量法

内容提要1.正弦量及其三要素、相位差的概念；2.相量法的概念及其性质；3.电路定律和元件VCR的相量形式。1.正弦量的相量表示法；2.正弦量的相量差和有效值的概念；3.R、L、C各元件电压、电流关系的相量形式；4.电路定律的相量形式。重点27二月20232

难点1.正弦量与相量之间的联系和区分；2.元件电压相量和电流相量的关系、相量图。主要是相位关系是学习第9、10、11、12章的基础。

.Im=5∠45oA

.Um=100∠0oV45oZ=

.Um

.Im

=20∠-45o

W

与其它章节的联系必需娴熟驾驭相量法的解析运算。27二月20233§8-1复数1.复数的表示形式(3)指数和极坐标形式(1)代数形式F=a+jbRe[F]=a，Im[F]=b(2)

三角形式

F=|F|(cosq+jsinq)a=|

F

|cosq，b=|

F

|sinq|

F

|

=

a2+

b2q=arctgba依据欧拉公式ejq=cosq+jsinq

得指数形式：

F=|

F

|

e

jq或写成极坐标形式：F=|

F

|qo+j+1Fbaq27二月20234F22.复数的运算(1)加减

用代数形式。设F1=a1+jb1F2=a2+jb2

则

F1±F2=(a1±a2)+j

(b1±b2)

复数加的图解+jo+1F1F2F=F1+F2+jo+1F1F2F=F1+F227二月20235复数减的图解F=F1-F2-F2+jo+1F1F2FF=F1-F2+jo+1F1F2

若F1=

F2则必需是或者a1=

a2，jb1=

jb2即两个复数相等|F1|=|F2|，q1=q2(2)乘除

用指数或极坐标形式最好。乘(除)法运算满足：模相乘(除)，辐角相加(减)。27二月20236复数乘、除的图解乘：F1

的模被放大|F2|倍,辐角逆时针旋转q2。除：F1

的模被缩小|F2|倍,辐角顺时针旋转q2。+jo+1q1F1F2q2|F2|F1q2F=F1F2q=q1+q2q1F1F2q2F1|F2|q2F=F1F2q=q1-q2+jo+1则F=

F1

F2

q1+q2q1-q2F=F1F2=|F1

||F2

|F2=|

F2

|设F1=|

F1

|q1

，q2=|F1

||F2

|

27二月202373.旋转因子ejq旋转因子ejq=1∠q是一个模等于1，辐角为q的复数。随意一个复数A=|A|ejqa乘以ejq，等于把A逆时针旋转q角度，而模|A|保持不变。+jo+1AqaAejqq都是旋转因子A×j=

jA，等于把A逆时针旋转90o。

=

-jA，等于把AAj顺时针旋转90o。ep2=

jjep2=

-j-jejp=

-127二月20238§8-2

正弦量电路中按正弦规律变更的电压或电流，统称为正弦量。探讨正弦电路的意义是：正弦沟通电有很多优点，在电力系统和电子技术领域占有特别重要的地位。①简洁产生、传送和运用。可以依据须要，利用变压器便利地把正弦电压上升或降低；②电机、变压器等电气设备，在正弦沟通电下具有较好的性能；③正弦量对时间的导数、积分、几个同频率正弦量的加减，其结果仍是同频率的正弦量，使电路分析计算变得简洁。④正弦信号是一种基本信号，其分析结果可以推广到非正弦周期电流电路中。27二月20239正弦量的时域表达式有两种形式i=Imcos(wt+fi)i=Imsin(wt+fi)也称为瞬时值表达式分析时不行混用，以免发生相位错误。今后接受的形式以教材为准：i=Imcos(wt+fi)u=Umcos(wt+fu)综上：对正弦电路的分析探讨具有重要的理论价值和实际意义。27二月2023101.正弦量的三要素（以电流为例）(1)振幅(幅值、最大值)Im、有效值I(要素之一)oiw

tp2p3p-pIm-Im在放大器参数中有时用峰-峰值表达。峰-峰值2Imi=

Imcos(wt

+

fi)=2I

cos(wt

+

fi)反映正弦量变更幅度的大小。27二月202311

关于有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上接受有效值来表示。IdefT1∫0Ti2dt通过比较直流电流I和沟通电流i在相同时间T内流经同一电阻R产生的热效应来确定：I2RT=∫0Ti2Rdt把

i=Imcos(wt+yi)代入上式计算可以得到：正弦量的有效值与振幅之间的关系：Im=2I同理可得：Um=2U若一沟通电压有效值为U=

220V，则其最大值为Um≈311V。27二月202312工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平常应按最大值考虑。在测量中，沟通测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。区分电流、电压的瞬时值，振幅和有效值的符号：i、u；Im、Um；I、U。须要留意的是另外留意：IM(Imax)指最大有效值。27二月202313(2)角频率w、频率f、周期T

(要素之二)w：指正弦量单位时间内变更的电角度，单位rad/s。f：正弦量每秒钟变更的周波数，单位是Hz。wT=2pT2pw、f、T之间的关系w=2pff

=T1oiw

tp2p3p-pT：正弦量变更一次所须要的时间，单位s。T

=f1在工程中，常用频率区分电路：如工频、音频、中频、高频、微波电路等。反映正弦量变更快慢的参数。i=

Imcos(wt

+

fi)27二月202314oiw

tp2p3p-p(3)初相角fi

(要素之三)留意①同一正弦量，计时起点不同，初相位不同。fi常取主值：|fi|≤180o对任一正弦量，初相可以随意指定。但对多个同频率正弦量，应相对于同一个计时起点确定各自的相位。fi反映正弦量的计时起点，定义为从靠近原点的最大值到原点的距离用角度来表示。i=

Imcos(wt

+

fi)②若正最大值发生在计时起点左侧，则初相位为正，右侧为负。t

=0时，正弦量的相位角(wt

+

fi)

=

fifi<0>0fi=0oi27二月202315例：已知正弦电流波形如图，=103rad/s，

1.写出i(t)的表达式；2.求最大值发生的时间t1。oi

t10050t1解：1.i(t)=100cos(103t

+

fi)t

=050=100cosfifi=60o由于最大值发生在计时起点右侧fi=-60oi(t)=100cos(103t

-

60o)2.当103t

=

60o=3时，出现最大值t1

=

3103=1.047ms27二月2023162.同频率正弦量的相位差j则：变更计时起点，初相角不同，但相位差不变！相位差一般取主值，即j

≤|p|。设：i=Imcos(wt+fi)等于初相之差。j

=(wt+fu)-(wt+fi)=fu-fi(1)j＞0，称

u超前i，或i滞后u，表明u比i先达到最大值；(2)j＜0，称

i超前u，或u滞后i，表明i比u先达到最大值；u=Umcos(wt+fu)jjoi，uw

tp2p3p-piu27二月202317j=0，u与i同相j=90o，u与i正交j=180o，u与i反相+-uiZi(3)特殊相位关系

改设参考方向时，该正弦量的初相变更p，因此与其它正弦量的相位差都变更p。oi，uw

tp2poi，uw

tp2poi，uw

tp2pi=Imcos(wt+fip)27二月202318例：计算下列两正弦量的相位差。(1)i1(t)=10cos[100pt+(3p/4)]Ai2(t)=10cos[100pt-(p/2)]A(2)i1(t)=10cos(100pt+30o)Ai2(t)=10cos(100pt-105o)A(3)u1(t)=10cos(100pt+30o)Vu2(t)=10cos(200pt+45o)V(4)i1(t)=5cos(100pt-30o)Ai2(t)=-3cos(100pt+30o)A解：(1)

j=(3p/4)-(p/2)=(5p/4)＞pj=(5p/4)-2p=-3p/4所以(2)

j=30o-(-105o)=135o(3)

w1≠w2，(4)i2(t)=3cos(100pt-150o)j=-30o-(-150o)=120o留意：两个正弦量进行相位比较时，应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。不能进行相位比较。27二月202319§8-3相量法的基础在正弦稳态线性电路中，各支路的电压和电流(响应)与电源(激励)是同频率的正弦量，因此应用KCL、KVL分析正弦电路时，将遇到正弦量的加减运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算特别繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得到简化。相量表示法的实质是用复数表示正弦量。是求解正弦电流电路稳态响应的有效工具。27二月202320依据叠加定理和数学理论，取实部或虚部进行1.相量正弦量的相量要追溯到欧拉公式。若q=wt+fi则ej(wt+fi)=cos(wt+fi)+jsin(wt+fi)分析求解，就能得到全部结果。设：i=

Im

cos(wt+fi)则：i=

Re[Im

ej(wt+fi)

]

=

Re[Im

ejfi

ejwt

]

=

Re[Im

ejwt

]

.其中，Im.=Imejfi这是一个特殊的复数，其特点是辐角随时间变更。这是一个与时间无关的复数，模是该正弦电流的振幅，辐角是初相，称为相量。27二月202321

在分析过程中，考虑的主要问题是：求解振幅或有效值，初相或相位差。因此，变换简洁易行：已知：i=

Im

cos(wt+

fi)Im.=Im

ejfi简写为Im.=Imfi反过来Um.=30030oVu=300

cos(wt+30o)V频率为w的正(余)弦函数集合相量的集合变换反变换时域与相量域的映射

在线性电路中，若激励都是同频率的正弦量，则响应也都是与激励同频率的正弦量。27二月202322留意：正弦量与相量的关系是一种数学变换.Imwt旋转相量的实部等于正弦量正弦量→相量，可认为是正变换；相量→正弦量，可认为是反变换。是[Im

ejfi

ejwt

]的复常数部分。i=

Imcos(wt+fi)Im.=Imfi是[Imejfi

ejwt]的实部。随意时刻，两者相对位置不变。因此，可用不含旋转因子ejwt的复数表示正弦量。w+j+1ofi.Im

.Umfu

.Umwt关系。不是相等的关系！27二月2023232.相量的性质(1)线性性质k1i1±

k2i2±···若i1

=

Im1

cos(wt+fi1)i2

=

Im2

cos(wt+fi2)则i=i1+i2

.Im=

.Im1

.Im2+

.Im1=Im1fi1

.Im2=Im2fi2相量也具有比例性质：由叠加性质和比例性质可知这是叠加性质ki1

.Im1k(k1

.I1±k2

.I2±···)27二月202324(2)微分性质设

i=Imcos(wt+fi)didt=wImcos(wt+fi

+90o

)=Re[w2pj

=

Re[jw

.Imejwt]dnidin(jw)nIm.Im

ejwte].Im=Imfi正弦量的微分是一个同频正弦量，时域内的一次其结果是模变为wIm，相位比原相量超前90o。对高阶导数有.Imjw=wImfi+90o.微分，对应于相量域内乘以jw。27二月202325(3)积分性质设

u=Umcos(wt+fu)∫udt=wUmcos(wt+fu-90o)=Re[.Umjwejwt](jw)nU对n重积分有udt…∫∫∫则

.Um=Umfu积分，对应于相量域内除以jw。其结果是模变为(Um/w)，相位比原相量滞后90o。正弦量的积分是一个同频正弦量，时域内的一次.27二月202326例题分析解：变换为相量形式求解.I1=1060o.I2=22-150oAAdi1dt60ojw=j314.I1×10=314060o+90o=3140cos(314t+150o)∫i2dtjw.I222-150o-

90o=314=0.07120o设i1=102cos(314t+60o)Ai2=22cos(314t-150o)A求：di1dt∫i2dt2i1+i22di1dt所以所以∫i2dt=0.072cos(314t+120o)27二月202327=5+j8.66A=-19.05-j11A.I1

.+I2=(5-19.05)+j(8.66-11)=(-14.05-j2.34)AI=14.052+2.342=14.24A+j+1o-14.05-2.34-170.54ofi=+arctg-14.05-2.34-180ofi为第3象限角：=14.24

-170.54oAi1+i2=14.24

2cos(314t-170.54o)A.I1=1060o.I2=22-150oI1+I2..I1..+I227二月202328引入相量的优点是把时域问题变为复数问题；把微积分方程的运算变为复数形式的代数方程运算；须要留意的是相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路；相量法用来分析正弦稳态电路。量，而把时域里正弦稳态分析问题转为频域里复数代数方程问题的分析；27二月2023291.三种基本元件VCR的相量形式(1)电阻元件相位关系：fu=fi

.UR+1+jo.IRfu=fiR+-uRiR

.UR

.IR

uR=

RiR由比例性质.

.UR=

RIRUR=

RIR或IR=

GUR.IR=

IR

有效值关系：得相量关系相量模型相量图即电阻元件两端的电压与流过它电流同相位！

fi设则.UR=

RIRfi=

URfu§8-4电路定律的相量形式27二月202330(2)电感元件相位关系：电压超前于电流90o!

有效值关系：

UL=wLILL+-uLiL

.UL

.IL

由微分性质UL=

L(jw)

IL+1+jo.ULfu.ILfi=wLILULwL具有电阻的量纲，表示限制电流的实力；或电流滞后于电压90o!

.

.

UL=jwL

IL

.

.

uL=LdiLdt与频率f成正比！27二月202331(3)电容元件C+-uCiC

.UC

.IC

微分性质IC=

C(jw

UC)iC=CduCdt

.

.

+1+jo.UCfi.ICfu(1/wC)也具有电阻的量纲，且与频率f成反比！相位关系：电流超前于电压90o!.UC

jwC1.IC有效值关系：UC=wC1IC.UC=-jwC1.IC或=或电压滞后于电流90o!wC

ICUC=127二月2023322.受控源的相量表示限制系数、g、r和都是常数，因此，依据相量的比例性质，可以干脆用与正弦量对应的相量表示。用相量表示的CCCSbib+-+-rbeubeuceibbIb+-+-rbeUbeUceIb

.

.

.

.

用瞬时值表示的CCCS27二月2023333.基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：∑i(t)

=

0∑u(t)

=

0线性性质∑.I=0.U=

0∑表明：流入某一结点的全部正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路全部支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。27二月202334例：试推断下列表达式的正、误。1.u=

wLiU

=

wLI×√2.i=

5coswt=50oA3..Im

=jwCUm

.4.L

=.UL

.IL×L

=UI=UmIm5..UC

.IC×=jwC=1jwC.

.UL

=jwLIL6.