中考数学专题大讲堂第三讲对辅助圆的思考及探究(Word版)

对辅助圆的思考及探究锡滨-祝荣耀在几何证明中，困难的并不在于题目，而在于辅助线.在初二学习全等系列的知识点过程中，我们带着学生学习了很多种的辅助线，比如倍长中线、截长补短等.而在学习完圆之后，我们又遇到了新的问题，如做弦的垂线，连接半径，连接直径等.这些的辅助线对于中档的学生都是可以解决的，但我们有没有遇到作出一个圆的辅助线？这也是今天要讲的专题--辅助圆.那么下面我就来对“辅助圆”问题说说自己的一些看法.出现“辅助圆”的情况在我总结来看无外乎就是线段最值、存在唯一点、点的运动等.那下面我就按照如下几点来探究“辅助圆”出现的一般情况.一线段最值线段最值分类相对较多，我们单独来看看什么时候需要我们作出相对的辅助圆的情况.Ⅰ．折叠中的线段最值年成都中考2ABCDAD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A¢MN，连接A¢C，则A¢C长度的最小值是 ．〖分析〗△AMNMNA点的运动轨AM为圆心，MAC到⊙MCM—半CM的长即可，如下图．2．（2019年无锡惠山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点将△DBE沿DE折叠到△D的位置连接A则线段A的最小值为 ．〖分析〗△DBEDEDB=D1相似，即作出辅助圆⊙DD为圆心，DB为半径的圆．AAB’AD—半径即可，如下图．Ⅱ．圆轨迹中的线段最值年无锡惠山区一模为圆心，1为半径作圆．P点为圆上一动点，连结OP．点B为OP的中点，点C坐标为（2，0），求BC的取值范围 ．POPPBBOAOABQ，BQ=1AP1BQ2 21为圆心，2

为半径的圆．再求出CB的最大和最小值=CQ±半径即可．（如下图）年无锡外国语中学一模OABO为圆心，OA长为半径作圆O．点M在圆O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使三点为逆时针顺序连接则AC长的取值范围是 ．MCBM90CB所在圆的圆心及半径，则就可以解出此题．为确定圆心，连接OM，将OM也绕着点B旋转90°，确定O¢，连接O¢C．易证△BOMOM，则可得出点C的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．再求出AC的最大和最小值=AO¢±半径即可．（如下图）Ⅲ．直角三角形中的辅助圆（2019年江阴校级一模）ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面内一点，且满足则PC的取值范围为 ．〖分析〗因为∠APB=90°，由90°所对的弦是直径得出，构造⊙O．以AB中点O为圆心，1为半径作圆，则P是在⊙O上运动，确定CP的最小值为OC—半径即可．（如下图）（2019年无锡天一中学二模）EF是正方形ABCD的边AD上两个AE=DFCFBD于点GBEAG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．〖分析〗因为AE=DF，易得△ABE≌△DCF、△AGD≌△CGD，则∠ABE=∠GAD=∠DCF．因为∠GAD+∠BAH=90°，所以∠BAH+∠ABE=90°，所以∠AHB=90°．则点H是在以AB为直径的圆上运动．确定DH的最小值为OD—半径即可．（如下图）Ⅳ．定弦、定角中的辅助圆7．（2019年无锡滨湖区期中考试）ABCD，AB2

，若点P满足PD=2，且∠BPD=90°，请求出AP的长．因为∠BAD=∠BPD=90BAPDBD为直径的圆上，BDBDA=∠APB=45°，得出∠DPE=45Rt△PEDDE=PE=

Rt△AED中，AD=2

AE=

，则可得AP=6-

．如下图即可．年威海中考如图，△ABC为等边三角形若P为△ABC内一动点且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值 ．因为△ABCAPCP点的运动轨迹是一个弧，P是在△APCBPOB—半径即可．（如下图）这也是我们定弦定角定理的一般模型．年无锡惠山区二模如图已知AB是半径为2的⊙O上的两动点以AB为直角边在⊙O内作等腰Rt△ABC，∠B＝90°，连接OC，则OC的最小值为 ．〖分析〗因为△ABCRt△，则∠BCA=45BC交⊙OD，则∠ACD=135ADB=90AD为⊙OAD=47C圆心为O¢，因为∠ACD=135°，则其所对的圆心角∠AO¢D=90°，则O¢是在⊙O上，半径，则当、O、C三点共线的时候，OC的值最小，为22-2．（如下图）二证明角度关系或求值Ⅰ．角度的倍数关系年江苏学大教师月考如图，AB=AC=AD，如果∠DAC是∠CAB的k倍，那么∠DBC是∠BDC的（ ）倍A．k B．2k C．3k D．不能确定〖分析〗因为AB=AC=AD，则B、C、D三点可以看成是在以点A为圆心，AB为半径的圆上．则∠DBC与∠CAD是同弧所对的圆周角和圆心角，∠BDC与∠CAB是同弧所对的圆周角和圆心角．∠DAC是∠CAB的k倍，则∠DBC也是∠BDC的k倍．Ⅱ．角度求值问题2．（2019年无锡惠山区校级月考）已知在正方形ABCDA、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点CD在第一象限，点E为正方形ABCD的对称中心，连结OEOE平分角∠AOB．〖分析〗因为∠AOB=∠AEB=90°，则可以说明A、O、B、E四点共圆，以AB的中点O¢90°的四边形称为损矩形，即可采用四点共与∠AOEEBA=∠AOE=45°，OE平分角∠AOB．（如下图）Ⅲ．角度最值问题3．（2019年南京市校级月考）如图是半径为CD是互相垂直的两条直径，点P是O上任意一点过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从D运动到点C时，tan∠QCN的最大值为 ．〖分析〗因为PM⊥AB，PN⊥CD，则四边形MONP为矩形，得到对角线MN=OP=2．说明OQ的长度恒定为1，确定点Q是在以O为圆心，1为半径的圆上，则当CQ与圆相切时，即是∠QCO最大，tan∠QCN的值最大．（如下图）三最值存在问题Ⅰ．线段范围1．（2019年河池中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点．设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是 ．〖分析〗因为∠ABC=90°，则由直径所对的圆周角等于90°，得出以BP为直径的圆与线段AC有交点，得出题目的解题技巧．则当⊙O与AC相切时，x的值最小，当点P到达C点时，x的值最大．（如下图）2．（2019年无锡外国语二模）在平面直角坐标系中，已知△AOBA的BN为直线y=-x-2Bl⊥xlOMA=2∠ONANM的坐标；若不存在，请说明理由．〖分析〗OMA=2∠ONA，M为圆心，OM为半径的圆正好满足于此条件，则可以理解为辅助N有且只有一个，则说明⊙M与直线y=-x-2相切即可，同时也要注意图形的M点关x轴对称即可．（如左图）Ⅱ．路程长或面积问题3（2019年无锡惠山区校级月考）OABCOA、OCx轴、y轴B的坐标为（7，3）EABAE＝1Py轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0，程中，点H的运动路径长为 ．

25）运动到原点O的过4〖分析〗因为∠APB=90OEHOEP由F为起点，O为终点运动，则点H的运动轨迹是一段弧，圆心角为∠则求出∠OO¢H的度数即可，而∠OO¢H=2