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第六讲vonNeumann-Morgenstern

期望效用函数

1N-M期望效用函数概率论的早期历史JacobBernoulli(1654-1705)1713年发表《猜度术(Ars

Conjectandi)》。这是当时最重要、最有原创性的概率论著作。由此引起所谓“圣彼德堡悖论”问题。2N-M期望效用函数“圣彼德堡悖论”问题有这样一场赌博：第一次赢得1元，第一次输第二次赢得2元，前两次输第三次赢得4元，……一般情形为前n-1次输，第n

次赢得元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？如果用数学期望来定价，答案将是无穷！3N-M期望效用函数“圣彼德堡悖论”1738年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。DanielBernoulli（1700-1782)4N-M期望效用函数期望效用函数

1944年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险。JohnvonNeumann(1903-1957)OskarMorgenstern(1902-1977)5N-M期望效用函数用期望效用函数来刻划风险所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望”。假定(x,y,p)表示以概率p获得x,以概率(1-p)获得y的机会，那么其期望效用函数值为u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).6N-M期望效用函数有风险与无风险之间的比较机会(x,y,p)与肯定得到px+(1-p)y之间的利益比较就是比较

u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y)与

u(px+(1-p)y)

之间的大小。如果它们相等，表示对风险中性(不在乎)；一般取<，表示对风险厌恶。取>表示对风险爱好。7N-M期望效用函数Arrow-Pratt风险厌恶度量这就归结为函数u

的凸性的比较。它的程度可用-u’/u’’来度量。它由Arrow(1965)和Pratt(1964)所提出。8N-M期望效用函数期望效用函数的争论期望效用函数似乎是相当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是“Allais

悖论”(1953)。由此引起许多非期望效用函数的研究，涉及许多古怪的数学。但都不很成功。MauriceAllais(1911-)1986年诺贝尔经济奖获得者。9N-M期望效用函数Kahneman-Tversky

理论DanielKahneman,(1934-)2002年诺贝尔经济学奖获得者Kahneman

与

AmosTversky,(1937-1996)两位心理学家于1979年发表的论文“展望理论(ProspectTheory

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