2023版中考数学总复习第三章函数课件

第三章函数章首页

大概念统领下的科学备考方案函数是刻画现实世界变量关系的重要数学模型.初中阶段你学过哪些函数？研究过这些函数的哪些内容？请举例说明.方程、不等式、函数之间存在联系，可以用函数的观点认识相应的方程和不等式，请你说说它们之间的联系.怎样用函数的观点认识方程、不等式？问题导语复习思路会用数形结合的方法研究函数的图象和性质，体会类比及转化思想，理解一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，能用待定系数法确定它们的表达式.能用函数的观点认识相应的方程和不等式.能建立和运用函数模型，提高综合运用函数知识解决实际问题的能力．

学习目标第7节

平面直角坐标系与函数总体认识1中考课标导航2必备知识梳理3中考考点精讲4课堂巩固提升课标考点考情结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置对给定的正方形，会选择适合的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形1.平面直角坐标系5年5考中考课标导航有的放矢课标考点考情探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值2.函数概念的总体认识—续表课标考点考情能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论3.函数的图象与性质的总体认识—续表本节复习目标1.熟练掌握在平面直角坐标系中表示点的方法，能用点的坐标表示线段的长度，由线段的长度得到点的坐标；能画出直角坐标系，并描述物体的位置2.能确定简单实际问题中自变量的取值范围，并会求出函数值3.知道解决变量问题需要建立函数模型，能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析续表一、平面直角坐标系1.概念平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系有序数对：在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应必备知识梳理深根固柢点在象限内点在坐标轴上点在平行于坐标轴的直线上点在各象限角平分线上第一象限：x＞0，y＞0；第二象限：x

0，y

0；第三象限：x

0，y

0；第四象限：x

0，y

0点在x轴上时，该点的

等于0；点在y轴上时，该点的

等于0平行于x轴的直线上的所有点的

都相等；平行于y轴的直线上的所有点的

都相等第一、三象限的角平分线上的点：xA

=yA；第二、四象限角平分线上的点：

。＜＜＜＜＞＞纵坐标横坐标横坐标纵坐标xB

=

-

yB2.点的坐标的特征：3.点的坐标的意义：点到坐标轴及原点的距离两点间的距离点P到y轴的距离是

，即线段

的长度；点P到x轴的距离是

，即线段

的长度；点P到原点的距离是

，即线段

的长度。PH∥y轴，QH∥x轴，则：PH=

；QH=

；PQ=

.|xQ-xH||x|PM|y||yP-yH|POPN4.点的平移与对称：点的平移点的对称二、函数1.概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数.其中，x是

.2.函数的表示方法：列表法，关系式法，图象法.3.函数的作函数图象的步骤：列表、

、

.自变量描点连线考点一

平面直角坐标系

2021/第12题

1.（2021山西第12题）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（-2，2），（-3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为

.（2，-3）中考考点精讲深入浅出（1）点B，C，D，E，F的坐标分别为

.

.（-2，2），2.（原创）如图1，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为（1，2），边AB，CD都平行于x轴，与y轴分别相交于点E，G，边AD，BC都平行于y轴，与x轴分别相交于点H，F.（-2，-1），（1，-1），（0，2），（-2，0）（2）AE=

，BE=

，BF=

，CF=

.1221（3）将正方形ABCD沿x轴向右平移0.5个单位，向下平移0.5个单位.①请在图2网格中画出平移后的正方形A1B1C1D1，并写出点A，B，C，D的对应点A1，B1，C1，D1的坐标.解：画出的正方形A1B1C1D1如图2所示.②点A1与点C1的位置关系为

，点A1与点B1的位置关系为

，点A1与点D1的位置关系为

.③点B1到x轴的距离为

，到y轴的距离为

.关于原点O对称关于y轴对称关于x轴对称考点二

函数概念的总体认识

3.下列图象中，不能表示变量y是变量x的函数的是（）B4.（2022百校三）物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据.在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（

）

A.24.0cm

B.25.0cm

C.25.5cm

D.26.0cmB

5.（2022北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x.其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③A考点三

函数的图象与性质的总体认识

x...0.20.511.523...y...10.445...54.3（或

）6.7（或

）（1）填写下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象.画出的函数图象如答图所示.（2）结合图象，写出关于该函数的两条不同类型的性质.性质一：

.性质二：

.

.

函数有最小值当0<

x

≤1时，y随x的增大而减小（当x

≥1时，y随x的增大而增大）答案不唯一（3）根据图象，当x=

时，周长有最小值，最小值等于

.14

1.关注函数概念中的“唯一”：对于变量x取的每一个值，变量y都有“唯一”的值与它对应.2.根据呈现变量之间关系的需要灵活选择函数的三种表示方法：列表法、关系式法和图象法.3.综合三种函数表示方法，可以清晰地反映出两个变量之间的相互关系和变化规律.随堂笔记课堂巩固提升举一反三C2.（2022广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y=kx

+15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．（1）求y与x的函数关系式.（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．解：（1）把x

=2，y=19代入y=

kx+15中，得19=2k

+15，解得k

=2，所以，y与x的函数关系式为y=2x+15（x

≥0）.（2）把y=20代入y

=2x

+15中，得20=2x+15，解得x=2.5．答：所挂物体的质量为2.5kg．（1）数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．解：（1）①补全的图象如答图所示.

3.

6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：数形结合（1）数学活动：②观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？解：（1）②通过观察函数图象，当x

=4时，y

=200，当y的值最大时，x

=21.

3.

6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：数形结合（2）数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．解：（2）答案不唯一.性质一：当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；性质二：当x

=14时，y有最小值，最小值为80.3.

6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：数形结合（3）数学应用：根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口.请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？解：（3）由图象可知，当y=260时，x

=

5或x=10，x=18或x

=23，∴当5<

x

<10或18<x

<23时，y

>260，即在当天的5时到10时或18时到23时，适合货轮进出此港口．3.

6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：数形结合第8节函数的概念与表达式的确定1中考课标导航2必备知识梳理3中考考点精讲4课堂巩固提升课标考点考情结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式会利用待定系数法确定一次函数的表达式结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义1.确定一次函数表达式5年5考2.确定反比例函数的表达式5年1考3.确定二次函数的表达式5年3考中考课标导航有的放矢本节复习目标1.能用待定系数法求一次函数、反比例函数、二次函数的表达式2.会用配方法、公式法求二次函数图象的顶点坐标，能通过顶点平移确定二次函数的表达式续表一、一次函数1.概念：若两个变量x，y间的对应关系可以表示为y=kx+b（k，b是常数，

）的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.（正比例函数图象必过原点）k≠0必备知识梳理深根固柢2.待定系数法确定表达式一设：一次函数的表达式设为

；正比例函数的表达式设为

；二代：将已知点坐标代入表达式，得到方程（组）（求一次函数表达式需要代入两个点的坐标，求正比例函数表达式只需代入除原点外的任意一点坐标即可）；三解：解方程组，得k，b值；四写：将k，b的值代回所设的表达式，从而写出表达式.y=kx+b(k≠0）y=kx(k≠0）二、反比例函数三、二次函数1.概念：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示为y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的二次函数.2.确定函数表达式（1）待定系数法求函数表达式.一设：相应的表达式；二代：将已知点坐标代入表达式，得到方程（组）；三解：解方程（组）；四写：将参数值代回所设表达式，写出表达式已知条件设函数表达式的形式抛物线上除顶点以外的其他三点一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）抛物线的顶点或对称轴+其他点顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）抛物线与x轴的两个交点+其他点坐标交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）（2）平移确定新函数表达式一转化二平移y

=

2x2

+

4x

+

1

↓

y=

.向左平移2个单位长度y

=2（x

+2+1）2

-1，即y

=2（x

+3）2-1左加向右平移2个单位长度

，即

.右减向上平移2个单位长度y

=2（x

+1）2-1+2，即y

=2（x+1）2

+1上加向下平移2个单位长度

，即

.下减2（x+1）2-1y=2（x+1–2）2-1y=2（x-1）2-1y=2（x+1）2-1–2y=2（x+1）2-3考点一

确定三种函数表达式

2021/第10题中考考点精讲深入浅出2.已知变量y与x的关系满足下表，那么能反映y与x之间的函数关系的表达式为（

）A.y

=

-2x

B.y

=2x

+4C.y

=

-2x

+4 D.y

=

x

+4Bx…-3-2-10123…y…-20246810…3.（2021山西第10题）抛物线的函数表达式为y=3（x-2）2

+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A.y=3（x+1）2+3

B.y=3（x-5）2+3

C.y=3（x-5）2-1

D.y=3（x+1）2-1C4.已知点（2，0）在直线l1上，点（-4，-3）在直线l2上，l1与l2关于y轴对称，则l1和l2的交点坐标为

.（0，3）5.已知二次函数y

=

ax2

+

bx+13（a，b为常数，a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如下表：求该抛物线的表达式.5.已知二次函数y

=

ax2

+

bx+13（a，b为常数，a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如下表：求该抛物线的表达式.6.已知一次函数的图象交正比例函数图象于点M，交x轴于点N（-6,0），其中点M的横坐标为-4，若S△MON

=15，求该正比例函数和一次函数的表达式.考点二

确定三种函数表达式的综合性问题

2018/第17题6.已知一次函数的图象交正比例函数图象于点M，交x轴于点N（-6,0），其中点M的横坐标为-4，若S△MON

=15，求该正比例函数和一次函数的表达式.（1）求一次函数和反比例函数的表达式.解：（2）由y1>0，得x+2>0.∴x>-2.∴当x>-2时，y1>0.（2）当x为何值时，y1>0？解：

x

<

-4或0<

x

<2.（3）x为何值时，y1<y2？请直接写出x的取值范围.（2）求△AEF的面积．（2）求△AEF的面积．1.（2022太原一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y

=

ax2+

bx

+

c（a≠0）先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度，得到抛物线y

=

x2

-2x

-4，则抛物线y

=

ax2

+

bx

+

c（a≠0）的函数表达式为（

）A.y

=

x2

+2x

+4

B.y

=

x2

+4x

-3C.y

=

x2

-4x

-3

D.y

=

x2-8x

+13课堂巩固提升举一反三B1224A第9节函数的图象与性质1中考课标导航2必备知识梳理3中考考点精讲4课堂巩固提升中考课标导航有的放矢课标考点考情能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况理解正比例函数体会一次函数与二元一次方程的关系能画反比例函数的图象，根据图象和表达式（k≠0）探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况1.一次函数的图象及性质—2.反比例函数的图象及性质5年2考

3.二次函数的图象及性质5年3考课标考点考情会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题4.三种函数综合—续表本节复习目标1.从表格、关系式、图象三个角度理解一次函数的性质，体会一次函数模型的本质是“均值变化”2.能确定反比例函数的表达式，能根据k的符号讨论图象的变化情况，理解并利用k的几何意义解决问题续表一、一次函数必备知识梳理深根固柢1.图象及性质k决定倾斜方向和增减性k＞0（随x的增大y也

）k＜0（随x的增大y反而

）图象b决定图象与y轴的交点b＞0b

0b＜0b＞0b=0b

0增大减小=＜经过的象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二二、三、四与坐标轴的交点特征当x

=

0时，y

=

b，即一次函数的图象与y轴的交点坐标为

,当y=0时，

，即一次函数的图象与x轴的交点坐标为

..

续表（0，b）2.与方程（组）、不等式的关系：一个一次函数与方程、不等式的关系解一元一次方程ax+b=0（a≠0）⇕在一次函数y=ax+b中，当y=0时，求x的值（一次函数图象与x轴交点的横坐标x的值为

）解不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）

⇕

在一次函数y=ax+b中，当y>0或y<0时，求x的取值范围（当y

>

0时，直线在x轴上方，x的取值范围为x

＞

m；当y

<

0时，直线在x轴下方，x的取值范围为

）。.mx＜

m两个一次函数与方程组、不等式的关系解方程组

（a１≠a２）

⇕两个一次函数图象的交点坐标为（m，n）解不等式a1

x+b1

>a2x+b2（a1≠

a2）或a1

x+b1

＜a2x+b2（a1≠

a2）

⇕

当y1>y2或y1<y2时，求x的取值范围（以交点为界限，直线l1位于直线l2上方时，y1>y2，此时x＞m；直线l1位于直线l2下方时，y1＜y2，此时

）

x＜m续表k决定图象所在象限k＞0（x，y同号），图象在第一、三象限

k＜0（x，y异号），图象在第二、四象限单调性在每一象限内，y的值随x值的增大而减小在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.

图象（双曲线）图象及性质二、反比例函数对称性图象关于直线y=x，y=-x成轴对称；关于原点成中心对称渐近趋势图象无限接近坐标轴，但与坐标轴不相交（即x≠0且y≠0）续表三、二次函数1.图象及性质对称性直线

或直线

（其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标）顶点坐标（1）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为

.

（2）运用配方法将一般式转化为顶点式求解（3）将对称轴直线x=

的值代入函数表达式求得对应的y值单调性（可画草图判断）当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而

；在对称轴右侧，y随x的增大而

.

当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而

；在对称轴右侧，y随x的增大而

.

最值a

>0⇔开口向上，函数有最小值，最小值为a<0⇔开口向

，函数有最

值，最大值为下大减小增大增大减小续表2.与方程的关系：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与

轴的交点的横坐标（以a>0为例，a<

0时同理）.

b2-4ac值的正负抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况b2-4ac>0

个交点有两个不相等的实数根：x1，x2b2-4ac=0

交点有两个相等的实数根：x1=x2b2-4ac<0

交点

实数根两一个没有没有x1.（原创）在如图所示的平面直角坐标系中：（1）画出函数y=3x-3的图象.中考考点精讲深入浅出解：（1）求作的函数图象如答图所示.（2）（1）中图象与x轴的交点A的坐标为

，与y轴的交点B的坐标为

，则S△AOB为

.（3）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在该直线上，且y1<y2，则x1

x2（填“>”“<”或“≠”）.（1，0）（0，-3）<D考点二

反比例函数的图象及性质

2021/第5题

2020/第7题考点二

反比例函数的图象及性质解：（1）如答图所示,即为所求.

2021/第5题

2020/第7题（2）该反比例函数的图象在第

象限，且在每一个象限内，y随x的增大而

.（3）请写出当y>1时，x的取值范围为

；当x>2时，y的取值范围为

.减小0<x<2一、三

0<y<1（4）若点（-3，a），（1，b），（2，c）是反比例函数图象上的点，则a，b，c的大小关系是

（用“＜”连接）.

a<c<b

(-1,-2)

D

A6.（原创）结合二次函数y

=x2+4x

-2的图象，请回答下列问题：（1）抛物线开口向

.（2）抛物线的顶点坐标为

.（3）抛物线的对称轴为

.（4）抛物线与y轴的交点坐标为

，与x轴的交点坐标为

.（5）当

时，y有最小值，最小值为

.（6）当

时，y随x的增大而增大；当

时，y随x的增大而减小.（7）若（-5，y1），（-3，y2），（2，y3）在抛物线上，则y1，y2，y3按从小到大的排序为

.上考点三

二次函数的图象及性质（-2，-6）x=-2（0，-2）x=-2-6x>-2x<-2y2

<y1<y37.（2018山西9题）用配方法将二次函数y=x2-8x-9

化为y=a（x-h）2+k的形式为（）A.y=（x-4）2+7

B.y=（x-4）2-25C.y=（x+4）2+7

D.y=（x+4）2-25

B

二次函数通过配方化为顶点式的第一步是利用提公因式法进行变形；用配方法解一元二次方程第一步是依据等式的基本性质，等式两边同时除以二次项系数.方法总结8.求二次函数y

=

2x2

-

8x

+

7图象的对称轴和顶点坐标.解：y

=

2x2

-

8x+7

=2（x2-4x）+7

=2（x2-4x+4）-8+7

=2（x-2）2-1.因此，二次函数y

=

2x2

-

8x

+

7图象的对称轴是直线x=

2，顶点坐标为（2，-1）.考点四

三种函数综合9.如图，直线y=kx+b与直线y=x+2交于点P（3，m）.（1）关于x的不等式kx+b≥x+2的解集是

.x≤3（3）关于x的不等式kx+b

<

5的解集是

.x＞3（3,1）（0,2）（2）求反比例函数的表达式及点E的坐标.（3）在第一象限内，当y1>y2时，直接写出x的取值范围.11.（2022适应性）如图，直线y=kx+b（k≠0）与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且点A的坐标为（-1，2），点B的坐标为（2，a）．（1）求直线AB的函数表达式.（2）过点C作CD⊥x轴交反比例函数图象于点D，连接AD，BD，请直接写出△ABD的面积.（2）3课堂巩固提升举一反三B2.（2022泰安）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x-2-106y0416

C

第10节函数的实际应用1中考课标导航2中考考点精讲3课堂巩固提升基本图形考点考情能用一次函数解决简单实际问题能用反比例函数解决简单实际问题能用二次函数解决简单实际问题交往与沟通积极适应社会的发展1.一次函数的实际应用5年1考5年1考2.反比例函数的实际应用3.二次函数的实际应用考情5年2考中考课标导航有的放矢本节复习目标1.能建立一次函数模型解决实际问题2.能用反比例函数解决简单的实际问题3.能利用二次函数解决实际问题考情中考考点精讲深入浅出

考点一

已知模型

2022/第12题2020/第9题2019/第9题

1.（2020山西第9题）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示，其中h0（

m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5

m的高处以20

m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（

）A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5mC2.（2022山西第12题）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示.当S

=0.25m2时，该物体承受的压强p的值为

Pa.4003.（2022适应性第14题）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示.该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为

W.2204.（2019山西第9题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同、跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象——抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点.拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为

（）B5.A，B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从A，B两座城市的入口处驶入，甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在高速公路上匀速行驶，距B城高速公路入口处的距离y（千米）与时间x（时）之间的关系如图所示．（1）A，B两座城市之间的距离为

千米，点M表示的意义是

.解：（1）300当行驶了2小时时，甲车距离B城高速公路入口120千米.（2）求y关于x的关系式.（3）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，当两车相遇后即刻改为以90千米/时的速度匀速驶向A城，请在图中画出乙车行驶的路程y乙（千米）与时间x（时）之间的关系图象．（3）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，当两车相遇后即刻改为以90千米/时的速度匀速驶向A城，请在图中画出乙车行驶的路程y乙（千米）与时间x（时）之间的关系图象．6.（2022河南）小红看到一处喷泉景观（图1），喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究.在同一竖直平面内，测得喷水头P距地面0.7米，水柱在距喷水头P水平距离5米处达到最高，最高点距地面3.2米.建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a（x

-h）2+

k，其中x（米）是水柱距喷水头的水平距离，y（米）是水柱距地面的高度.6.（1）求抛物线的函数表达式（2）小红的爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3米，身高1.6米的小红在水柱正下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.

已知模型

随堂笔记三种函数的实际应用

考点二

未知模型

2019/第19题7.“闪送”提供1小时同城速递服务和一对一急送服务.客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣等配送过程中存在的诸多安全性问题.某闪送公司每月给闪送员的工资为底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下：送送单数量单数量补贴/元·单-1每月超过300单且不超过500单的部分5每月超过500单的部分7设该月某闪送员送了x单（x>500），所得工资为y元，则y与x的函数关系式为

．y=7x-8008.（2019山西第19题·8分）某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式.解：（1）y1=30x+200，y2=40x.（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱？（2）由y1<y2，得30x+200<40x.解得x>20.∴当x>20时，选择方式一比方式二省钱.9.（2022二模改编）随着夏季的来临，某家超市计划购进进价分别为500元/台、400元/台的甲、乙两种品牌电风扇共50台，并且甲品牌台数不超过乙品牌台数的2倍.若甲、乙两种品牌的电风扇每台的售价分别为650元和500元，要使这两种品牌的电风扇售完后超市获取的利润最大，应怎样安排购进数量？求出最大利润.10.市政府计划建设一项惠民工程，先锋运输公司承担了运送105

m3土石方的任务.（1）运输公司平均每天运送速度v（单位：m3/d）与完成任务所需时间（t单位：d）之间的函数关系式为

.（2）如果每辆车每天平均运送102m3的土石方，要求完成任务的时间不能超过50天，求运输公司平均每天至少安排多少辆车.11.某大学生毕业后自主创业，组织团队研制、生产、销售一种洗涤用品，该产品每瓶的生产费用为60元，售价为每瓶80元，每月可销售100瓶；如果每瓶的售价每涨5元，每月少销售10瓶，设每瓶的售价为x元（x为正整数，且x

>80），当每瓶的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售额-生产费用）根据单瓶的利润×数量=总利润列等量关系思路启迪每瓶售价/元

x销售量/瓶销售额/元所获利润/元1008080×100（80

-

60）×10012.如图1，有一块直角三角形空地AEF，∠A=90°，已知AE=8米，AF=6米，现在要靠着两面直角墙AE和AF围一个矩形花园ABCD，则花园的最大面积是多少？12.如图1，有一块直角三角形空地AEF，∠A=90°，已知AE=8米，AF=6米，现在要靠着两面直角墙AE和AF围一个矩形花园ABCD，则花园的最大面积是多少？变式：如果矩形花园GCBH要避开墙面AE和AF，改为如图2的位置，点B，C在EF上，其他条件不变.此时花园的最大面积是多少？变式：如果矩形花园GCBH要避开墙面AE和AF，改为如图2的位置，点B，C在EF上，其他条件不变.此时花园的最大面积是多少？∵8-4x>0且5x>0，∴0<x<2.∴x=1时，GH=5米，y有最大值，最大值是12.答：此时花园的最大面积是12平米．13.（2022鄂尔多斯模拟）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例关系，1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例关系.根据图中提供的信息，解答下列问题：

考点三

函数应用的综合13.（1）请求出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围.解：（1）由题意可得，当0≤x<1.5时，设函数关系式为y=kx（k≠0），则150=1.5k，解得k=100，∴y=100x.13.（1）请求出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围.（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天最早几点可以驾车去上班？请说明理由.14.（2022金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其函数表达式为y需求=ax2+c，部分对应值如下表：售价x（/元·千克-1）…2.533.54…需求量y需求/吨…7.757.26.555.8…②该蔬菜供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给=x

-1，函数图象见图1．请解答下列问题：14.（1）求a，c的值（2）根据图2提供的信息，求哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大，并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．课堂巩固提升举一返三1.A城有肥料200t，B城有肥料300t.现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C，D两乡的运费如下表：两城运往C乡每吨运费/元运往D乡每吨运费/元A2024B1517设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y1元，从B城运往两乡的总运费为y2元.解：（1）根据题意，得y1

=20x+24（200-x）=

-4x

+4800，y2=15（240-

x）+17（300-

240+

x）=2x+4620.（1）分别写出y1，y2与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）（2）若y1=

y2，则-4x+4800=2x+4620，解得x=30，则A，B两城运往C、D两乡的总费用一样.若y1<y2，则-4x+4800<2x+4620，解得x>30，则A城运往C，D两乡的总费用比B城运往C，D两乡的总费用小.若y1>y2，则-4x+4800>2x+4620，解得x<30，则B城运往C，D两乡的总费用比A城运往C，D两乡的总费用小．（2）试比较A、B两城运往C，D两乡的总运费的大小．（3）若B城运往C，D两乡的总运费不超过4800元，怎样调运能使A，B两城运往C，D两乡总费用的和最少？求出最少的费用．（3）解：依题意得y2=2x+4620≤4800，解得x≤90，设两城总费用为y，则y=y1+y2=-2x+9420，∵-2<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=90时，y有最小值9

240．∴200-90=110，240-90=150，300-150=150.答：当从A城调往C乡肥料90t，调往D乡肥料110t；从B城调往C乡肥料150t，调往D乡肥料150t时，A，B两城运往C，D两乡总费用的和最少，最少费用为9240元．2.“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至.冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销.已知每个纪念品进价40元，当销售单价定为46元时，每天可售出400个.经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，且规定利润率不得高于50%.设每天销量为y个，销售单价为x元．（1）求当纪念品的销售单价是多少时，商家每天获利4800元.（2）将纪念品的销售单价定为多少时，商家每天销售纪念品获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（2）将纪念品的销售单价定为多少时，商家每天销售纪念品获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？提分小专题二反比例函数k的几何意义1名师一点通2典例精讲名师一点通

提炼基本方法2.常见图例及结论：一点一垂线（及变形）：S阴影=_______一点两垂线（及变形）：S阴影=_______两点一垂线：S阴影=_______两点两垂线：S阴影=_______典例精讲

掌握通性通法

2019/第14题解：如答图所示，即为所求.（答案不唯一）16CCB提分小专题三二次函数系数与图象的关系1本节复习目标2名师一点通3典例精讲4提分训练本节提分小专题复习目标能借助图象分析二次函数的系数与图象的开口、对称轴、顶点坐标、图象与坐标轴交点的关系.由表达式判断图象特征名师一点通

提炼基本方法a的正负决定开口方向a>0⇔开口向上，函数有最小值；a<0⇔开口向______，函数有最______值a，b共同决定对称轴位置b=0⇔对称轴为______；a，b同号⇔对称轴在y轴左侧；a，b异号⇔对称轴在y轴右侧c决定与y轴交点位置c=0⇔抛物线过原点；c>0⇔抛物线与y轴交于______半轴；c<0⇔抛物线与y轴交于______半轴b2-4ac决定与x轴交点的个数b2-4ac=0⇔抛物线与x轴有_________交点（顶点）；b2-4ac>0⇔抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac<0⇔抛物线与x轴______交点下大y轴正负唯一的没有典例精讲

掌握通性通法如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A，B，且A的横坐标在-1和0之间，与y轴交于负半轴，对称轴为直线x=1，对于该二次函数，下列结论正确的为______________.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A，B，且A的横坐标在-1和0之间，与y轴交于负半轴，对称轴为直线x=1，对于该二次函数，下列结论正确的为______________.①a>0，b>0，c<0；②b2>4ac；③2a+b=0；④a-b+c>0，a+b+c<0；⑤点（2，c）一定在该抛物线上；⑥若点（-0.1，y1），（1.5，y2）均在抛物线上，则y1>y2；⑦am2+bm≥a+b.②③④⑤⑥⑦提分训练

方法触类旁通1.（2022成都）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A（-1，0），B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是

（

）

A.a>0

B.当x>-1时，y的值随x值的增大而增大

C.点B的坐标为（4，0）

D.4a+2b+c>0D2.（2022滨州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（-2，0），B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2-4ac>0；②4a+b=0；③当y>0时，-2<x<6；④a+b+c<0.其中正确的个数为

（

）

A.4

B.3

C.2

D.1B3.（2022牡丹江）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论中：①abc>0；②（a+c）2

-b2=0；③9a+4c<0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是

（

）

A.1

B.2

C.3

D.4CC提分小专题四

二次函数综合与探究本节提分小专题复习目标1.能运用图形的性质，借助二次函数解决线段、三角形周长、面积的最值问题.2.能综合运用所学知识解决特殊三角形、特殊四边形的存在性问题，在“开放与探究”中发展应用意识、创新意识，体会数形结合、分类讨论等数学思想.类型一

线段问题1名师一点通2典例精讲3提分训练名师一点通

提炼基本方法续表典例精讲

掌握通性通法

（2）如图2，若点E为y轴上一动点，且BE=CE，求点E的坐标.（3）如图3，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，设点M的横坐标为m，过M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点P.①请用含m的代数式分别表示线段MP和MN的长度.（3）如图3，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，设点M的横坐标为m，过M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点P.①请用含m的代数式分别表示线段MP和MN的长度.②当点P是线段MN的三等分点时，求点M的坐标.②当点P是线段MN的三等分点时，求点M的坐标.③当线段MP取到最大值时，求点M的坐标.（4）如图4，若点M

是直线BC上方抛物线上一动点，过M作MH⊥BC于点

H，求线段MH的最大值.（4）如图4，若点M

是直线BC上方抛物线上一动点，过M作MH⊥BC于点

H，求线段MH的最大值.（4）如图4，若点M

是直线BC上方抛物线上一动点，过M作MH⊥BC于点

H，求线段MH的最大值.（5）如图5，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，连接OM交BC于点H，过点M作x轴的平行线交直线BC于点N，设点M的横坐标为m.①请用含m的代数式表示线段MN的长度.（6）如图6，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作MH∥AC交y轴于点H，交BC于点D，若AC=

2MD，求点M的坐标.（6）如图6，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作MH∥AC交y轴于点H，交BC于点D，若AC=

2MD，求点M的坐标.（6）解：如答图2，过点M作x轴垂线，垂足为点N，交BC于点P，再过点D作MN的垂线，垂足为E，∴MN∥y轴.∵AO=1，CO

=

2，BO

=3，MH∥AC，∴∠ACO=∠OHD

=∠DME.∵∠MED=

∠COA=

90°，∴△ACO∽△DME.（6）如图6，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作MH∥AC交y轴于点H，交BC于点D，若AC=

2MD，求点M的坐标.（6）如图6，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作MH∥AC交y轴于点H，交BC于点D，若AC=

2MD，求点M的坐标.（6）如图6，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作MH∥AC交y轴于点H，交BC于点D，若AC=

2MD，求点M的坐标.

二次函数线段问题方法提炼第一步：设点（用含字母的式子表示出水平或竖直线段的两个端点的坐标）.第二步：表长度（用坐标差表示出线段长度）.第三步：问题导向找方法.1.水平或竖直线段问题策略：线段长=两端点坐标差（注意不确定大小关系时添加绝对值符号来处理）.①线段定比：列方程求解即可.②最值问题：将原表达式转化为二次函数顶点式求最值.提分笔记2.

斜线段问题策略：斜线段长常转化为“竖线段”或“横线段”.具体方法：“作竖线、作横线”将斜线段放在直角三角形或相似三角形或有等角的直角三角形中，利用勾股定理、相似三角形对应边成比例或三角函数等转化为“竖线段”“横线段”间的计算问题.①线段定比：找定角用三角函数或相似推出定比.②最值问题：在线段定比的基础上，转化为求二次函数顶点式.提分笔记提分训练

方法触类旁通如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y

=ax2+bx+3（a≠0）的顶点为

A，与

y

轴交于点D，与x轴交于点B（3，0），C（-1，0）.P是抛物线上的动点，设点P的横坐标为m（0<m<3），过点P作直线l∥x轴．（1）求抛物线的函数表达式及点A，D的坐标.∴直线BD的函数表达式为y=-x+3.∵点P与点M纵坐标相同，

∴把y

=-m2

+2m

+3代入y=-x

+3，得-m2+2m

+3=-x

+3.∴x=

m2

-2m.∴M（m2

-2m，-m2

+2m+3）.∴PM=m

-（m2

-2m）=-m2+3m.类型二

面积问题1名师一点通2典例精讲3提分训练名师一点通

提炼基本方法续表续表典例精讲

掌握通性通法

(原创)如图1，抛物线y=-x2

+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，直线l经过B，C两点，连接AC.（1）求点A，B，C，D的坐标和直线l的表达式.（1）解：把y=0代入y=-x2

+2x+3，得-x2+2x+3=0，解得x1

=-1，x2

=3，∴A（-1，0），B（3，0）.把x=0代入y=-x2

+2x+3，解得y=3，∴C（0，3）.（1）求点A，B，C，D的坐标和直线l的表达式.（2）如图2，求四边形ACDB的面积.（2）如图2，求四边形ACDB的面积.（2）一题多解（2）如图2，求四边形ACDB的面积.（2）如图2，求四边形ACDB的面积.方法二，如答图2，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点H，则S四边形ACDB

=S△CDB

+S△ABC=9.（3）解：不存在.理由如下：如答图3，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点P，

∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，∴设M（m，-m2

+2m+3）.∵点P在直线y=-x+3上，∴P（m，-m+3），∴MP=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.（4）在直线l上方的抛物线上，是否存在一点M，使△CMB的面积最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（4）在直线l上方的抛物线上，是否存在一点M，使△CMB的面积最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（4）在直线l上方的抛物线上，是否存在一点M，使△CMB的面积最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（5）如图4，在抛物线上是否存在一点N，使S△ABN

=S△ABC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（5）如图4，在抛物线上是否存在一点N，使S△ABN

=S△ABC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（6）在抛物线上是否存在一点N，使S△BON

=S△CON？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（6）在抛物线上是否存在一点N，使S△BON

=S△CON？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（6）在抛物线上是否存在一点N，使S△BON

=S△CON？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（6）在抛物线上是否存在一点N，使S△BON

=S△CON？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（7）如图5，在抛物线上找一点N，过N作NP⊥x轴于点P，交BC于点H，使BC把△BNP分成面积相等的两部分.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（7）解：存在.设N（n，-n