电工学-第2章电路的瞬态分析

换路(switching)：电路在接通、断开、改接以及参数和电源发生突变等等。稳态瞬态新的稳态换路稳态(steadystate)：电路的结构和元件的参数确定时，电路的工作状态确定，电压和电流不会变更。

暂态(过渡状态,transientstate)：电路在过渡过程中所处的状态。2.1瞬态分析的基本概念一、稳态和瞬态1电路在换路后出现过渡过程的缘由：电路中有储能元件——电容C或电感L开关S

闭合US稳态暂态旧稳态新稳态SRtO2换路是引起瞬态过程的外因。电容中的电场能和电感中的磁场能的不能突变是引起瞬态过程的内因。3

激励(excitation)(输入,input)：电路从电源(包括信号源)输入的信号。响应分类一

响应(response)(输出,output)：电路在外部激励的作用下，或者在内部储能的作用下产生的电压和电流。零输入响应(zero-input)：无外部激励，仅由L或C中储存的能量引起的响应。零状态响应(zero-stateresponse)：L或C未储存能量，由激励引起的响应。全响应(completeresponse)：L或C储存能量，加上外部激励引起的响应。按产生原因分类二、激励和响应4在线性电路中:

全响应＝零输入响应＋零状态响应5阶跃响应即在直流电源作用下的响应。依据激励波形的不同，零状态响应和全响应可分为阶跃响应、正弦响应和脉冲响应等。utOUu(

t

)=0,当t<0时换路U,当t>0时阶跃激励换路前电路与电源断开换路后电路与电源接通在阶跃激励作用下的响应称为阶跃响应。响应分类二

62.1(1)志向电阻元件与直流电源接通时，有没有过渡过程？这时电阻中电压和电流的波形是什么样的？2.1(2)阶跃电压和直流电压的波形有什么区分？2.1(3)含电容或电感的电路在换路时是否确定会产生过渡过程？72.2储能元件电容是用来表征电路中电场能量储存这一物理性质的志向元件。C

=qu——电荷量，单位为库[仑](C)——电压，单位为伏[特](V)——电容，单位为法[拉](F)一、电容＋qi

u＋－＋－－q＋－C

i

u＋－8C

i

u＋－i

=Cdudt电容的瞬时功率p=ui

=Cududtu

的绝对值增大时，>0,p>0,电容从外部输入功率，ududt把电能转换成了电场能。u

的绝对值减小时，<0,p<0,电容向外部输出功率，ududt电场能又转换成了电能。9C

i

u＋－t=0t=

电容中储存的电场能u=0u=U

从外部输入的电能12

0p

dt=ui

dt

=Cudu=CU2

0

0UWe

=CU212若外部不能向电容供应无穷大的功率,电场能就不行能发生突变。因此，电容的电压u不行能发生突变。p

=d

Wedt由于—————单位为焦[耳](J)10电容串联时C1

u＋－C2

＋－u1

＋－u2

=1C1C1＋1C2u1=C2C1＋C2uu2=C1C1＋C2u电容并联时u＋－C1

C2

C＝C1＋C2

11电容图片陶瓷电容云母电容薄膜电容复合介质电容铝电解电容钽电解电容真空电容12电感是用来表征电路中磁场能量储存这一物理性质的志向元件。——磁链，单位为韦[伯](Wb)——电流，单位为安[培](A)——电感，单位为亨[利](H)二、电感u＋－eiN＝N

L

=i线圈的磁链L

i

u＋－e13由基尔霍夫电压定律L

=ie

=－N=－

ddtddt规定：e的方向与磁感线的方向符合右手螺旋定则时e为正，否则为负。e

=－Ldidtu=－eu

=Ldidt于是L

i

u＋－e14电感的瞬时功率p=ui

=Lididt

i

的绝对值增大时，>0,p>0,电感从外部输入功率，ididt把电能转换成了磁场能。

i

的绝对值减小时，<0,p<0,电感向外部输出功率，ididt磁场能又转换成了电能。u

=LdidtL

i

u＋－e15t=0t=

电感中储存的磁场能i=0i=I

从外部输入的电能12

0p

dt=ui

dt

=Lidi=LI2

0

0IWL

=LI212若外部不能向电感供应无穷大的功率,磁场能就不行能发生突变。因此，电感的电流i不行能发生突变。p

=dWL

dt由于—————单位为焦[耳](J)16无互感存在的两电感线圈串联时,等效电感为=1L1L1＋1L2L＝L1＋L2

无互感存在的两电感线圈并联时,等效电感为17电感图片磁棒电感线圈双层空心电感线圈工字形电感线圈贴片电感铁心电感线圈磁珠电感多层空心电感线圈18由于电容中的电场能和电感中的磁场能不能突变,所以换路瞬间，电容上的电压和电感中的电流不行能突变。2.3换路定律换路定律电容电压和电感电流在换路后的初始值应等于换路前的终了值。换路前的终了时刻表示为t=0-换路后的初始时刻表示为t=0＋uC

(0+)=uC

(0－)iL

(0+)=iL

(0－)19换路定律仅适用于换路瞬间。换路前的电路换路定律换路后uC和iL的初始值换路后其他电流和电压的初始值换路后的电路电路达到新稳态时电流和电压的稳态值初始值用u

(0)

和i

(0)表示

稳态值用u

()

和i

()表示

20留意：2、稳态值用u(∞)i(∞)表示；初始值用u(0)i(0)表示。1.换路瞬间，uC、iL不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果确定；3.换路定理仅适用于换路瞬间，利用uC、iL不能突变,将换路前的uC、iL作为换路后的uC、iL。再由这些初始值依据稳态电路中的分析方法确定其他量.4.在直流电路中,电路处于稳态时,c开路,L短路.21

［例2.3.1］在图示电路中，已知US＝5V，IS＝5A，R＝5。开关S

断开前电路已稳定。求开关S

断开后R、C、L的电压和电流的初始值和稳态值。R＋－uC＋－US＋－uR＋－L

iL

iR

uLC

iC

SIS

［解］(1)求初始值uC

(0

)=

0依据换路定律，由换路前的电路求得：iL

(0

)=

=USR=1A55A22iR

(0

)=iL

(0

)=1A依据uC(0)和iL(0)，由换路后的电路求得：uR

(0

)=RiR(0

)=(51)V=5ViC

(0

)=IS+iL

(0

)=(5+1)A=6AuL

(0

)=US－uR

(0

)－uC

(0

)=(5－5－0)V=0VR＋－uC＋－US＋－uR＋－L

iL

iR

uLC

iC

SIS

23(2)求稳态值iC

(

)=

0在稳态直流电路中，C相当于开路，L相当于短路。uL

(

)=

0R＋－uC＋－US＋－uR＋－L

iL

iR

uLC

iC

SIS

由换路后的电路再求得：iL

(

)=iR

(

)=iC

()－IS=(0－5)A=－5AuR

()=RiR

(

)=[5(－5)]V=－25VuC

(

)=US－uL

(

)－uR

(

)=[5－0－(－25)]V=30V24(1可否由换路前的电路求iC(0)和uL(0)?(2)可否由换路前的电路求iR(0)和uR(0)?252.4RC电路的瞬态分析一、RC电路的零输入响应R＋－uC＋－U0C

iC

Sab

换路前，开关S合在a端，电路已稳定。R＋－uC＋－U0C

iC

auC

(0

)=U0换路后，开关S合在b

端。R＋－uCC

iC

buC

()=

0换路后外部激励为零，在内部储能作用下电容经电阻放电

零输入响应26R＋－uC＋－U0C

iC

Sab

依据KVL，由换路后的电路列出回路方程式RiC＋uC

=0iC

=CduCdt而得RCduCdt＋uC

=0uC的通解为tRCuC

=Ae将t＝0，uC=U0代入，得A

=U027tRCuC

=U0et=U0eiC

=CduCdt=－U0Rte=－I0etU0电流发生突变uCtOiC－I0

=RCRC电路的时间常数t=

uC

=0.368

U0t=3

uC

=0.05

U0uCiC工程上通常在t≥3

后，即可认为瞬态过程基本结束。28二、RC电路的零状态响应R＋－uC＋－USC

iC

S换路前，开关S断开，电容中无储能。R＋－uC＋－USC

uC

(0

)=

0换路后，开关S闭合。R＋－uC＋－USC

iC

uC

()=US换路前电容中无储能，换路后RC两端输入一阶跃电压，电容起先充电。阶跃零状态响应29依据KVL，由换路后的电路列出回路方程式RiC＋uC

=USiC

=CduCdt而得RCduCdt＋uC

=US将t＝0，uC=0

代入，得A

=－USR＋－uC＋－USC

iC

SuC

()=U0uC的通解为tRCuC

=Ae＋US30tRCuC

=US－USet=US(1－e)电流发生突变uCtOiCI0

=RCRC电路的时间常数iC

=CduCdt=USRe=I0ettRCUSuCiC工程上只需t≥3

，即可认为电路已稳定，充电已基本结束。31三、RC电路的全响应uC

(0

)=U0uC

()=US换路时电容已充电，已有储能，换路后输入阶跃电压。

阶跃全响应R＋－uC＋－U0C

iC

Sab

＋－US换路前，开关S合在a端，电路已稳定。换路后，开关S合在b端。32依据线性电路的叠加定理uC

=U0et＋US(1－e)t=US＋(U0－US)etiC

=－＋USReU0Rett=(IS－I0)et=US－U0Ret全响应＝零输入响应＋零状态响应33uC=US＋(U0－US)et当U0

>US,电容放电uCtOU0US当U0

<US,电容充电uCtOU0US34

［例2.4.1］图示电路中，U0＝15V，US＝10V，R＝10k，C＝20F。开关S

合在a端时电路已处于稳态。现将开关由a端改合到b端。求换路瞬

间的电容电流以及uC

降至12V时所需要的时间。R＋－uC＋－U0C

iC

Sa

b

＋－US［解］iC

=US－U0Ret依据换路瞬间的电容电流为iC

=US－U0R=15－1010mA=0.5mA35R＋－uC＋－U0C

iC

Sa

b

＋－US该电路的时间常数uC

=12V时

=RC=101032010－6s=0.2s依据uC=US＋(U0－US)et12=10＋(15－10)et0.2t

=－15ln0.4=0.183s362.5RL电路的瞬态分析一、RL电路的零输入响应换路前，开关S断开，且电路已稳定。iL

(0

)=I0换路后，开关S闭合。iL

()=

0换路后外部激励为零，在内部储能作用下，电感电流将从初始值I0渐渐衰减到零。零输入响应R＋－uLI0LiL

S37依据KVL，由换路后的电路得uL＋RiL

=0而uL

=LdiLdt得diLdt＋iL

=0LR微分方程式解法与电容放电时的微分方程式相同。R＋－uLI0LiL

38uL

=LdiLdt=－RI0te=－U0etI0电压发生突变uLtOiL－U0RL电路的时间常数工程上，只要t≥3

，即可认为衰减已基本结束。iL

=I0et=I0eRLtuLiL

=LR39R＋－ULS换路瞬间，电感电压发生突变如果L大，大，则diLdt开关S断开时，电流的变更率很大，则电感两端产生很高的感应电压。极高感应电压二极管具有单向导电性，不影响电路的正常工作。当开关S断开时，为电感线圈供应放电回路。D续流二极管换路瞬间，电感电压的突变值U0就大。40已知:分析:换路前换路瞬间S电压表内阻设开关S

在t=0

时打开。求:S

打开的瞬间,电压表两端的电压。LRiLV41LRiLVSLRiLVS电压表得读数为42二、RL电路的零状态响应换路前，开关S闭合，电路已稳定。iL

(0

)=

0换路后，开关S断开。iL

()=IS换路时电感中无储能，在外部输入的阶跃电流的作用下，电感电流将从零渐渐增长到稳态值IS。阶跃零状态响应R＋－uLISLiL

SR＋－uLISLiL

R＋－uLISLiL

43依据KVL，由换路后的电路得而uL

=LdiLdt得diLdt＋iL

=ISLRR＋－uLISLiL

S＋iL

=ISuLR微分方程式解法与电容充电时的微分方程式相同。44uL

=LdiLdt=RISte=USetRL电路的时间常数工程上，只要t≥3

，即可认为瞬态过程基本结束。

=LRRLtiL

=IS(1－e)t=IS(1－e)电压发生突变uLtOiLUSISiLuL45三、RL电路的全响应iL

(0

)=I0iL

()=IS换路时已有储能，同时又输入了一个阶跃电流。

阶跃全响应假如RL电路在换路后46由RL电路的零输入响应和零状态响应求得全响应为iL

=I0

et＋IS(1－e)t=IS+(

I0－IS

)etuL

=－RI0＋RIS

eett=(US－U0)etet=R(IS－I0)47iL=IS+(

I0－

IS

)

et当I0

>IS

iLtO

I0

IS当I0

<IS

iLtO

I0

IS48

RC电路RL电路零输入响应零状态响应全响应RC和RL电路的暂态分析492.6一阶电路瞬态分析的三要素法凡是含有一个储能元件或经等效简化后含有一个储能元件的线性电路，在进行瞬态分析时所列出的微分方程式都是一阶微分方程式。这种电路称为一阶电路(firstordercircuit)。任何形式的一阶电路只要将储能元件从电路中提出，使剩下的电路成为有源二端网络，都可以利用等效电源定理将该电路简化成上两节介绍的最简洁的一阶电路。50uC=US＋(U0－US)etiL=IS+(

I0－

IS

)

et由于零输入响应和零状态响应可看成全响应在初始值为零或稳态值为零时的特例因此，任何形式的一阶电路的零输入响应、阶跃零状态响应和阶跃全响应可归纳为f(t)=f()

＋[f(0)

－f()]et51f(t)=f()

＋[f(0)

－f()]etf(0)

、

f()

和

是确定任何一个一阶电路阶跃响应的三要素。f()f()f(0)待求响应待求响应的初始值待求响应的稳态值电路的时间常数f(t)=f()

＋[f(0)

－f()]et三要素法52的求法用除源等效法将换路后电路中的电源除去求出从储能元件（C或L）两端看进去的等效电阻R

f(0)、f()的求法见2.3

=LR

=RC或53

［例2.6.1］在图示电路中，换路前开关S

闭合在a端，电路已稳定。换路后将S合到b端。试求响应i1、i2和i3

。

R1＋－uC＋－USC

i2

Sa

b

R048V2

6

R21.6

25F

R34

i3

i1

54

［解］（1）初始值由换路前电路==16V42＋6＋448VuC

(0

)=R3R