飞行管理问题论文

飞行管理问题解决方案摘要根据本文问题可知，飞机如果要避免在区域内发生碰撞，需要调整各自的飞行角，并强调要使调整幅度尽量小，所以这是个最优控制问题。针对该问题，首先本文运用整体规划的思想，建立了非线性规划模型，以飞机飞行方向角调整的幅度最小为目标函数，以任意两架飞机的距离大于8公里、飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度、进入该区域的飞机在到达区域边缘时与区域内飞机的距离在60公里以上等为约束条件，通过Lingo编程求解，得到飞机方向角的调整方案，然后对得到的结果进行检验，不满足约束条件时继续调整，直到各架飞机在限定区域内飞行时不会发生碰撞。最后我们考虑模型的评价和推广，指出了模型存在的优点，缺点以及模型改进的方向。关键词：非线性规划；目标函数；约束条件；LINGO问题重述在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。以避免碰撞。现假定条件如下：1） 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里2） 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度3） 所有飞机飞行速度均为每小时800公里4） 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上5） 最多需考虑6架飞机6） 不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）。要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的坐标为（0,0）,（160,0）,（160,160）,（0,160）记录数据为：飞机编号横坐标X纵坐标Y方向角（度）1150140243285852363150155220.54145501595130150230新进入0052注：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。问题分析本文要求分析高空某边长为160公里的正方形区域内，有若干架飞机作水平飞行，当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘，能否相撞的问题以及如果相撞，如何最小程度地调整各飞机方向角的问题。本问题中的解决目标为在飞机飞行方向角调整的幅度尽量小的前提下使得各飞机不发生碰撞，而要避免飞机相撞有许多的约束条件。针对该问题，本文拟采用整数规划的思想，建立非线性规划模型。以飞机飞行方向角调整的幅度尽量小为目标函数，以任意两架飞机的距离大于8公里、飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度、进入该区域的飞机在到达区域边缘时与区域内飞机的距离在60公里以上等为约束条件。通过Lingo编程求解，得到飞机方向角的调整方案。问题假设假设只考虑边长为160公里的正方形区域内飞机的飞行状况。假设各飞机作水平飞行，无垂直方向的运动。3假设各飞机飞行以相同的速度匀速飞行。4.假设各飞机的飞行方向角可任意改变。四■符号说明xi0第i架飞机的初始位置横坐标yi0第i架飞机的初始位置纵坐标0i0第i架飞机的初始方向角di第i架飞机方位角的改变量u飞机的飞行速度，800公里每小时t飞机的飞行时间cij第i架飞机与第j架飞机的距离模型的建立与求解5.1模型的准备非线性规划模型：如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。非线性规划问题的一般形式为：minf3)s.th(x)<0,j=1,...,qgj(x)=0,i=1,…,p其中x=[xi%…x"称为模型(NP)的决策变量，f称为为目标函数，g(i=1,・・・,p)和七(j=，•••,q)成为约束函数。另外，g(x)=0(i=1,・..,p)称为等式约束，hf(x)<0(j=1,…,q)称为不等式的约束。5.2模型的建立在本文中，针对问题建立一个非线性规划模型。TOC\o"1-5"\h\z设(x,y,0)为第i架飞机的初始位置坐标，初始角；d为第i架飞机方位角i0i0i0 i的改变量，则调整后的方位角为：0.=0.+di=1,2,...,6 (1)两架飞机的相对速度方向为：(u(cosO.-cos0,),u(sinO.,sin0,))在，时刻的相对位置为(x—x+ur(cos0—cos0),y—y+ur(sin0,sin0)) (2)i0 j0 i j i0 j0 ij令ut=l，则有：c(0,0,l)=(x—x+ut(cos0—cos0))2+(y—y+ut(sin0,sin0))2 (3)ijiji0j0 ij i0 j0 ij因此，飞行管理问题归纳为min26d2i=1(4)st'c(0,0,l)>64 1<i,j<6,i丰j(4)stijij\d\<30 i=1,2,...,6其中0.的表达式由(1)给出,.(O.,0.,l)由(3)给出。该问题是一个非线性规划问题，但(4)约束条件中含有参数l，根据题意可知其范围为0<l<160克，这实际是一个参数规划或半穷规划问题。5.3模型的求解将参数l离散化可得:min寸d2i=1(5)E(0,9.」k)>64 1<i,j<6,i^j,k=1,2,…，r(5)SVKI<30 i=1,2,...,6对于飞行管理问题，通过分析，可以确定r，匕的值。当第i架飞机与第j架飞机在飞行中达到最近距离时，其参数1^为：(x一x)(cos9-cos9)+(y-y)(sin9,sin9)1=—i0 j i j i0 j i j- (6)ij (cos9-cos9)2+(sin9,sin9)2i j ij根据抛物线方程有关知识，开口向上的图形在顶点处取得最小值，本题中只要七的最小值大于64,图形上其他的点边都大于64。当9,=9,0时，任意两架飞机达到最近时的参数值如表1所示：表1初始状态下任意两架飞机达到最近时的参数飞机编号23456199.794359.40028108.39205995.2211499.206882-230.07332-23.80028461.44570-98.0408836.97809941.30219-30.374764100.3696764.50830586.59373经验证，当参数1=108.392059时，第1架飞机与第4架飞机之间的距离小于8公里；当参数1=99.20688时，第1架飞机与第6架飞机之间的距离小于8公里。因此，选择r=2,〈=108.392059,匕=99.20688。求解非线性规划问题(5)，编写LINGO程序(见附录一)，求解部分结果如下：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue: 6.595993Totalsolveriterations:8VariableValueReducedCostD(1)1.8126870.9026636E-07D(2)0.7072742E-080.1414548ED(3)-0.5526004E-08-0.1105201E-07D(4)1.8193850.00000D(5)-0.2560630E-070.000000D(6)0.4068723E-070.8137445E-07艮口d=1.812687,d=1.819385,d=d=d=d=0然后用式（1）调整1 4 2 3 5 69.（i=1,2,・..,6）。5.4模型的检验检验调整后9是否满足参数规划问题（5）的约束条件。经验证，当I=96.44293i时，第1架飞机与第5架飞机之间的距离小于8公里。因此，需要继续进行调整。此时，取r=3,l1=96.44293,12=99.20688,〈=108.392059,，用LINGO软件继续求解（程序见附录二），部分计算结果如下：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue: 6.963254Totalsolveriterations: 19VariableValueReducedCostD(1)1.569495-0.3544591E-07D(2)-0.1407321E-08-0.2814641E-08D(3)-0.2071138E-07-0.4142276E-07D(4)2.0614310.000000D(5)-0.50043770.000000D(6)-0.3928374E-07-0.7856748E-07再用式（1）调整9，经验证，所有飞机满足约束优化问题（5）的约束条件。i由此得到最后结论:第1架飞机的方位角调整1.57度，第4架飞机的方位调整2.06度，第5架飞机的方位调整-0.50度，其他飞机不用调整。模型的评价与推广6.1模型的优点本模型成功解决了飞行管理问题，建立了较为满意的模型，并对模型进行了验证，可信度较高。本文通过利用数学工具，通过Ling。编程的方法，严格的对模型求解，具有科学性。本文建立的模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。6.2模型缺点模型是在理想条件下进行的，不考虑天气、风向等因素的影响因此可能与实际情况有一定差距由于在计算过程中题目给的飞机飞行速度为800公里每小时，而现实中不可能每架飞机在每一时刻的速度都为800公里每小时，所以使得模型计算的结果与实际有所差别。在这个模型中我们没有考虑飞机接受命令到执行命令之间的时间，事实上这段时间是存在且不可忽略的。在实际的飞机航行中，改变飞行角度后，飞机便离开了原航线，在以后的飞行中是要矫正过来的，但是在我们的模型中这个问题并没有列入考虑范围。6.3模型推广总体来说这个模型比较简单易懂，符合一般的调整需要，对飞机的数量也是可以随意做调整的，但是模型需要强大的实时数据支持。参考文献薛毅，《数学建模基础》，北京：科学出版社，2011。朱道元，《数学建模精品案例》，南京：东南大学出版社，1999。程极泰，《最优设计的数学方法》，北京：国防工业出版社，1994。姜启源，谢金星，叶俊，《数学模型》，北京：高等教育出版社，2003。曹华林，汤志高，金平，《Lingo在飞行管理中的应用》，科技信息（科学教研），2007年17期。附录附录一：model:sets:num/1..6/:x,y,t,d;break/1..2/:l;NXN(num,num)|&1#lt#&2:c;NXNXB(NXN,break);endsetsdata:x=0,150,85,150,145,130;y=0,140,85,155,50,150;0=52,243,236,220.5,159,230;pi=3.1415926;l=99.20688108.392059;enddatamin=@sum(num:d"2);@for(NXNXB(i,j,k):(x(i)-x(j)+l(k)*(@cos((0(i)+d(i))*pi/180)-@cos((0(j)+d(j))*pi/180)))”2+(y(i)-y(j)+l(k)*(@sin((0(i)+d(i))*pi/180)-@sin((0(j)+d(j))*pi/180)))"2>=64.1);@for(num:@free(d);@bnd(-30,d,30));附录二：model:sets:num/1..6/:x,y,t,d;break/1..3/:l;NXN(num,num)|&1#lt#&2:c;NXNXB(NXN,break);endsetsdata:x=0,150,85,150,145,130;y=0,140,85,155,50,150;0=52,243,236,220.5,159,230