北京市2022届高三3月月考数学试卷(含详解)

北京一六一中学2022届高三年级月考试题数学试卷

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目的要求.

2

1在复平面内’复数不对应的点与原点的距离是

A.1B.72C.2D.2加

已知集合「={》€用1<%<3},Q={XGRX2

2刘,,则pn他Q)=()

A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.[L2]

2222

3.日知0v8〈仙1双曲纬C,"'=1与工=1的()

4sin20cos20cos~0sin~0

A.实轴长相等B.离心率相等c.焦点相同D.渐近线相同

函数/（%）=而2左一；是（）

4.

A.周期为万的偶函数B.周期为乃的奇函数

C.周期为2%的偶函数D.周期为2%的奇函数

5.把函数y=2、的图象向右平移f个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=、，贝h的值为

A.—B.log23C.log32D.也

6.已知x<-l,那么在下列不等式中，不成立的是

A.x2-1>0B.x+—<-2C.sinx-x>0D.cosx+x>0

x

7.设｛《,｝是首项为正数的等比数列，公比为4,则“q<0”是“对任意的正整数〃,4,1+。2”<0"

的

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,聘一个球放在容器口，再向容器内注

水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则该球的半径为（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

1,17

9.已知P为抛物线y=5一上的动点，点P在x轴上的射影为〃，点A的坐标是（6,彳），则

+的最小值是（）

A.8B.—C.1()D.—

22

r4-1

10.已知函数满足/(—x)=2—/(x),若函数y=——与y=/(x)图像的交点为

X

m

（x,M）,（%,%），…，（X,"，X”），则Z（x，+y）=

/=1

A.0B.mC.2mD.4m

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.

11.a,£是两个平面，m,"是两条直线，则下列命题正确的是.①如果m_L〃，m±a,

n//J3,那么a_L£：②如果〃z_La,n!la.那么〃?_L〃；③如果〃//a,〃?ua,那么〃〃/“；④如

果〃z_La,mL/3,那么a//〃.

12.若（l+x）"=1++43?H----FX",且弓：.2=1：3,则”=.

13.设当尤=。时，函数/（x）=J5sinx-3cosx取得最大值，则cos8=.

14.若a,b,-2这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，请写出满足题意的

一组b的值__________.

15.过点尸（1,6）作圆/+y2=1的两条切线，切点分别为A,8,则丽.而=.

三、解答题：共6小题，共85分.解答题写出文字说明.证明过程或演算步骤.

16.若存在△/SC

同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题:

口1口求4的大小；

口2口求cosB和4的值.

条件①：sinC=之亚：

14

条件②：b—a=l；

条件③：bcosA^--；

2

7

条件④：a=—c.

3

17.人民日报客户端2020年6月23日消息，由国际组织“70P500”编制新一期全球超级计算机500强榜

单6月23日揭晓榜单显示，在全球浮点运算性能最强的500台超级计算机中，中国部署的超级计算机数量

继续位列全球第一，达到226台，占总体份额超过45%；“神威•太湖之光”和“天河二号”分列榜单第四、第

五位.超算，即超级计算或高性能计算，是计算机界“皇冠上的明珠“，也被视为科技突破的“发动机'’.在目前

最需要突破的研究领域——C。以。一19新型冠状病毒的防治中，超算正在发挥力量.为了了解国产品牌处

理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：(数值越小，速度

越快，单位是MIPS)

测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试

123456789101112

品牌

3691041121746614

A

品牌

2854258155121021

B

口1口从品牌N的12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；

口2口在12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌/的测试结果大于品牌8的测试结果的次数，求X的分

布列和数学期望E(X)；

口3口经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件.请你

依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.

18.如图，在直三棱柱ABC-中，NB4C=90°,AB=AC=AA]=2,E8C中点.

口1口求证：平面々BCG_L平面AEG；

口21求直线/C与平面AEG所成角的正弦值;

口3口若线段AB上存在一点满足与M_LC；E,试确定M位置，并说明理由.

19.已知椭圆C：部+〃=l（a>b>0）的四个顶点恰好是边长为2,一内角为60。的菱形的四个顶点.

口L求椭圆C的方程及其离心率;

口2口若“、8为椭圆C上关于原点对称的两点，试问：在直线/：x+y-3=0上是否存在点P,使得

△4BP为等边三角形,若存在，求出点尸坐标；若不存在，说明理由.

20.已知函数/（x）=

%—1

口1口当a=l时，求曲线/（力在（O,7（O））处的切线方程；

口2口求函数“X）的单调区间；

口3口当〃>0时，写出方程/（力=左（攵eH）的解的个数.（只需写出结论）

21.如图，设Z是由〃X”个实数组成的〃行〃列的数表，其中劭①/勺，2,3,〃）表示位于第i行第

/列的实数，且劭e{1,一1}.记S（〃，〃）为所有这样的数表构成的集合.对于n）,记力（/）为4的第

nn

，•行各数之积，为/的第/列各数之积.令/（A）=»；（A）+»：/（A）

i=l；=1

aw。12Cl\n

(12\。22。2〃

an\斯2

(□)请写出一个/eS(4,4),使得(4)=0；

(□)是否存在4eS(9,9),使得/是)=0?说明理由;

(□)给定正整数〃，对于所有的NeS(〃，〃),求/(⑷的取值集合.

北京一六一中学2022届高三年级月考试题数学试卷

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目的要求.

2

1.在复平面内，复数一对应的点与原点的距离是

1+i

A.1B.72C.2D.2拉

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】币=而派与=.对应的点与原点的距离是-

故选：B

2.已知集合尸={xeR|l〈x<3},2=/?|x2>4),贝()

A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.[1,2]

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】先求解集合。中的不等式，结合集合的交集、补集运算，即得解

【详解】由题意，2={xeR|，N4}={x|xN2或x?2}

故金。={x]-2<x<2}

则Pn(aQ)={x|l4x<2}=[l,2)

故选：C

2222

3.已知0<。〈工，则双曲线C1：—---->=1与。2：T------1=1的()

4sin?。cos?。cos2^sin?。

A.实轴长相等B.离心率相等C.焦点相同D.渐近线相同

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据G，c2的方程，分别求出实轴长、离心率、焦点、渐近线方程，对四个选项一一验证.

TT

【详解】因为0<。（生，所以sin（9<cose.

4

对于A：G的实轴长为2sin。，C2的实轴长为28s0故A错误；

c1C1

对于B：G的离心率为一=——，a的离心率为一=——.故B错误；

asin0acos®

对于c：G的焦点在x轴上，G的焦点在v轴上•故c错误；

cos0

对于D：G，的渐近线方程为了=土上.故D正确.

sin。

故选：D

4,函数/（x）=sin2x-；是（）

A.周期为）偶函数B.周期为万的奇函数

C.周期为2%的偶函数D.周期为2乃的奇函数

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用降事公式化简函数解析式，再根据余弦函数的图像与性质即可逐项分析求解.

……\l-cos2x11、

【详解】f（X）=-----------=—cos2x,

故/（x）的最小正周期为n，为偶函数.

故选：A.

5.把函数y=2'的图象向右平移，个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=、，贝丫的值为

A.gB.log23C.log,2D.&

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】

先将函数按题意平移得到y=2i,再由题中条件得到2'=3,进而可得出结果.

2X

【详解】函数y=2,的图象向右平移，个单位长度，得：y=2i=上，

-2,

所以，2'=3,得：?=log23.

故选B

【点睛】本题主要考查函数的平移以及对数的运算，熟记函数平移的法则以及对数的定义即可，属于基础

题型.

6.已知x<-l,那么在下列不等式中，不成立的是

A.尤2_]>0B.x+-<-2C.sinx—x>0D.cosx+x>0

x

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可

得出结论.

2

【详解】Qx<-1,则/一l=(x—l)(x+l)>0,X+J_+2=」+2X+1=(X+1)<0，

XXX

Xvsinxcosxe[—1,1],/.sinx—x>0>cosx+x<0.

可得：ABC成立，D不成立.

故选：D.

【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应

用，考查推理能力，属于中等题.

7.设｛%｝是首项为正数的等比数列,公比为4,则“q<0”是“对任意的正整数〃<0”

的

A充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【7题答案】

【答案】C

【解析】

[详解]试题分析：由题意得，4,1+02”<0Oq(/“-2+q2"T)<()0q2(e>(q+1)<()=g(—8,-1),

故是必要不充分条件，故选C.

【考点】充要关系

【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：

□定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合，例如“plq”为真，则p是q的

充分条件.

口等价法：利用plq与非q」非p,qnp与非p□非q,pDq与非q非p的等价关系，对于条件或结论是否

定式的命题，一般运用等价法.

口集合法：若AOB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若人=8,则A是B的充要条件.

8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注

水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则该球的半径为（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】作出球的正视图，根据已知条件构造直角三角形，列关于球半径火的方程求解即可.

【详解】如图为球的一个正视图，力8长度等于正方体棱长，中点为则M8=4,

球面恰好接触水面时测得水深为6cm,

.•.A/D=8-6=2cm,

设球的半径为R,则CM=R—2,CB=R,

...在RtABCW中，/?2=(/?-2)2+42,解得R=5.

故选：A.

1,17

9.已知尸为抛物线y=a/上的动点，点P在x轴上的射影为〃，点A的坐标是(6,彳)，则

|削+归闸的最小值是()

A.8B.—C.10D.—

22

【9题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】依题意可知焦点F(0,J),准线为y=-J,延长PM交准线于H点

则|PF|=|PH|,|PM|=|PH|-J,|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-y,即求|PF|+|PA|的最小值.

IK7j

因为|PF|+|PA闫FA|,又|FA|=’62+(了-5)2=10.

119

所以|PM|+|PA|*0—-=y.故选B.

r4-1

10.已知函数满足/(—x)=2—/(X),若函数y=±_与y=/(x)图像的交点为

X

m

UPy),(%，％)，…，a”，)，则£(%+》)=

I=I

A.0B.mC.2mD.4m

【10题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：由题意得，函数/(x)(xe&和/(-x)=2—/(x)的图象都关于(0,1)对称,所以两函数的

交点也关于(0,1)对称，对于每一组对称点(七,％)和(玉,X)＞都有£+x；=0,R+y；=2.从而

m

+%)=3.2=加.故选B.

/=12

考点：函数性质.

【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题，考生的易错点是不明确本题要考

察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性(中心对称)，确定两个函数的交点也是关于(0,1)

对称，最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性，但不是从奇偶性的角度进行考查，从而提高了考试的

难度.

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.

11.a，£是两个平面，m,〃是两条直线，则下列命题正确的是.①如果m_L〃，m±a,

nl1/3,那么a_L〃；②如果m_Le,ntla,那么加_L"；③如果〃//a,mua,那么〃〃/〃；④如

果加_L&,mA.j3,那么a//〃.

【11题答案】

【答案】②④

【解析】

【分析】对于①：a、4可能相交，也可能平行，即可判断；

对于②：根据线面垂直的性质可以证明；

对于③：mHn或m、"异面，即可判断；

对于④：根据线面垂直的性质可以证明.

【详解】对于①：如果m_L〃，mLa,那么〃//a或〃ua.因为〃//月，那么a、尸可能相交，也可能

平行.故①错误.

对于②：如果〃//a,所以过〃的平面/ca=/,〃/〃.因为加_La根据线面垂直的性质可得加_L/,所

以相，〃.故②正确；

对于③：如果〃//a,mua,那么机、〃没有公共点，所以加〃〃或加、〃异面.故③错误；

对于④：如果加_La,m±/?,根据线面垂直的性质可得：a//〃.故④正确.

故答案为：②④

12.若(l+x)"=1+卬%+。2%2+qx3H-l-xn,("eN"),且q:%=1：3,则“=.

【12题答案】

【答案】7

【解析】

【详解】因为(1+x)"=1+qx+&x?+qV+..eN),

q=C:,4=C>

z~«lcj

由％:%=1：3,可得—7=-----=----=-.解得n=7

一C：n(n-l)n-\3

13.设当x=9时，函数〃x)=J^sinx-3cosx取得最大值，则cos<9=.

【13题答案】

【答案】—立

2

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，根据三角函数性质求出仇于是可求cos。

【详解】/(x)=V3(sinx-V3COSX)=2括sin[-3),

则/⑻=2瓜电-1)=2后，

驰e—2=±+2k兀=e=Z+2k兀,kwZ.

326

05万G

62

故答案为：-巫.

2

14.若a,b,-2这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，请写出满足题意的

一组。，6的值.

【14题答案】

【答案】斫1,6=4.

【解析】

【分析】由a,b,-2这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列方程组，解出

服6的值.

【详解】可以取：a=\,b=4.

a,b,—2这三个数经适当排序后可成等差数列，可排为—2,a,bDQDQ-2+b=2a.

a,b,—2这三个数经适当排序后可成等比数列，可排为a,—2,6口口口口a8=(—2『.

解得：a=\,6=4.

故答案为：a=\,b=4.

15.过点PG,及作圆V+y2=i两条切线，切点分别为A,8,则丽.丽=

【15题答案】

3

【答案】-

2

【解析】

【详解】如图，连接P。，在直角三角形PAO中，04=1,幺=百，所以，tan/AP0=Y3，

3

|PA|-|P^COSAAPB=A百xg=T

三、解答题：共6小题，共85分.解答题写出文字说明.证明过程或演算步骤.

16.若存在△N8C同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解

答下列问题：

(1)求力的大小；

(2)求cosB和〃的值.

条件①：sinC=：

14

条件②：b—a=1；

条件③：bcosA^---

2

7

条件④：u=-^c.

【16〜17题答案】

【答案】（1）见解析;

(2)见解析.

【解析】

【分析】若选择①@④:

71

(1)由正弦定理可得sinA的值，结合。一。=1,可求0<A<一,即可得解A的值；

2

TT

(2)由题意可得4>c,可得0<C<一,利用同角三角函数基本关系式可求cos。的值，利用三角形内角

2

和定理，两角和的余弦公式可求cosB,进而可求sinB,利用正弦定理即可求解。的值.

若选择①③④：

57T

(1)利用正弦定理可得sinA的值，由于。cosA=-一，可得范围一<A〈不，即可求解A的值；

22

1T

(2)由题意利用大边对大角可求0<。<一，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，利用两角和的

2

余弦公式可求cosB,进而可求sinB,由于。COSA=-2,可求6的值，根据正弦定理可得

2

【小问1详解】

共有①②③、①②④、①③④、②③④四种选法，

根据条件②可知6>a,B>A,则/为锐角；根据条件③可知cos/<0,/为钝角；

故②和③不能同时选择，故仅可选①②④或①③④.

若选择①②④：

,:a=Lc,sinC=迪，由正弦定理可得sinA=4*C=且，

314c2

714

'：b-a=\,：.a<b,可得0<A<一,可得A=一.

23

若选择①③④：

-：a=-c,sinC=—.由正弦定理可得sinA=3型C=立，

314c2

,A57rA.2兀

在△AJBC中，,•*Z7cosA=—,—<A<乃，A——.

223

【小问2详解】

若选择①②④：

771

在小ABC中，—c,:.a>c,0<C<—,

32

•.•sinC=上叵，可得cosC=Jl—sin?。：/,

1414

cosB=cos［万一(A+C)］=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=——x---------x—=——,

2142147

，sinB=>/l-cos2B-，曲

7

4G.

由正弦定理可得丁丁_方,可得7b=8a,

ba

Vh—a—1,a-7■

若选择①③④：

77t

在△ABC中，・・・Q=-C,：.a>c/.o<C<—,

3f2

•.•sinC=述，可得cosC=Jl—sh?C=U,

1414

Pi□/oiio11

cosB=cos［乃一(A+C)J=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=x+—x-^-=—,

••sinB=A/1-COSB-------,

14

5

旦5

5-2-

=--5由正弦定理可得〃=丝"?=三丁=7.

VbcosA2--1

sinB5J3

-2-

14

17.人民日报客户端2020年6月23日消息，由国际组织”:TOP500”编制的新一期全球超级计算机500强榜

单6月23日揭晓榜单显示，在全球浮点运算性能最强的500台超级计算机中，中国部署的超级计算机数量

继续位列全球第一，达到226台，占总体份额超过45%；“神威・太湖之光”和“天河二号”分列榜单第四、第

五位.超算，即超级计算或高性能计算，是计算机界”皇冠上的明珠“，也被视为科技突破的“发动机在目前

最需要突破的研究领域——CO以。一19新型冠状病毒的防治中，超算正在发挥力量.为了了解国产品牌处

理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小，速度

越快，单位是MIPS）

测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试

123456789101112

品牌

3691041121746614

A

品牌2854258155121021

B

（1）从品牌/12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；

（2）在12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌4的测试结果大于品牌8的测试结果的次数，求X的分

布列和数学期望E（X）；

（3）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件.请

你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.

【1779题答案】

7

【答案】（1）—

12

（2）答案见解析.（3）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接计算；

（2）先求出各个概率，写出分布列，求出数学期望；

（3）进行数据分析，从不同的角度得到合理的结论即可.

【小问1详解】

记事件4品牌N的12次测试结果中，测试结果小于7.

一共有：3口6口4口1口4口6口6共7种情况.

7

所以P（A）=^.

【小问2详解】

在12次测试中，品牌4的测试结果大于品牌B的测试结果的次数为6.

X的所有可能取值为：0,1,2,3.

尸（X=O）=^q；P（X=1）=铲卷

11V-zj2/‘乙’

「"=2）=等吟P（X=3）=m=2

所以X的分布列为：

X0123

1991

P

H2222H

19913

数学期望为E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=-

112222112

【小问3详解】

本题答案不唯一.

结论一：品牌8处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌4处理器对含有文字与图片的文

件的打开速度快一些.

理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌/的

测试有2次打开速度比品牌B快（数值小），品牌5有4次比品牌/快，从后6次测试（打开含有文字与图片

的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌/有4次打开速度比品牌8快（数值小）.

结论二：品牌/打开文件的速度快一些.

理由如下：品牌/处理器测试结果的平均数为二92，品牌8处理器测试结果的平均数为Q7二，所以品牌/

1212

打开文件的速度快一些.

18.如图，在直三棱柱ABC-AqG中，ZBAC=90°,4?=AC=AA=2,E是BC中点.

口1口求证：平面用BCG工平面AEG；

口2口求直线/C与平面AEC,所成角的正弦值；

口3口若线段AB上存在一点满足与MJ.CE，试确定”的位置，并说明理由.

【18〜20题答案】

【答案】（1）证明见解析；

⑵

3

（3）M为靠近4的三等分点.

【解析】

【分析】（1）证明4E_L平面B/CG即可;

(2)以《原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可求直线ZC与平面AEG所成角的正弦值;

(3)利用(2)中的空间直角坐标系，根据瓦瓦•*=0即可求M的位置.

【小问1详解】

由题可知AEYBC,BBi±平面ABC,

Y/Eu平面48C,/.±AE,

又•.♦6月08。=8,平面平面4EG，，平面gBCG，平面AEG.

【小问2详解】

如图所示建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),C(O,2,O),3(2,0,0),£(1,1,0),C,(0,2,2),

则衣=(0,2,0),通=(1,1,0),西=(0,2,2),

设平面AEG的法向量为2=(x，x，zJ,

in•AE=玉+y=0

则＜取X=T则玩=(1,一1,1),

m-AC〕=2yl+2z1=0

设直线ZC与平面AEG所成角为0，

।―.1\m-AC\2J3

则sin(9=cosm-AC\==—j=—=—；

1\Jm\.-\AC\73x23

【小问3详解】

4(2,0,2),3(2,0,0),4(0,0,2)，设M(x,0,y),

则砥=(-2,0,2),BM=(x-2,0,y),

_______尤一24

BA,//BM=>------=—=>y=2-x,故M(x,0,2-x),

—22

B]M=(x-2,0,-x),C|£=(L-1,-2),

——►—►2

B、M±C]E=>B[MGE=0nx-2+2x=0=>x=—,

・・・M停o，g)为网靠近A的三等分点.

19.已知椭圆C靛十5}(a>b>Q')的四个顶点恰好是边长为2一内角为60。的菱形的四个顶点.

口y求椭圆c的方程及其离心率;

口2口若48为椭圆C上关于原点对称的两点，试问：在直线/：x+y-3=0上是否存在点尸，使得

△Z8P为等边三角形，若存在，求出点尸坐标；若不存在，说明理由.

[19-20题答案】

【答案】(1)—旦;

33

(2)存在，尸为或(0,3).

【解析】

【分析】(1)由题意通过解直角三角形即可求得。、匕值，再根据a、6、c的关系求出c即可；

(2)若△N8P是等边三角形，则尸点为力8中垂线与/的交点，分斜率为零、斜率存在且不为零、斜率不

存在三种情况讨论即可.

【小问1详解】

炉+工

•••椭圆C:=l(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60°的菱形的四个顶点,

=2cos30°=V3»b=2sin30°=1»c—y/^2»

椭圆C的方程为工+＞2=1,离心率e=£=*=Y6.

3a上3

【小问2详解】

设A&,%),则8(-玉，-%),

①当直线A8的斜率为0时.，A3的垂直平分线就是＞轴，＞轴与直线/：x+y-3=o的交点为P(0,3),

又•••|AB|=2G，\PO\=3,：.ZPAO=a)°,

：./\PAB是等边三角形，.••此时P(0,3)；

②当直线A3的斜率存在且不为0时，设A8的方程为y=丘伏工0),

2

厂2一1

+V

由，T-=,得(3/+1)1=3,

y=kx

则|AO|="后:网+3

\3k'+\

设A3的垂直平分线为丁=一,％,它与直线/：*+丁一3=0的交点记为尸(x0,%),

k

y=-x+3

x。%+9

1解得＜则|PO|

y=——xN伏-1)2

k%

•••△248为等边三角形，，应有归。|=6|49|，

代人得到第=解得"=0(舍)，k=-T,

此时直线AB的方程为＞=中垂线为、=》，

x+y—3=0(33、

\=＞P—,一.

[y=x(22；

③若48斜率不存在时，A.8为椭圆上、下顶点，坐标为(0,1)、(0,-1),

48中垂线为x轴，/与x轴交点为P(3,0),

|阳=2月"|=屈，故△形尸不是等边三角形，不满足题意.

＜33A

综上，存在点P,尸为5，彳或(°，3).

12Z)

or

20.已知函数=J.

口1口当a=l时，求曲线/(x)在(OJ(O))处的切线方程；

口2口求函数/(x)的单调区间；

口3口当a>0时，写出方程/(x)=Z(左wR)的解的个数.(只需写出结论)

【20〜22题答案】

【答案】(1)y=-2x-l

(2)答案见解析(3)当人<0或女=aea+'时，方程有一个解；当0W4<aea+i时，方程无解；当2>aea+'，

方程有两个解

【解析】

【分析】(1)先求导，代入可得/(0)=-1,/'(0)=—2,利用直线方程的点斜式即得解；

(2)求导，分。=0,。>0,a<0讨论导函数正负即得解;

(3)结合单调性，极值，边界情况得到函数简图，数形结合即得解

【小问1详解】

e\x-\)-exc'(x—2)

当a=1时,尸(x)=

/(x)=(尤-d)2

e。

又/(0)=力=-"(0)=-2

(J-1

故曲线在(0J(0))处的切线方程为y=-2x—1

【小问2详解】

/卬一(a+1)]

r")=U-1)2

若arO,令/''(x)=0,x=^^

①当a=0时，/(x)=3记

<0,又函数的定义域为{X|XN1}

所以函数/(x)的单调递减区间为(-8,1),(1,+8)

②当。＞0时:x=

a

令f(x}>O：.x>—,故/(x)的单调递增区间为(也■,+«))；

aa

令/'(x)<0x<1或1<x<"L故/(X)的单调递减区间为(-00,1),(1,—)

aa

③当a<0时，x=也■<1

a

令r(x)〉0x〈四，故/(X)的单调递增区间为(-00,—)；

aa

令/'(x)<0:.x>l或"！<x<l,故/(x)的单调递减区间为(1,+。。),("Ll)

aa

【小问3详解】

当。>()时，“X)的单调递增区间为(四,+00),单调递减区间为(—8,1),(1，四)

aa

极小值,且X—-8时，/(%)-»0,