华中科技大学2021年《量子力学》期末复习题及答案

[(r)[(r)1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：

L

cos

L

LL2

L（a求归一化常数A,（bx=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？解）由波函数的归一化条件

Ae

cos

L

Ae

cos

3L

dx

cosecosdxLL

L

dx

A2

6cosL

A2

L6sin6L

L

L

A2

L于是：

A

L(b)

A

Lsin6L

2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。证：对于定态，可令r，)r)ft)r)eiJ(

*

*

i

(r)

(r)(r)e

i[(r)(rr))]可见

与t

无关。4、波长为1.0*10-12的X射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成o角

AA的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式

2其中：hmc

可得：

602

1.215

m

。5、（知电子原子和铀原子的动能都等于试计算这些粒子的德布罗意波长。（b电子和中子的德布罗意波长都等于1,试求它们的速度和动能。解：由公式：

h2mE可以计算各粒子的德布罗意波长。（）、电子：h2mE29.1

m氢原子：

h2mE2

2.87

铀原子：

mE238

（b子：1.0

h2mE

可得

1.0

222.4m9.1

/中子：

h6.632

于是：

ˆˆ（1）；（2）；3）+；ˆˆ（1）；（2）；3）+；（4）（ˆˆˆˆˆˆi(xddE

1.67

JEV1.67

/1、出下列符哪个是厄算符，明其理由。

dd，i，dx

，

，12

()xx解：

不是，

是，

是，

不是，

是2、果F和

都是厄算符但互不对易试判断下列符中哪些是米算符ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

）i（FGGF；（6）（（78（i()

（10）

；解1（2）不是）是（）不是5）不6）7）是（）是（9）不）不是3、下列数哪些是算

ddx2

的本征数，其本征是什么①x

②e

③④⑤

sinxcosx解：x

=2

不是；

=e

，是，征值为

1.

2dx=-x，是，本征为-

3cosx=-3cosx，，本值为-

2

（

x

）

sinx

),是，本征为-1.4、证明[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0证明：[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,+[Ê,[Ô,Û]]=[Ô,ÛÊ-ÊÛ]+[Û,ÊÔ-ÔÊ]+[Ê,ÔÛ-ÛÔ]=[Ô,ÛÊ]-[Ô,ÊÛ]+ÊÔ]-[Û,ÔÊ]+[Ê,ÔÛ]-[Ê,ÛÔ]=ÔÛÊ-ÛÊÔ-ÔÊÛ+ÊÛÔ+ÛÊÔ-ÊÔÛ-ÛÔÊ+ÔÊÛ+ÊÔÛ-ÔÛÊ-ÊÛÔ+ÛÔÊ=06、设氢子处在

r,

e

r的态（

为第一尔轨道半径求①r

e2的平均；②势能的平均。r

2aLLyˆˆ2aLLyˆˆˆ解：解：r

r

r,

1

r/

r2drd

4a

r

a

dr

43!3aa

0

x

n

e

n!ne(2)Ur

7、设已在

的共同象中算符的矩阵分y

e

r

e/rsin

drd

e

e

rsindrdd

e

rdr

e别为

L

111

L

i0iii

求它们本征值和归化的本函数。最后矩阵L对角化。y解：的久期方程为L

0，，∴L的本征值0，xL的本征方程x

1011其中

a1

设为L

的本征函数2

共同表象中的矩阵

时，有

0a0aˆa0a0aˆa122

01010010

2

a，a∴

由归一化条件1a**)

a0

取a1=1/

12012

对应于L的本征值0。当

时，有

010

(a)aa

∴

a

由归一化条件a1(

*,2a*a*1

)2aa1

取a=1/2∴归一化的

2

12对应的本征。当

时，有

111122ˆˆL1111122ˆˆL1ˆ2

0a10220aa33

121212

a2()aa2a3aa3a

所以

a由归一化条件

1

(

*1

*a*11

)2aa1

1

2取a=1/2∴归一化的对应的本征由以上结果可知，从

L2和L

Z

的共同表象变到

表象的变换矩阵为1S1

121212

121212∴对角化的矩阵为

L

SL2202

22

20

00

0020按照与上同样的方法可得L

y

的本征值为

，

ˆ2i2L和ˆˆ2i2L和ˆˆy00L

的归一化的本征函数为y

22

2i从ˆˆ

Z

的共同表象变到L表象的变换矩阵为yS

i

iS

ii

利用S可L对角化yy

S

000

AAc***D.与AAc***D.与1.能量为100ev的自由电子的Broglie波长是A.1.2

A

.B.1.5.C.2.1.D.2.50.3.Compton效应证实了A.电子具有波动性.B.光具有波动性.C.光具有粒子性.D.电子具有粒子性.4.Davisson和Germer的实验证实了A电子具有波动性.B.光具有波动性C光具有粒子性.D.电子具有粒子性.(x)1

()2

分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c()

()

的几率分布为A.

c

c

.B.

c

c

+

c

.C.

+

.D

cc

+

c212112

*

.6.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限.7.波函数

、

(

c为任意常数，A.与

描写粒子的状态不同.B.

与

所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是c.C.

与

所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:.c

描写粒子的状态相同.8.几率流密度矢量的表达式为

A.

(

*

*

)B.

i

(

*

*

)

.C.

J

i

(

*

*

.D.

J(

.9.下列哪种论述不是定态的特点

A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.10.线性谐振子的能级为A.

(/2)

,3,...)

.B.

(nn,

.C.

n/2)

,(n,...)

.D.

(n

.11.线性谐振子的能量本征方程是A.

[

2

12

E

.B.

[

1dx

E

.C.

[

2

.D.

[

d2

1x2

.12.波函是平方可积函数则力学量算F为厄密算符的定义是A.

d

.B.

F

*

.C.

)

*

.D.

**

d

.13.

FG厄密算符,则A.

必为厄密算符B.

FG为厄密算符.iFGGF)为厄密算符.D.

i()为厄密算符.14.已知算符

和

,则A.和

都是厄密算符.B.

必是厄密算符.C.

必是厄密算符.D.

必是厄密算符.15.氢原子能级的特点是

.C.iFGG.C.iFGGA.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.16.对易关[,]等于xi.B.C.D.17.对易关[]于A.B.C.i.D.18.对易关[L,L]等于xzA.

i

.B.y

.C.

L

.D..y19.对易关[L,]等于xA..B.ixx

LL).D..z20.算符

和

的对易关系为

[,G]

,

、

的测不准关系A.

()

(

k4

.B.

())

k4

.C.

()(

，D.

()()

.21.已[

x

]

,则和的测不准关系是A.

(

.B.

(

)

.C.

(

)(

)

.D.

)(

)

.22.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是以本征值为对角元素的对角方阵.B.一个上三角方阵.C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.

F(0)(0)[SF(0)(0)[SS]23.Q象中

01

,其本征值是A.B.0.C.24.幺正矩阵的定义式为

.D.

.A.

.B.S

*

.C.S

D.S

*

.25.非简并定态微扰理论中n个能级的一级修正项为A.

H'

.B.

H

nn

.C.

nn

.D.

H'

.非简并定态微扰理论的适用条件

B.

.