高考数学第9章算法初步统计与统计案例第3节统计图表用样本估计总体教学案理

第三节统计图表、用样本预计整体[考纲传真]1.认识散布的意义与作用，能依据频次散布表画频次散布直方图、频次折线图、茎叶图，领会它们各自的特色

.2.

理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差

.3.

能从样本数据中提取基本的数字特色

(如均匀数、标准差)，并做出合理的解说

.4.会用样本的频次散布预计整体散布，

会用样本的基本数字特色预计整体的基本数字特色．

理解用样本预计整体的思想，会用样本预计整体的思想解决一些简单的实质问题．1．常用统计图表频次散布表的画法：极差第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；组数第二步：分组，往常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频次，列出频次散布表．频次散布直方图：反应样本频次散布的直方图．频次横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频次．组距频次散布折线图和整体密度曲线①频次散布折线图：连结频次散布直方图中各小长方形上端的中点，就获得频次散布折线图．②整体密度曲线：跟着样本容量的增添，作图时所分的组数增添，组距减小，相应的频次折线图会愈来愈靠近于一条圆滑曲线，统计中称这条圆滑曲线为整体密度曲线．茎叶图的画法：第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将各个数据的茎按大小序次排成一列；第三步：将各个数据的叶挨次写在其茎的右(左)侧．2．样本的数字特色众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．(2)中位数：把n个数据按大小次序摆列，处于最中间地点的一个数据(或最中间两个数据的均匀数)叫做这组数据的中位数．x1＋x2＋＋xn(3)均匀数：把x＝称为x1，x2，，xn这n个数的均匀数．n标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，，xn的均匀数为x，则这组数据的标准差和方差分别是s＝1x1－x2＋x2－x2xn－x2n[＋＋]；21222s＝n[(x1－x)＋(x2－x)＋＋(xn－x)]．[常用结论]1．频次散布直方图中各小矩形的面积之和为1.2．频次散布直方图与众数、中位数与均匀数的关系最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．3．若数据

x1，x2，，xn的均匀数为

x

，方差为

s2，则数据

mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，，mxn＋a的均匀数是

mx

＋a，方差为

22ms.[基础自测

]1．(思虑辨析

)判断以下结论的正误．

(正确的打“√”，错误的打“×”)均匀数、众数与中位数从不一样的角度描绘了一组数据的集中趋向．(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.( )频次散布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频次越高．茎叶图一般左边的叶按从大到小的次序写，右边的叶按从小到大的次序写，同样的数据能够只记一次．

(

)[答案]

(1)√

(2)×

(3)√

(4)×2．为评估一种农作物的栽种成效，选了

n

块地作试验田．这

n

块地的亩产量

(单位：kg)分别为x1，x2，，xn，下边给出的指标中能够用来评估这类农作物亩产量稳固程度的是( )A．x1，x2，，xn的均匀数B．x1，x2，，xn的标准差C．x1，x2，，xn的最大值D．x1，x2，，xn的中位数B[标准差反应样本数据的失散颠簸大小，应选B．]3．数据1,3,4,8的均匀数与方差分别是()A．2,2.5B．2,10.5C．4,2D．4,6.51＋3＋4＋81－42＋3－42＋4－42＋8－42D[均匀数为＝4，方差为4＝46.5.]4．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图以下图，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为()A．117B．118C．118.5D．119.5[22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，因此极差为98－56＝42，将分数从小到大摆列，中间两数为76,76，因此中位数为76，因此此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.]5．(教材改编)某校为了认识教科研工作展开状况与教师年纪之间的关系，将该校不小于35岁的

80名教师按年纪分组，分组区间为

[35,40)

，[40,45)

，[45,50)

，[50,55)

，[55,60]

，由此获得频次散布直方图如图，则这

80名教师中年纪小于

45岁的有

________人．48[由频次散布直方图可知

45岁以下的教师的频次为

5×(0.040

＋

0.080)

＝0.6，所以共有

80×0.6＝48(人).]样本的数字特色的计算与应用1．在某次丈量中，获得的

A样本数据为

81,82,82,84,84,85,86,86,86

，若

B样本数据恰巧是

A样本数据分别加

2后所得的数据，则

A，B两个样本的以下数字特色对应同样的是(

)A．众数

B．均匀数C．标准差

D．中位数C[由题意可得

A，B两组数据的众数分别是

86和

88，清除

A；B组数据的均匀数比

A组数据的均匀数大

2，清除

B；B组数据的中位数比

A组数据的中位数大

2，清除

D；A，B两组数据的标准差同样，

C正确，应选

C.]2．甲、乙两人在一次射击竞赛中各射靶

5次，两人成绩的条形统计图以下图，

则(

)甲

乙A．甲的成绩的均匀数小于乙的成绩的均匀数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差[依据条形统计图可知甲的中靶状况为4环、5环、6环、7环、8环；乙的中靶情11况为5环、5环、5环、6环、9环.x甲＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x乙＝(5×3＋6＋9)＝6，55甲的成绩的方差为4－62＋5－62＋6－62＋7－62＋8－625＝2，乙的成绩的方差为5－62×3＋6－62＋9－624环，乙的成绩的极差为45＝2.4；甲的成绩的极差为环；甲的成绩的中位数为6环，乙的成绩的中位数为5环，综上可知C正确，应选C.]3．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的均匀数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )A．1B．2C．3D．4[由题意可知1x＋y＋10＋11＋9＝10，x＋y＝20，5∴1x2＋y2＝208.2＋y－102＋1＋1]＝2，[x－105∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，即208＋2xy＝400，∴xy＝96.∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝16，∴|x－y|＝4，应选D．][规律方法]众数、中位数、均匀数、方差的意义及常用结论均匀数与方差都是重要的数字特色，是对整体的一种简洁的描绘，它们所反应的状况有侧重要的实质意义，均匀数、中位数、众数描绘其集中趋向，方差和标准差描绘颠簸大小．(2)方差的简化计算公式：

21s＝n[(

22x1＋x2＋＋

2xn)－nx

2]，或写成

2122s＝n(x1＋x2＋＋22n)－x，即方差等于原数据平方的均匀数减去均匀数的平方．茎叶图【例1】某良种培养基地正在培养一小麦新品种A，将其与原有的一个优秀品种B进行比较试验，两种小麦各样植了25亩，所得亩产量的数据(单位：千克)以下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430作出品种A与B亩产量数据的茎叶图；用茎叶图办理现有的数据，有什么长处？经过察看茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳固性进行比较，写出统计结论．[解](1)画出茎叶图以下图．因为每个品种的数据都只有25个，样本容量不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不单清楚了然地展现了数据的散布状况，便于比较，没有任何信息损失，并且能够随时记录新的数据．经过察看茎叶图能够看出：①品种A的亩产量的均匀数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产量的标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产量的稳固性较差．[规律方法]茎叶图中的两个关注点重复出现的数据要重复记录，不可以遗漏．给定两组数据的茎叶图，预计数字特色，茎上的数字由小到大摆列，一般“重心”下移者均匀数较大，数据集中者方差较小．易错警告：茎叶图中数字大小摆列不必定从小到大摆列，必定要看清楚．空气质量指数(AirQualityIndex，简称AQI)是定量描绘空气质量状况的指数，空气质量依据AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．依据该统计数据，预计此地该年AQI大于100的天数约为________．(该年为365天)以下图的茎叶图是甲、乙两位选手在某次竞赛中的竞赛得分，则以下说法正确的是( )A．甲的均匀数大于乙的均匀数B．甲的中位数大于乙的中位数C．甲的方差大于乙的方差D．甲的均匀数等于乙的中位数2(1)146(2)C[(1)该样本中AQI大于100的频数是4，频次为5，由此预计该地整年2AQI大于100的频次为，52预计此地该年AQI大于100的天数约为365×5＝146.(2)由茎叶图可知，11x甲＝×(59＋45＋32＋38＋24＋26＋11＋12＋14)＝29，x乙＝9920＋25＋27＋28＋12)＝30，s212222222×(51＋43＋30＋34＋甲＝9×(30＋16＋3＋9＋5＋3＋182221222222222＋17＋15)≈235.3，s乙＝9×(21＋13＋0＋4＋10＋5＋3＋2＋18)≈120.9，甲的中位数为26，乙的中位数为28.因此甲的方差大于乙的方差．应选C.]频次散布直方图【例2】某城市100户居民的月均匀用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频次散布直方图如图．求直方图中x的值．求月均匀用电量的众数和中位数．在月均匀用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月均匀用电量在[220,240]的用户中应抽取多少户？[解](1)(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1，解得x＝0.0075.即直方图中x的值为0.0075.220＋240(2)月均匀用电量的众数是＝230.2(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45＜0.5，(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125)×20＝0.7＞0.5，∴月均匀用电量的中位数在[220,240)内．设中位数为a，则0.45＋0.0125×(－220)＝0.5，解得＝224，即中位数为224.aa(3)月均匀用电量在[220,240]的用户有0.0125×20×100＝25(户)．同理可得月均匀用电量在[240,260)的用户有15户，月均匀用电量在[260,280)的用户有10户，月均匀用电111量在[280,300]的用户有5户，故抽取比率为25＋15＋10＋5＝5.1∴月均匀用电量在[220,240)的用户中应抽取25×5＝5(户)．[规律方法]频次、频数、样本容量的计算方法频次组距×组距＝频次．频数频数样本容量＝频次，频次＝样本容量，样本容量×频次＝频数．从某公司生产的某种产品中抽取100件，丈量这些产品的一项质量指标值，由丈量结果得以下频数散布表：质量指标[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]值分组频数62638228作出这些数据的频次散布直方图：预计这类产质量量指标值的均匀数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；依据以上抽样检查数据，可否定为该公司生产的这类产品切合“质量指标值不低于95的产品起码要占所有产品的80%”的规定？[解](1)以下图：(2)质量指标值的样本均匀数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.因此这类产质量量指标值的均匀数的预计值为100，方差的预计值为104.(3)质量指标值不低于

95的产品所占比率的预计值为

0.38＋0.22＋0.08＝0.68.

因为该预计值小于

0.8，故不可以以为该公司生产的这类产品切合“质量指标值不低于

95的产品起码要占所有产品的

80%”的规定．1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为认识旅客人数的变化规律，

提升旅行服务质量，采集并整理了2014年1月至2