因式分解教案

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.z.因式分解的常用方法一、提公因式法.a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．二、运用公式法.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法.an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．〔一〕分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从"整体〞看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从"局部〞看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式==每组之间还有公因式！=思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=原式=====练习：分解因式1、2、〔二〕分组后能直接运用公式例3、分解因式：分析：假设将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式===例4、分解因式：解：原式===注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、4、综合练习：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕四、十字相乘法.〔一〕二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进展分解。特点：〔1〕二次项系数是1；〔2〕常数项是两个数的乘积；〔3〕一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12解：=13=1×2+1×3=5用此方法进展分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式=1-1=1-6〔-1〕+〔-6〕=-7练习5、分解因式(1)(2)(3)练习6、分解因式(1)(2)(3)〔二〕二次项系数不为1的二次三项式——条件：〔1〕〔2〕〔3〕分解结果：=例7、分解因式：分析：1-23-5〔-6〕+〔-5〕=-11解：=练习7、分解因式：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔三〕二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进展分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==练习8、分解因式(1)(2)(3)〔四〕二次项系数不为1的齐次多项式例9、例10、1-2y把看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=练习9、分解因式：〔1〕〔2〕综合练习10、〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕思考：分解因式：五、主元法.例11、分解因式：5-2解法一：以为主元2-1解：原式=(-5)+(-4)=-9=1-(5y-2)=1(2y-1)=-(5y-2)+(2y-1)=-(3y-1)解法二：以为主元1-1解：原式=12=-1+2=1=2(*-1)=5-(*+2)=5(*-1)-2(*+2)=(3*-9)练习11、分解因式(1)(2)(3)(4)六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。条件：〔1〕，，〔2〕，，即：，，则例12、分解因式〔1〕〔2〕解：〔1〕应用双十字相乘法：，，∴原式=〔2〕应用双十字相乘法：，，∴原式=练习12、分解因式〔1〕〔2〕七、换元法。例13、分解因式〔1〕〔2〕解：〔1〕设2005=，则原式===〔2〕型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=设，则∴原式====练习13、分解因式〔1〕〔2〕〔3〕例14、分解因式〔1〕观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成"轴对称〞。这种多项式属于"等距离多项式〞。方法：提中间项的字母和它的次数，保存系数，然后再用换元法。解：原式==设，则∴原式=======〔2〕解：原式==设，则∴原式====练习14、〔1〕〔2〕八、添项、拆项、配方法。例15、分解因式〔1〕解法1——拆项。解法2——添项。原式=原式=========〔2〕解：原式====练习15、分解因式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕九、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=∵=∴=比照左右两边一样项的系数可得，解得∴原式=例17、〔1〕当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。〔2〕如果有两个因式为和，求的值。〔1〕分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设=