理论力学第5章

第5章

点的运动和刚体的基本运动■

点的运动■刚体的基本运动第5章点的运动和刚体的基本运动5.1点的运动点P的空间位置用矢量OP表示OP=

r

点P对于原点O的位置矢量，简称位矢当点P运动时，位矢r是时间的单值函数，此即为矢量法表示的点的运动方程.点P在运动过程中，其位置矢量的端点的连线为位矢端图，显然位矢端图就是点P的运动轨迹.1．矢量法rr´rPP´PxzyO方向:沿轨迹的切线方向.单位:m/s单位:m/s2动点P的速度矢等于它的位矢r对时间的导数5.1点的运动xzyOyxzjikrP以位置矢量的原点建立直角坐标系Oxyz，某一瞬时的位矢r可用三个直角坐标x,y,z

表示为：运动方程表示为：2．直角坐标法5.1点的运动(Oxyz)为定参考系yxzjikrxzyOv5.1点的运动这个带有正负号的弧长s称为点P的弧坐标。弧坐标要素：◆

有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点)；◆

有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；◆有相应的坐标系(自然轴系)。1)弧坐标3．弧坐标法5.1点的运动2）密切面当点P´无限接近于点P时，过这两点的切线所组成的平面，称为点P的密切面。5.1点的运动密切面的特性：◆

空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的。◆

空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。◆

曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为第二曲率。◆曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用表示。5.1点的运动s-s+PT(切线)N(主法线)3）自然轴系B(副法线)P－空间曲线上的动点；T－

过动点P的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向；N－

密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；B－

过动点P垂直于切线和主法线的直线，其正向由B＝T×N确定。tnb5.1点的运动自然轴系跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。5.1点的运动4）点的速度和加速度5.1点的运动5.1点的运动◆

弧坐标中的加速度表示◆

在自然轴系投影形式－切向加速度

(tangentialacceleration)：

表示速度矢量大小的变化率；－法向加速度(normalacceleration)：

表示速度矢量方向的变化率－表明加速度a在副法线方向没有分量；＊速度矢量v和加速度矢量a都位于密切面内。5.1点的运动

【例5-1】如图所示,半径为R的圆盘沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设圆盘在铅垂面内运动，且轮心A的速度为v0(t)。分析圆盘边缘一点M的运动，并求当点M与地面接触时的速度和加速度以及点M运动到最高处轨迹的曲率半径；讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度分布。5.1点的运动【解】(1)建立坐标系Oxy如图所示，取点M所在的一个最低位置为原点O设在任意时刻t圆盘的转角由于圆盘是纯滚动点M运动方程:5.1点的运动点M的运动方程:点M速度分量:点M的加速度分量【解】5.1点的运动因为点A作水平直线运动,轮只滚不滑

若记:在纯滚动时上式可作为公式使用【解】5.1点的运动点M的速度大小

即轮上点M的速度大小与它到点C（轮上与地面接触点）之距离成正比。【解】5.1点的运动即轮上点M的速度的方向当q=0和q=2p时，点M与地接触，此时的速度为零其加速度当点M与地接触时，其加速度的大小不等于零，方向垂直于地面向上。此为绝对切向加速度，因此时速度为零，故其法向加速度为零。【解】5.1点的运动(2)点M的轨迹在最高点B处的曲率半径在最高点B处的速度和加速度:点M的轨迹在最高点处的切线方向为i，并且曲线向下弯曲，所以主法线方向沿-j，于是法向加速度的大小为：曲率半径：【解】5.1点的运动【讨论】若v0为常矢量，则w为常数，故点M的加速度点M的加速度方向所以此时轮缘上点M的加速度方向均指向轮心A，此时的加速度既非切向加速度，也非法向加速度。不过请注意，若v0不为常矢量，则加速度方向并不指向轮心。5.1点的运动5.2刚体的基本运动●平移●

定轴转动5.2刚体的基本运动刚体在运动过程中，其上任一条直线始终与其初始位置保持平行，这种运动称为平移。平行5.2.1平移速度和加速度由于矢量BA是常矢量，因此有刚体平移的特点5.2刚体的基本运动由于点A和B

是任意选取的，此我们可以得到如下的结论：1）刚体上各点的轨迹形状相同；2）同一瞬时，刚体上各点的速度相同，加速度相同。1、平移刚体的运动学问题，可归结为点的运动学来处理，即刚体上任何一点的运动，就可代表刚体上其它各点的运动。2、通常可研究平移刚体与其他物体的连接点。5.2刚体的基本运动5.2.2定轴转动5.2刚体的基本运动1．定轴转动刚体上各点的速度和加速度刚体在运动过程中，其上有且只有一条直线始终固定不动时，称刚体绕定轴转动，该固定直线称为轴线或转轴

。用右手螺旋定则来确定转角的正负号从轴z的正向往负向看去，逆时针转向为正，反之为负。角速度:在工程中，可以用转速n来表示角速度:角加速度5.2刚体的基本运动3)加速度切向加速度法向加速度1)自然坐标系下定轴转动刚体上点的运动方程.2)速度5.2刚体的基本运动2、轮系传动比内齿轮啮合定义传动比为轮1和轮2的角速度之比:齿数的计算:5.2刚体的基本运动外啮合齿轮5.2刚体的基本运动传动比显然,当,:被动齿轮的角速度增大，加速旋转；当,:被动齿轮的角速度减小，减速旋转；5.2刚体的基本运动3．速度和加速度的矢量表示5.2刚体的基本运动5.2刚体的基本运动5.2刚体的基本运动考察三维定轴转动刚体泊松公式(Poissonformula)设动系Oxyz绕z轴转动，角速度为，基矢量为(i,j,k)5.2刚体的基本运动如果将基矢量(i,j,k)视为动系O

xyz中的矢径，根据速度矢量的定义，基矢量对时间的一阶导数就是基矢量端点轨迹上各点(例如P1，

P2，P3点)的速度矢量。

【例5-2】如图所示，长为a，宽为b的矩形平板ABDE悬挂在两根等长为l，且相互平行的直杆上。板与杆之间用铰链A，B连接。二杆又分别用铰链O1，O2与固定的水平平面连接。已知杆O1A的角速度与角加速度分别为w和a。求板中心点C的运动轨迹、速度和加速度。5.2刚体的基本运动【解】杆与板的运动形式：二杆作定轴转动板作平移点C与点A的轨迹形状、在图示瞬时的速度与加速度均相同。5.2刚体的基本运动点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。请判断点的运动性质：(A)越跑越快；(C)加速度越来越大；(D)