第6讲 几何图形为背景的面积与面积比问题-冲刺2022年中考数学压轴题（上海）解析版

第6讲几何图形为背景的面积与面积比问题

-(2022奉贤一模25题解法分析＋经典变式练）

本节压轴题解题的基本解题步骤

一．寻找题目中的已知量和特殊条件：

二、求解线段的长度：

三求解面积比：

l．分别表示哪些图形的面积？

2．面积比怎么求解？

方案一．分别求出两个图形的面积，再求解比值；

方案二用面积转化求解比值。

教学重难点

1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；

2．培养学生分析间题解决问题的能力；

3．让学生学会把难题分解，从而分段击破；

4．培养学生动态数学思维能力和综合能力。

例1.(2022奉贤一模25题）如图l，已知锐角LAB战勺高AD、B庌甘交千点F,延长A岛江，

使-DG=FD,联结BG,CG.

(1)求证：Bl>AC=AD•BG;

(2)如果BC=IO,设tan乙ABC=n1.

O如图2,当乙ABG=90°时，用含咱勺代数式表示丛BF咘勺面积；

＠当AB=8，且四边形BCCE是梯形时，求n的值

AA

BcB,C

Cc

图2

图1

【解答】(1)证明：．：么儿釭彴高AD、说狙交于点忙

:.乙J/HB=乙ADC=90°'

又？乙EAF＝乙DAC,

:.乙AFE＝乙ACD,

．．乙BFD＝乙AFE,

:.乙BFD=L'_ACD,

·:BD上FG,DF=fJC,

:.B唾直平分研，

:.BG=BF,

：．乙BGF＝乙BFC,

:.乙BCF＝乙ACD,

又了乙BDC＝乙ADC=90°,

:．丛BDGU)公,ADC,

.•.BD::BG,

ADAC

:.B仄AC=AD•BC;

(2)解：CD·:乙ABC=90°,

:.乙ABO+乙CBC=90°,

．．乙CB沪乙BGD=90°,

:.乙ABD＝乙B叨，

同理乙GBD＝乙BAD,

由（1)知6.BfJCu,6.ADC,

.·.乙GBD=L'_DAC,

：．乙BAD＝乙CAD,

又？AD=AD,L'_ADB＝乙ADC,

:.6.ADB竺6.ADC(ASA),

:.BD=CD=-=-1BC=5,

2

·:tan乙ABC=m.

．二tan乙BGJJ=m,

•·•GD=_5,

m

:.GF=2GD=旦，

m

111025

:.s立即严－XFCXBD=-x—X5=—;

22·m·-m

＠当B6/／从时，

:.乙ACB＝乙CBC,

．．乙CBC＝乙CAD,

:.LACB＝乙CAD=45°,

诏"r_CD=AD=x,则BD=IO-x,

由勾股定理得，x2+(10-x)2=8勹

解得x=5士石，

当x=5＋石时，BD=IO-x=5寸7,此时ll]=5寸7二竺色互，

5－石9

5－石16-5石

当x=5－折时，BD=10-x=5十石，此时In=二；

5讨9

当BE/IC副，

:.乙EBC＝乙BCG,

则乙CBC＝乙BCG,

.'.BC=CC,

.'.BD=CD=5,

由勾股定理得AD={飞了飞了2=✓百一百＝寸否，

:.,n吐2豆，

BD5

综上，In=16+5石亘吐色色互或丈亘

995

例2.(2021青浦25题）（三角形的面积比）已知：在半径为2的扇形AOB中，乙AOB=m0(O<

川~180)，点C是^AB上的一个动点，直线AC与直线0阶甘交千点D.

(1)如图1,当0<nJ<90,/::,BC,风亡等腰三角形时，求乙闲j大小（用含n的代数式表

示）;

(2)如图2,当m=90点C是^AB的中点时，联结AB,求竺世世的值；

沁ABC

(3)将---AC沿A吁斤在的直线折叠，当折叠后的圆弧与0所斤在的直线相切千点E,且OE=I

时，求线段AD的长．

4

1c

9

。B

D0

图1图2备用图

【解答】解：（1)”［肚邸线上，

:．乙OB切锐角，

占乙C祝为钝角，

则6BCD是等腰三角形时，仅有BC=B伪吝一种情况，

:.乙D＝乙BCD,

连接0颂韧!1=X=OB,

:．乙OAC＝乙仪讥，乙“D=乙OBC,

：．乙OBC＝乙仇乙BCD=2乙从

在60CD中，乙COD+-2乙D+-2乙D=l80°,

:.乙AOC＝旷－乙COD=m0+4乙I)-180°'

:.乙AOC＝上X(180°一乙AOC)

2

=180°-正＿-2LD,

2

在6AOD中，IJf＋乙OAC＋乙D=180°'

。

:.180°吐邑＿－乙JJ=180°'

2

。

:.乙D＝亚；

2

.D

图1

(2)过川乍肌f上肚埏长线千M，连接OC,

·:C';为^AB中点，

:.AC=BC,

:．乙BAC＝乙心C且AO=CO=BO,

:.LOAC＝乙OCA＝乙OCB=乙OBC,

:.LACO+乙BCO=上X(360°-90°)=135°,

2

:.乙BCD=45°,

.".45°＋乙ODA＝乙ABC＋乙AB0=45°＋乙ABC,

：．乙ABC＝乙加0＝乙BAC,

:.BD=AB＝补石（勾股定理），

.".BJl!=DJl1=2（乙耶D=乙OBA=45°,．．．队仁顷lf),

.".A.tlf=AB＋朋＝2奸＋2,

:.AN=上AB飞，

2

义？CNj_AB,叫j_AB,

:.6.ANC=6.AMJJ,

·CNAN

．．二，

DM战

s2

..·.::>t:i..ABD=AM=6＋屯；

Sb.ABCAN2

.4

(3)图2如下：

·:E为弧线AECE;与Offi,刀点，

:.A、E、C在半径为2的另一个圆上，

·.·01£=2,0£=1,

:.oo'＝石（勾股定理），

又？OA=OC=2,O'A=O'C=2,

:．四边形AOCO'是菱形，

坏C上00'且AC、0(J互相平分，

目乙O'Ot共角，

:.6O'OE(/)h.DOP,

：．』＝翌且OP=l.0(J＝五，

O'EOE22

.'.OP飞，

.'.AP＝了＝罕(Rth.APO'的勾股定理）

:.AD=AP+PD=1乔寸可．

2

-1.【2021闵行二模25题】(14分）如图，在矩形AB“中，AB=4,BC=8,点P在边BC上（点P

与端点B、C不重合），以闪3圆心，p[fjg半径作圆，圆P与射线BJJJ勺另一个交点为点E,直线

CE与射线A历5千点C．点的3线段B庄勺中点，联结Alf.设BP=x,B.4/=y.

(1)求y关千泊勺函数解析式，并写出该函数的定义域；

(2)联结AP，当AP/IC压寸，求泊勺值；

(3)如果射线ECE;与圆府勺另一个公共点为点F，当ACP厅3直角三角形时，求ACP府勺面积．

D

D

Bc

备用图

【分析】（1)先由華径定理证明冈且庞，得出AB-AfP与6.BC胱盯以，利用丛BCD.三边之间

的特殊比值求出y与x之间的函数关系式：

(2)当AP/IC职，则DG=BP=x，再用ADGE－ABC庌盯以，列出方程，求得结果；

(3)6.CPF,为直角三角形分两种情况，第一种是点仁与点叫i合，第二种是PF上BC,利用

乙EP氓勺正切值）生．这一隐含条件，即可求解．

3

【解答】解：（1)在矩形肚劝冲，CD=AB=4,乙BCD=90°,

.'.BD＝石可;}=E,fs'．凸妫弦Bh的中点，历圆心，．．．p从LBt`，乙队1P=90°'

·:ADIiBC,占乙PBM＝互DBC,．旦＝坠＝cos乙DBC,这＝兰＿，．．．过

BPBDx咕y=5x,

当点6与点A重合时，则点E为B吁，呈l.B广寸5，让过2气绰，

452

:.y关千x的函数解析式y=___2森x（一5；

54

(2)如图l，当AP//C桏寸，AC=PC,

G

图1

:.DC=BP=x.由队f＝色邑，得BE＝生互石－生区

555

·:DG/1BC．．．丛兀E0丛BCL`,

砃

硒－－－x

:．坠＝堑5=5-x...•X=5-x

BC－－一一过BE了＇4X

5X

整理，得i+4x-40=0,解得x1=-2+';J五，x2=-2-'i:J百（不符合题意

:.x=-4十五·

 (3)如图2,若乙P陀＝90°'不符合题意；

D

Bc

图2

如图3'当L.PCF=90°时，此时y＝呈石＝讨飞，心~x＝屯，

25

B

,F

图3

1

:.PC=8-5=5,CF=C庐4,:.s6!'PF=-X3X4=2;

3

如图4,当乙CPF=90°时，在BCJ边上取一点li，连接叩，

A

B

由图3得，当点µ与点吨合时，此时，加＝5,:.CH:CD:叩＝3:1:2,

了乙EPQ＝乙DHC=2乙DBC,乙O=乙DC/!=90°,

:.6EPQ(/)丛DHC,:.PQ:EQ:PE=3:5:5,

·:PE=BP=PF=-x,．二的＝土x，阅＝立x

35

·:PF!/EQ,:.6CPF气6.CQE,:旦＝堕三至，

CQEQ-2_4

一5x

:.PC＝且P(}＝呈心旦严x,...4-x＝.lx,解得x=5,

99433

:.PC=8-6=2,PF=6,:.S1:;(．产上X2X6=2.

4

综上所述，ACP励面积为6.

2.【2021年黄浦区二模】(14分）如图，A肤邑6.ABCB'0角平分线，过点小乍Alli勺垂线交边A时气点

E，垂足为点O，联结JJE.

(1)求证：DE=DC;

(2)当乙ACB=90°，且AB庞与AAB烟面积比为1:3时，求CE:Al的值；

(3)是否存在6AB哺老使CE为6AB戊lAB上的中线，且CE=A忧如果能，请用乙C儿的某个三

角比的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由．

ABAB

备用图

【分析】(1)根据已知条件证明么从店争~AOh`，可得AC=Ah'．再证明丛AC压红这儿D,即

可得结论；

(2)由6BDE与AAB组勺面积比为1:3,又6AC压立""14ED,可得ABDE、6ACD与AAE庄勺

面积均相等．证明AAC砂戎穿边三角形，根据含30度角的直角三角形即可得结论；

(3)作EFIIA!J5钮C千点F，对应边成比例，令AD=CE=8k,则OE=OC=4k,0D=2k,OA

=6k,作CH上AE千点从址明6CEf-fv,6ACO,可得g!＝gi＝旦；，再根据锐角三角形和

OAACCD

即可得结论．

【解答】解：(1)·:A圾主角平分线，．．．乙CAO=乙HAO.

又？CE1-AD,:.乙COA=乙EOA=90°.

又AO=AO,:.6A”竺6AOE(ASA).".AC=AE.

在6ACD与6AED中，飞'AC=-AE,乙CAD=乙OAD,AD=AD,

:.6ACD竺6AED(SAS),.".DE=IX:

(2)？6BDE与丛ABC的面积比为1:3,

．：丛ACD竺丛AED,:.6BDE、丛ACD与AAEalJ面积均相的．

:.BE=AE=AC,又乙ACB=90°,:．乙ABC=30°,:.LBAC=60°,

：心AC动等边二角形，．．．CE=AC.

在6ACD中，乙ACD=90°,乙CAD=上乙CAB=300,

2

··盖五，即竺』豆：

AD2AD2

(3)存在这样的三角形，

如图，作EF/／儿皮BC千点F,

A方

则ODCOlEFBE1

、=---=—,=---=—,

EFCE2ADBA2

·:AD=CE,

令AD=CE=8k，则OE=OC=1k,OD=2k,OA=6k,

在Rt丛AO吽！，根据勾股定理，得

AC三＝2洹k'.".AE=2扫k

如图，作CHJ_AE千点儿．．．乙EC}/t乙CEH=90°,

·:乙OAE立CE}!=90°,:.乙ECH=乙OAE,

·:乙OAE＝乙OAC,:.乙ECH＝乙OAC,

．．乙CHE＝乙A()C=90°,．．心C£Hc.n6ACO,:旦＝竺＝埋，

OAACCD

32五21西

:.CH=8kX-k'EH=8kX-k'

岳一—13岳一—13

16平1西

·:AH=AE-EH,:.AH=2`［了社K二，

13..13k

在Rt6AC旰，tan乙CAB~且=1].

AH5

3.【2021金山二模】（本题满分14分，第(l)题4分，第(2)CD题4分，第(2)＠题6分）

已知在心田C中，AB=AC=2✓3,L'BAC=l20°，心\DE的顶点D在边BC上，AE交

BC于点F（点F在点D的右侧），乙DAE=30°.

(l)求证：MBF=!::JJCA.

(2)若AD=ED.

s

＠联结EC,当点F是BC的黄金分割点(FC>BF)时，求一竺f....

s6FEC

＠联结BE,当DF=l时，求BE的长

A

AA

CBCBC

E

第25题图备用图

第25题图第25题圉备用图

【答案】（1)证明：·:AB=AC,:．乙B=乙C:.......................................Cl分）

·:乙BAC＋乙B＋乙C=180',乙BAC=120°,:.乙B＝乙C=30勹

·:乙DAE=3Q°,:.乙B=乙C=乙DAE;…..................(1分）

？丛DC＝笃＋笃从），纽'AF=LDAE＋纽'AD:

:.乙BAF=乙ADC:······….．．．．．．．．．．．（1分）A

.

·:乙B=乙C;

.·.MBF(./)!illCA.··············.......Cl分）c

AFBF

(2)＠解：＇，．MBF(./)!illCA,::.—=—，即

ADAC

ADAF

—=—;..................Cl分）

ACBFE

·:AD=ED,:．乙DAE＝乙DEA,:．乙DEA=乙C;

又·:LDAE=乙B,:．