线性时不变系统的多项式矩阵描述

线性时不变系统的多项式矩阵描述第一页，共二十九页，2022年，8月28日主要的数学描述输入输出描述矩阵分式描述状态空间描述系统矩阵描述第二页，共二十九页，2022年，8月28日5.1多项式矩阵描述(PMD)一多项式矩阵描述的形式多输入多输出线性定常系统：系统的多项式矩阵描述为：注：它是系统的内部描述，是最一般的描述。第三页，共二十九页，2022年，8月28日二.PMD和其他描述的关系则状态空间描述等价的PMD为：1多项式矩阵的传递函数矩阵2状态空间描述的PMD第四页，共二十九页，2022年，8月28日3.矩阵分式描述的PMD则等价的PMD为：

不可简约PMD：{P(s),Q(s)}左互质，且{P(s),R(s)}右互质不可简约PMD不唯一

{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约

U(s),V(s)为单模矩阵三.不可简约PMD第五页，共二十九页，2022年，8月28日由可简约PMD求不可简约PMD（1）{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}右互质

此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld,设为H(s),非奇异则

第六页，共二十九页，2022年，8月28日(2)P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)非右互质

P(s),R(s)有非单模的gcrd,设为F(s),必非奇异

第七页，共二十九页，2022年，8月28日（3）前两种情况的组合

P(s),Q(s)非左互质，消去其gcldH(s),得

第八页，共二十九页，2022年，8月28日5.2PMD的状态空间实现一.PMD实现的定义

给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空间描述{A,B,C,E(p)}，使注：PMD实现具有强不唯一性二.构造PMD实现的方法

以构造观测器形实现为最简便已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)},求实现第九页，共二十九页，2022年，8月28日思路：前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行（列）既约，严格真；在P(s)ζ(s)=Q(s)u(s)中，先求的实现。步骤：先把化成满足左MFD求实现的条件，即

P(s)化为行既约，严格真；第十页，共二十九页，2022年，8月28日-对求观测器形实现（利用上节方法），得必有-总之实现为第十一页，共二十九页，2022年，8月28日最小实现

当且仅当PMD为不可简约时，其维数为n=degdetP(s)的任何实现均为最小实现。[结论]

对线性时不变系统的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s)),

表而为严真的观测器形实现，则

PMD的一个实现(A,B,C,E(p))为：第十二页，共二十九页，2022年，8月28日5.3多项式矩阵描述的互质性

和状态空间描述的能控性与能观测性互质性与能控性、能观性的等价性1.给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为n=degdetP(s)=dimA的一个实现为{A,B,C,E(p)}，则

{P(s),Q(s)}左互质{A，B}能控

{P(s),R(s)}右互质{A，C}能观2.对右MFD，能控类实现:{A，B，C，E}，dimA=degdetD(s)

则：{D(s),N(s)}右互质{A,C}能观（已经能控）对左MFD，能观类实现：第十三页，共二十九页，2022年，8月28日3.对{A,B,C,E(p)},

{A，B}能控{sI-A，B}左互质

{A，C}能观{sI-A，C}右互质此即为PBH秩判据的结论。4.SISO系统{A，b，c}，则:{系统完全能控且能观}g(s)无零极点相消

{系统完全能控}adj(sI-A)b和(s)无零极对消现象{系统完全能观}cadj(sI-A)和(s)无零极对消现象第十四页，共二十九页，2022年，8月28日5.4传输零点和解耦零点一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。

同一系统，其PMD为{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，系统极点是detP(s)=0的根状态空间描述为{A,B,C,E}

系统极点是det(sI-A)=0的根以上二者是等同的。

系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函数矩阵时可能发生零极对消。

对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统的解耦零点。第十五页，共二十九页，2022年，8月28日1.输入解耦零点(inputdecouplingzero)

若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}中，P(s)、Q(s)存在非单模的gcldH(s)，即

可见，H(s)在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。

定义：detH(s)=0的根为输入解耦零点。

意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。由于所以，输入解耦零点又等于使[P(s)Q(s)]行降秩的s值。第十六页，共二十九页，2022年，8月28日2.输出解耦零点(outputdecouplingzero)

若P(s)和R(s)存在非单模的gcrdF(s)意义：输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了，即分状态不完全反映到系统输出中去。第十七页，共二十九页，2022年，8月28日3.输入输出解耦零点

若P(s)和Q(s)存在非单模的左公因子L(s),(不一定gcld)

同时P(s)和R(s)也存在非单模的右公因子L(s)

即

显然，L(s)的零点都是解耦点，并且既是i.d.z.,又是o.d.z.这样的L(s)的零点称为输入输出解耦零点，第十八页，共二十九页，2022年，8月28日注：求传递函数矩阵时，应消去P(s)与Q(s)的左公因子和P(s)和R(s)的右公因子，使传递函数矩阵的零极点不包含解耦零点。若记P和Z为传递矩阵的极点、零点，则系统的极点Ps和零点Zs分别为传递矩阵的零极点输入输出第十九页，共二十九页，2022年，8月28日5.5系统矩阵和严格系统等价一系统矩阵的概念PMD的系统矩阵定义为：1系统矩阵的定义状态空间描述的系统矩阵：第二十页，共二十九页，2022年，8月28日线性定常系统右MFD的系统矩阵定义为：MFD的系统矩阵：左MFD的系统矩阵为：第二十一页，共二十九页，2022年，8月28日2判断PMD的不可简约性3PMD的极点和零点若PMD不可简约，则：

PMD的极点=使S(s)左上方m×m块矩阵降秩s值

PMD的传输零点=使S(s)降秩s值4PMD的解耦零点若PMD可简约，则：

PMD的输入解耦零点=使S(s)的前m行降秩s值

PMD的输出解耦零点=使S(s)的前m列降秩s值第二十二页，共二十九页，2022年，8月28日二增广系统矩阵的概念PMD的增广系统矩阵定义为：1增广系统矩阵的定义其中：β为正整数且可按需要任取。第二十三页，共二十九页，2022年，8月28日不可简约性相同2系统矩阵和增广系统矩阵的等价性互质性相同极点和传输零点相同第二十四页，共二十九页，2022年，8月28日解耦零点相同传递函数矩阵相同分母矩阵行列式相同第二十五页，共二十九页，2022年，8月28日三严格系统等价的概念

称系统矩阵和是严格系统等价的，当且仅当存在m×m的单模阵U(s)和V(s)，以及q×m和m×p的多项式矩阵X(s)和Y(s)，使成立：1严格系统等价的定义第二十六页，共二十九页，2022年，8月28日[结论1]和严格系统等价时，满足：2严格系统等价的性质

和具有相同的不变多项式

和具有相同的传递函数阵第二十七页，共二十九页，2022年，8月28日[结论2]两个状态空间描述是代数等价的，当且仅当它们的系统矩阵是严格等价的。[结论3]系统的各种结构特性，如左互质和右互质、能控性和能观性等，在严格等价变换下是不变的。第二十八页，共二十九页，2022年，8月28日[结论4]传递函数矩阵G(s)的所有不可简