理论力学-14.达朗贝尔原理

本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而依据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。动力学达朗伯原理(动静法)1§10–1质点的达朗伯原理§10–2质点系的达朗伯原理§10–3刚体惯性力系的简化§10–4定轴转动刚体的轴承动反力

静平衡与动平衡的概念达朗伯原理的应用举例第十章达朗伯原理§10-1质点的达朗伯原理人用手推车动力学力是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。

定义：质点惯性力加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。一、惯性力的概念

3动力学[注]质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施力体反作用力的合力。4动力学

非自由质点M，质量m，受主动力，约束反力，合力质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理5动力学该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有变更动力学问题的实质。接受动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学供应的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。6动力学

例1列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度。7动力学选单摆的摆锤为探讨对象虚加惯性力

角随着加速度的变化而变化，当不变时，角也不变。只要测出

角，就能知道列车的加速度。摆式加速计的原理。解：由动静法,有解得8例2质量为m的物块A，沿半径为R的光滑圆形轨道从最高点无初速滑下，求在图示位置轨道对物块A的约束力。解：视物块A为质点，受力分析，运动分析。

切向惯性力法向惯性力将惯性力假想地加在质点上

列静力学平衡方程动力学§10-2质点系的达朗伯原理

对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：

设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有注意到 ,将质点系受力按内力、外力划分,则11动力学

表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。质点系惯性力系的主矢量和主矩分别为：12动力学对平面随意力系：对于空间随意力系：实际应用时,同静力学一样随意选取探讨对象,列平衡方程求解。用动静法求解动力学问题时，13例2已知重物A，重物B的重量，定滑轮C重量，细绳绕过定滑轮与重物A、B相连。不计，斜面倾角为各处摩擦不计，求重物A下降的加速度及轴O的约束力。解：重物A、重物B作加速运动，惯性力由静力学平衡方程

动力学

§10-3刚体惯性力系的简化

简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力和一个惯性力偶。

无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。15动力学一、刚体作平动向质心C简化：刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。翻页请看动画16动力学17动力学空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：主矢：主矩：二、定轴转动刚体先探讨具有垂直于转轴的质量对称平面的简洁状况。O直线i:平动，过Mi点，18动力学向O点简化：向质点C点简化：作用在C点作用在O点19动力学探讨：①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C。20动力学探讨：②转轴过质点C，但0，惯性力偶（与反向）21动力学探讨：③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则（主矢、主矩均为零）22动力学

假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动：三、刚体作平面运动 作用于质心23动力学24动力学

对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：实质上：质点系达朗伯原理的平衡方程事实上是动量定理和以固定点为矩心的动量矩定理的另一形式。对于具有质量对称平面的刚体，且刚体在平行于质量对称面的平面上运动的状况，达朗伯原理的平衡方程事实上是刚体平面运动微分方程的另一形式。25动力学依据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以随意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就便利得多。§10-3

达朗伯原理的应用26动力学①选取探讨对象。原则与静力学相同。②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，确定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。27动力学

⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。

⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。

⑦求解求知量。

[注]的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。28动力学[例1]均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位置静止落下。求起先落下时杆AB的角加速度及支座A的约束力。选杆AB为探讨对象虚加惯性力系：解：依据动静法，有29动力学30动力学用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：解：选AB为探讨对象由得：由质心运动定理：31动力学

[例2]牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M之最大值。取轮为探讨对象虚加惯性力系：解：由动静法，得：OO32动力学由(1)得由(2)得N=P+S，要保证车轮不滑动，必需F<fN=f(P+S)(5)

可见，f越大越不易滑动。

Mmax的值为上式右端的值。把(5)代入(4)得：O33动力学

[例3]质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。取系统为探讨对象解：方法1用达朗伯原理求解34动力学虚加惯性力和惯性力偶：由动静法：列补充方程： 代入上式得：35动力学方法2用动量矩定理求解依据动量矩定理：取系统为探讨对象36动力学取系统为探讨对象，任一瞬时系统的两边除以dt，并求导数，得方法3用动能定理求解37

例4机构在水平面内运动，轮A半径为r，曲柄OA长为3r。轮A与曲柄OA都是均质的，质量同为m。轮A在圆形轮道上作纯滚动。机构由静止开始运动。求该瞬时轮A与轨道间的摩擦力，轮A的角加速度。

解：1、取曲柄OA为探讨对象杆质心的加速度为杆OA的惯性力为

杆OA的惯性力偶为

列平衡方程

2、取轮为探讨对象。轮作平面运动，由静止起先运动轮心A的加速度

轮的角速度

轮的惯性力轮的惯性力偶

列平衡方程求解未知量

动力学§10-4定轴转动刚体的轴承动反力

静平衡与动平衡的概念

一、刚体的轴承动反力刚体的角速度，角加速度（逆时针）主动力系向O点简化:主矢,主矩惯性力系向O点简化:主矢,主矩41动力学42动力学依据动静法：其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l,OA=l1,OB=l2可得43动力学由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消退，称为静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消退。使附加动反力为零，须有静反力附加动反力动反力44动力学当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。对z轴惯性积为零，z轴为刚体在O点的惯性主轴；过质心45动力学

静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。

动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。二、静平衡与动平衡的概念46动力学[例1]质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种状况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡：(b)、(d)动平衡：(a)47动力学动平衡的刚体，确定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不确定是动平衡的。[例2]两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？(a)绳子上加力G(b)绳子上挂一重G的物体OO48课堂练习动力学1.物体系统由质量均为m的两物块A和B组成，放在光滑水平面上，物体A上作用一水平力F，试用动静法说明A物体对B物体作用力大小是否等于F？思索题：解：50动力学解：2.质量为M的三棱柱体A以加速度向右移动，质量为m的滑块B以加速度相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块B的惯性力的大小和方向如何？51动力学

3.匀质轮重为P，半径为r，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度，角加速度为，求轮对质心C的转动惯量，轮的动量、动能，对质心的动量矩，向质心简化的惯性力系主矢与主矩。解：52动力学4.在图示机构中，沿斜面对上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不行伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：(1)鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？(3)轴承O处的支反力？(4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？53动力学解：方法1用达朗伯原理求解取轮O为探讨对象，虚加惯性力偶列出动静方程：取轮A为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶MQC如图示。54动力学列出动静方程：运动学关系：，将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：55动力学代入(2)、(3)、(5)式，得：56动力学方法2用动力学普遍定理求解(1)用动能定理求鼓轮角加速度。取系统为探讨对象两边对t求导数：57动力学(2)用动量矩定理求绳子拉力（定轴转动微分方程）取轮O为探讨对象，由动量矩定理得(3)用质心运动定理求解轴承O处支反力取轮O为探讨对象，依据质心运动定理：58动力学(4)用刚体平面运动微分方程求摩擦力取圆柱体A为探讨对象，