线性系统理论线性系统的数学描述

线性系统理论线性系统的数学描述第一页，共四十页，2022年，8月28日2.1.2传递函数矩阵及有关定义第二页，共四十页，2022年，8月28日第三页，共四十页，2022年，8月28日2.2线性系统的状态空间描述2.2.1状态与状态空间完全地表征系统时间域行为的一个最小内部变量组称为动力学系统的状态。组成这个变量组的变量

称为系统的状态变量，其中

为初始时刻。由状态变量构成的列向量称为系统的状态向量，简称为状态。状态向量取值的向量空间称为状态空间。第四页，共四十页，2022年，8月28日一个动态系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。1.状态变量组可以完全表征系统行为;2.状态变量组的最小性体现;3.状态变量组在数学上的特征体现;4.状态变量组包含了系统的物理特征.第五页，共四十页，2022年，8月28日2.2.2动态系统的状态空间描述第六页，共四十页，2022年，8月28日第七页，共四十页，2022年，8月28日第八页，共四十页，2022年，8月28日第九页，共四十页，2022年，8月28日2.2.3线性系统的状态空间描述

与相关概念第十页，共四十页，2022年，8月28日

对于系统的为系统的输入解耦零点；

称满足

的为系统的输出解耦零点；

称满足称满足

的为系统的传输零点。第十一页，共四十页，2022年，8月28日，输出变量取为电阻的端电压。例考查图所示的简单电路，电路各组成元件的参数值未已知，输入变量取为电压源第十二页，共四十页，2022年，8月28日和流经电感的电流iL作为电路的

状态变量。第二步：列出原始电路方程运用电路定律，可列出图中左、右两个回路的电路方程为第一步：确定状态变量根据电路理论可知，此电路最多有2个线性无关的变量；因此，可选取独立储能元件的变量，即电容端电压第十三页，共四十页，2022年，8月28日，所以可将上述方程改写为只包含未知变量和考虑到规定为状态变量，并有和的方程组和第十四页，共四十页，2022年，8月28日第三步：导出状态方程首先，以和为待定变量求解上述联立方程，得到第十五页，共四十页，2022年，8月28日进而，将其表为向量方程的形式，就导出了此电路的状态方程第四步：导出输出方程根据电路的关系式，有将其改写后即可得到此电路的输出方程第十六页，共四十页，2022年，8月28日2.3两种描述形式的比较及相互转换2.3.1两种描述形式的比较1.使用的数学方法不同;2.对于复杂系统:用系统辨识方法容易系统的传递函数,而辨识系统完整的状态方程各测量方程有时做不到;3.传递函数是经典控制理论实现分析和综合的基础,状态空间方法是现代控制理论中系统设计的基础。传递函数仅描述输入-输出关系（外部特性）。第十七页，共四十页，2022年，8月28日第十八页，共四十页，2022年，8月28日，由点A到点B之间平行板电容的两端电压为例2.3.1对于图2.3.1所示的网络系统，设系统的输入电流为，输出电压为。由点C到D之间平行板电容的两端电压为流经电阻电感的电流为。显然，。由Kirchhoff电流定律得出再由Kirchhoff电压定律得第十九页，共四十页，2022年，8月28日于是得到系统得状态方程和量测方程为由此看出，它是一个三阶系统。这个系统的特征方程为第二十页，共四十页，2022年，8月28日另一方面，我们容易求得该系统得传递函数为它所代表得是一个稳定得二阶系统。第二十一页，共四十页，2022年，8月28日2.3.2化输入-输出描述为

状态空间描述第二十二页，共四十页，2022年，8月28日第二十三页，共四十页，2022年，8月28日例2.3.2给定系统得输入—输出描述为则利用式第二十四页，共四十页，2022年，8月28日即可定出相应得一个状态空间描述为第二十五页，共四十页，2022年，8月28日第二十六页，共四十页，2022年，8月28日第二十七页，共四十页，2022年，8月28日例2.3.3给定系统得输入—输出描述为则利用式第二十八页，共四十页，2022年，8月28日即可定出其相应得一个状态空间描述为第二十九页，共四十页，2022年，8月28日给定系统得输入—输出描述为先利用式定出第三十页，共四十页，2022年，8月28日从而由式即可导出相应得状态空间描述为第三十一页，共四十页，2022年，8月28日2.3.3化状态空间描述为传递函数描述线性定常系统的传递函数矩阵为

并且，当时为真的，当时为严格真的，且有

第三十二页，共四十页，2022年，8月28日2.4线性系统的代数等价性已知两个同维的由式：和式：表示的线性定常系统如果存在一个适当阶的定常可逆矩阵P，使得的系统参数矩阵满足式则称系统为代数等价的。第三十三页，共四十页，2022年，8月28日同一线性定常系统的两个不同的状态空间描述为代数等价的。2.4.2代数等价系统的公有属性

相互代数等价的线性定常系统具有相同的特征多项式，特征方程和极点。

相互代数等价的线性定常系统具有相同的输入解耦零点，输出解耦零点和传输零点。

相互代数等价的线性定常系统具有相同的传递函数

第三十四页，共四十页，2022年，8月28日2.5复合系统的数学模型2.5.1子系统并联的情形第三十五页，共四十页，2022年，8月28日第三十六页，共四十