线性空间和欧氏空间

线性空间和欧氏空间第一页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间一.向量空间·基和维数1.n维实(列)向量的全体Rn={[x1,x2,…,xn]T|R}关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算满足如下8条基本性质:关于加法:(1)交换律;(2)结合律;(3);(4)关于数乘:(5)1·=;(6)k(l)=(kl);(7)(k+l)=k+l;(8)k(+)=k

+k.第二页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间2.设V是Rn的非空子集,且对向量的加法及数乘封闭,即,V,kR,有+V,kV

则称V是一个(实)向量空间.设V是一个向量空间,UV,若U也构成一个向量空间,则称U为V是一个子空间.仅含有零向量的集合{}关于向量的线性运算也构成一个向量空间,我们称之为零空间.Rn和{}称为Rn的平凡子空间.第三页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间3.设V是一个向量空间,1,2,…,r是V中一线性无关向量组,并且V中任一向量都能由

1,2,…,r线性表示,则称(有序)向量组

1,2,…,r

是向量空间V的一组基.r称为V的维数.记为维(V)或dim(V).零空间没有基,规定dim{}=0.由定义,对V,唯一的一组有序实数k1,k2,…,kr使得

=k11+k22+…+krr.我们把r维向量[k1,k2,…,kr]T称为在1,2,…,r

这组基下的坐标.第四页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间例1.Rn的基本向量组e1=100···0,e2=010···0,…,en=00···01构成Rn的一组基,Rn中的任一向量都能由这组基线性表示.且在这组基下的坐标就是本身.这组基称为Rn的自然基.第五页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间例2.设ARmn,bRm,b,r(A,b)=r(A)=r,KA={x|Ax=,xRn},SB={x|Ax=b,xRn}.其中KA是向量空间,称为齐次线性方程组Ax=的解空间,Ax=的一个基础解系就是KA的一组基,因此dim(KA)=nr.但SB不是向量空间.事实上,SB中不含.在R3中,过原点的平面是R3的2维子空间,过原点的直线是R3的1维子空间,而不经过原点的直线与平面都不是向量空间.第六页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间4.设1,2,…,sRn,用L(1,2,…,s)表示

1,2,…,s的一切线性组合所成的集合,即L(1,2,…,s)={k11+k22+…+kss|k1,k2,…,ksR}则L(1,2,…,s)是(包含{1,2,…,s}的向量空间中最小的)一个向量空间,我们称之为由1,2,…,s生成的子空间.而1,2,…,s称为L(1,2,…,s)生成元.L(1,2,…,s)的基可以取为1,2,…,s的任一极大无关组.第七页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间特别地,设矩阵ARns,A1,A2,…,As依次为As个列向量.则称L(A1,A2,…,As)为矩阵A的列空间.dim(L(A1,A2,…,As))=秩(A).因而dim(L(1,2,…,s))=秩{1,2,…,s}.求L(A1,A2,A3,A4)的一组基和维数.例3.设A=[A1,A2,A3,A4]=101210111111,第八页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间101210111111解:初等行变换可见dimL(A1,A2,A3,A4)=2,A1,A2是L(A1,A2,A3,A4)的一组基.注:此外A1,A3也是L(A1,A2,A3,A4)的一组基.

还有A1,A4.100210110110事实上,对于这个例子,除了A3,A4以外,A1,A2,A3,A4中任意两个向量都构成L(A1,A2,A3,A4)的一组基.第九页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间二.Rn上的坐标变换1.两组基之间的关系设1,2,…,n及1,2,…,n都是Rn的基,j在1,2,…,n下的坐标为

[c1j,c2j,…,cnj]T,j=1,2,…,n.j在1,2,…,n下的坐标为

[d1j,d2j,…,dnj]T,j=1,2,…,n.记A=[1,2,…,n],B=[1,2,…,n],C=[cij],D=[dij],则A,B可逆,且B=AC,A=BD.第十页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间A,B可逆,且B=AC,A=BD.由此可得A=BD=ACD,因而CD=I.我们称C为从基1,2,…,n到基1,2,…,n的过渡矩阵.易见C=A1B,D=C1=B1A.特别地,从自然基e1,e2,…,en到基1,2,…,n

的过渡矩阵为I

1A=A.从基1,2,…,n到自然基e1,e2,…,en的过渡矩阵为A1I=A1.第十一页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间2.

同一个向量在两组级下的坐标之间的关系设在基1,2,…,n下的坐标为x,在基1,2,…,n下的坐标为y,即

=Ax=By,因此y=Dx,x=Cy上述公式称为坐标变换公式.特别地,向量

=[x1,x2,…,xn]T

在基1,2,…,n的坐标为A1.第十二页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间三.Rn上的线性变换1.线性映射设映射f:RnRm保持线性运算,即满足,Rn,k1,k2R,f(k1+k2)=k1f()+k2f()或者,与之等价地,保持加法和数乘,即则称f为一个线性映射.从Rn到Rn自身的线性变换称为Rn的线性变换.,Rn,kR,f(+)=f()+f(),f(k)=kf()第十三页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间2.线性映射的矩阵设ARmn,

则可以定义f:RnRm如下:f()=A,Rn.可以直接验证f为线性映射.反之,给定线性映射f:RnRm,取Rn的自然基e1,e2,…,en,Rm的自然基1,2,…,m.设f(e1),f(e2),…,f(en)在1,2,…,m下的矩阵为A,即

[f(e1),f(e2),…,f(en)]=[1,2,…,m]A,则ARmn,

且f()=A,Rn.第十四页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间这就是说每个矩阵ARmn对应于一个线性映射f:RnRm;反之,每个线性映射f:RnRm都对应于一个矩阵ARmn.特别地,每个方阵ARnn对应于Rn的一个线性变换f:RnRn;反之,Rn的每个线性变换都对应于一个方阵ARnn.此时,线性变换f:RnRn(作为映射)可逆

A可逆.第十五页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间3.设f:RnRm为线性映射,Imf={y=f(x)|xRn},Kerf={xRn|f(x)=}.则Imf和Kerf分别为Rn和Rm的子空间,我们称Imf为f的值域,称Kerf为f的核.若f()=A,Rn,其中ARmn,A的列向量依次为A1,A2,…,An.则Imf={Ax|xRn}=L(A1,A2,…,An),Kerf={xRn|Ax=},即Ax=的解空间.此时,也记Imf=R(A),Kerf=K(A).第十六页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.1向量空间Rn及其子空间于是,dimR(A)=秩(A),dimK(A)=n秩(A).由此可得,dimR(A)+dimK(A)=n.此时,也记Imf=R(A),Kerf=K(A).R(A)的基可以取为A1,A2,…,An的一个极大无关组,K(A)的基可以取为Ax=的一个基础解系.求R(A)和K(A)的基和维数.例4.设A=[A1,A2,A3,A4]=101210111111,第十七页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.2Rn中的度量与正交变换§4.2Rn中的度量与正交变换一.Rn中向量的内积,长度和夹角1.设

=[a1,a2,…,an]T,

=[b1,b2,…,bn]T,记为,,即则称实数aibi

为向量与的内积,n

i=12.内积的基本性质,=aibi=T

n

i=1

对称性:,=,;

线性性:k11+k22,=k11,+k22,;,0;且,=0=.第十八页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.2Rn中的度量与正交变换5.长度为1的向量称为单位向量.3.对于n维实向量,称

,为的长度或模,记为||||,即对于非零向量,||||1是一个单位向量.用||||1乘称为把单位化或标准化.,||||==ai2

n

i=14.长度的基本性质

正定性:||||0;且||||=0=;

齐次性:||k||=|k|·||||(kR);

Cauchy不等式:|,|||||·||||.第十九页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.2Rn中的度量与正交变换6.设,Rn,若,,则定义,的夹角若,=0,即

=/2,则称与正交.为

=arccos,||||·||||,0

例5.设,Rn,且与线性无关,求常数k使

+k与正交.

第二十页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.2Rn中的度量与正交变换二.标准正交基和施密特(Schmidt)方法1.一组两两正交的向量组称为正交向量组.由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组.向量空间的一组基如果是正交向量组,就称之为正交基;如果是标准正交向量组,就称之为标准正交基.定理4.1.设1,2,…,s是正交向量组,则1,

2,…,s线性无关.第二十一页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.2Rn中的度量与正交变换命题.设1,2,…,s是标准正交向量组,且

=k11+k22+…+kss,

则ki=,i,i=1,2,…,s.2.施密特(Schmidt)方法定理4.2.设1,2,…,s线性无关(s2),则存在一个正交向量组1,2,…,s满足

1,2,…,t与1,2,…,t等价(1

ts).第二十二页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.2Rn中的度量与正交变换1=1,………正交化过程如下:2=22,11,11,s=ss,11,11…s,s1s1,s1s1再将1,2,…,s单位化得:1=1

||1||,2=2

||2||,…,s=s

||s||.施密特方法

第二十三页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.2Rn中的度量与正交变换三.正交矩阵和正交变换1.满足QTQ=I(即Q1=QT)的实方阵Q称为正交矩阵,简称为正交阵.定理4.3.设Q为n阶实方阵,则Q是正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组构成Rn的一组标准正交基.推论.设Q为n阶实方阵,则Q是正交矩阵

QT是正交矩阵Q的行向量组转置后构成成Rn的一组标准正交基.第二十四页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.2Rn中的度量与正交变换2.若Q为n阶正交矩阵,则线性变换y=Qx称为Rn的正交变换.定理4.4.Rn的正交变换y=Qx不改变向量的内积,因而也不改变向量的长度和夹角.3.由定义可见正交矩阵Q的行列式|Q|=1或1,

若|Q|=1,则对应的正交变换称为第一类的;

若|Q|=1,则对应的正交变换称为第二类的.当Q为3阶正交矩阵时,注意到Qi,Qj,Qk依然正交,且它们的混合积(Qi,Qj,Qk)=|Q|,因此|Q|=1(1)时,Qi,Qj,Qk成右(左)手系.第二十五页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.2Rn中的度量与正交变换例6.验证Q=解:QTQ=cossin

是正交矩阵,并sincos

计算非零向量

=[a,b]T与Q的夹角,其中02.cossin

sincos

因此Q是正交矩阵.cossin

sincos

=cos2+sin200sin2+cos2=I.第二十六页，共三十四页，2022年，8月28日第四章线性空间和欧氏空间§4.2Rn中的度量与正交变换例6.验证Q=解:Q=cossin

是正交矩阵,并sincos

计算非零向量

=[a,b]