三重积分的计算及重积分的应用

演示文稿三重积分(Fen)的计算及重积分(Fen)的应用第一页，共五十一页。（优选）三重积分的计算及重积分的应(Ying)用第二页，共五十一页。把(Ba)积分化为三次积分,其中由曲面提示:

积分域为原式及平面所围成的闭区域.P183

题7练习题第三页，共五十一页。

计算三重积(Ji)分其中是由

xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:

利用柱坐标原式绕x

轴旋转而成的曲面与平面P183

题8(3)第四页，共五十一页。三重积分计(Ji)算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号1.积分区域关于坐标面的对称性.2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.利用对称性简化三重积分的计算：第五页，共五十一页。其它情形依此(Ci)类推.三重积分计算的简化第六页，共五十一页。P182

题(Ti)1(1)

设有空间闭区域

则有（）第七页，共五十一页。例(Li)1

解典型例题第八页，共五十一页。

例(Li)2

解利用球面坐标第九页，共五十一页。例(Li)3

解

在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中第十页，共五十一页。第(Di)四节一、立体体积三、物体的质心重积分的应用

第十章四、物体的转动惯量二、曲面的面积五、物体的引力第十一页，共五十一页。二重积分的(De)元素法将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性：

并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)dσ的形式，其中(x,y)在dσ内。f(x,y)dσ称为所求量U的元素，记为dU，则所求量的积分表达式为：（即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），第十二页，共五十一页。一(Yi)、立体体积第十三页，共五十一页。一、立体(Ti)体(Ti)积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为第十四页，共五十一页。任一点的(De)切平面与曲面所围立体的体积V.例1.求曲面分析:

第一步:求切平面方程;第二步:求与S2的交线在xOy面上的投影,写出所围区域D;第三步:求体积V.(示意图)第十五页，共五十一页。任(Ren)一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:

曲面的切平面方程为它与曲面的交线在

xOy

面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面第十六页，共五十一页。例2.求半径为a

的(De)球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为第十七页，共五十一页。二、曲(Qu)面的面积第十八页，共五十一页。曲面(Mian)方程：D:有界闭区域求曲面的面积A第十九页，共五十一页。设光滑曲(Qu)面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为面积元素)则(见P99)第二十页，共五十一页。故(Gu)有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即第二十一页，共五十一页。若光滑曲面(Mian)方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且第二十二页，共五十一页。曲面(Mian)面(Mian)积其中D是曲面在坐标面z=0上的投影区域求曲面面积的步骤：（1）求曲面在坐标面z=0上的投影区域D（2）在区域D上计算二重积分：第二十三页，共五十一页。同(Tong)理可得设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：第二十四页，共五十一页。例3求球面被平面所截的球冠的面积。解(Jie)：球冠在xoy面上的投影区域：第二十五页，共五十一页。第二十六页，共五十一页。第二十七页，共五十一页。半(Ban)球面面积：球面面积：第二十八页，共五十一页。例4求圆锥面被圆柱面所截部分的面积。投(Tou)影区域：所求曲面：第二十九页，共五十一页。作(Zuo)业P155

10P175

1，2，3习题课第三十页，共五十一页。三、物体的(De)质心第三十一页，共五十一页。三、物体(Ti)的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域

,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“分割，近似，求和，取极限”可导出其质心第三十二页，共五十一页。将分(Fen)成

n

小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点第三十三页，共五十一页。同理可(Ke)得则得形心坐标：第三十四页，共五十一页。若物体为占有xoy面上区(Qu)域D的平面薄片,(A

为D

的面积)得D

的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x

轴的

静矩—对y

轴的

静矩第三十五页，共五十一页。例5.求位于(Yu)两圆和的质心（形心）。

解:

利用对称性可知而之间均匀薄片第三十六页，共五十一页。z=0yxzo

柱面坐(Zuo)标a...用哪种坐标？例6..第三十七页，共五十一页。四、物体的转动(Dong)惯量第三十八页，共五十一页。设(She)平面有n个质点该质点系的转动惯量第k个质点的位置质点系的转动惯量质量xoy第三十九页，共五十一页。平面薄片的转动(Dong)惯量TheMomentofInertiaofaLamina第四十页，共五十一页。如果物(Wu)体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.第四十一页，共五十一页。例7.求半径为a的均匀(Yun)半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.第四十二页，共五十一页。空间有界闭区域上物体的转(Zhuan)动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为第四十三页，共五十一页。类(Lei)似可得:对x

轴的转动惯量对y

轴的转动惯量对原点的转动惯量第四十四页，共五十一页。解:

取(Qu)球心为原点,z轴为l

轴,则球体的质量例8.求均匀球体对于过球心的一条轴

l

的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)第四十五页，共五十一页。五、物体的(De)引力第四十六页，共五十一页。

,G

为引力常(Chang)数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为其中第四十七页，共五十一页。若求xOy面上(Shang)的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点的引力分量,因此引力分量为则上式改为D上的二重积分,密度函数改为即可.例如,