高考数学二轮复习第一部分4四应用性-融入素养特色鲜明学案

四、应用性——融入素养特色鲜明数学的实际应用基本思想数学知识应用高考数学中应用性包含两层意思，一层是应用数学知识解决社会生活中的实际问题，另一层是应用数学知识解决相关的数学问题，数学试题从头到尾处处都体现数学知识的应用，解决问题时注意以下两点：(1)将实际问题建立数形模型进行求解，理清建模过程和数据处理，利用数据说话．(2)应用数学知识解决相关数学问题时，注重分析问题，构建条件与结论的最短(最佳)解题链，坚持条件与结论的和谐相融．应用性典例解析核心素养数学的实际应用1.(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半[目标]考查统计图的基本知识，考查统计在实际生活中的应用及运算求解能力解析：选A.设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为2x.x，x，故A不正确；x，x，故B正确；建设前养殖收入为x，x，故C正确；建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%，故D正确.eq\a\vs4\al([数学抽象])eq\a\vs4\al([数学建模])eq\a\vs4\al([数学运算])eq\a\vs4\al([数据分析])2.(2018·高考全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()B．C．D．[目标]考查古典概型，考查统计知识在实际生活中的应用及运算求解能力解析：选D.将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)＝eq\f(3,10)D.eq\a\vs4\al([数学建模])eq\a\vs4\al([数学运算])eq\a\vs4\al([数据分析])3.(2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品Akg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品kg，kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．[目标]考查线性规划，考查线性规划知识在生产生活中的实际应用，考查数形结合思想，转化化归思想及运算求解能力解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2100x＋900y，线性约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\coxy≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x≥0，,y≥0，))作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．答案：216000eq\a\vs4\al([数学抽象])eq\a\vs4\al([逻辑推理])eq\a\vs4\al([数学建模])eq\a\vs4\al([数学运算])续表应用性典例解析核心素养基本思想4.(2018·高考全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，P(K2≥k)k[目标]考查茎叶图、中位数与独立性检验思想，考查统计知识在实际生活中的应用，考查判断与运算求解能力解：(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高.(ⅱ)，．因此第二种生产方式的效率更高.(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此第二种生产方式的效率更高.(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高.(2)由茎叶图知m＝eq\f(79＋81,2)＝80.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于K2＝eq\f(40(15×15－5×5)2,20×20×20×20)＝10>，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.eq\a\vs4\al([数学抽象])eq\a\vs4\al([逻辑推理])eq\a\vs4\al([数学建模])eq\a\vs4\al([数学运算])eq\a\vs4\al([数据分析])数学知识应用5.(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C＝()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)[目标]考查运用余弦定理与三角形面积公式求解三角形解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以sinC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝cosC，所以在△ABC中，C＝eq\f(π,4).eq\a\vs4\al([逻辑推理])eq\a\vs4\al([数学运算])续表应用性典例解析核心素养数学知识应用6.(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半[目标]考查统计图的基本知识，考查统计在实际生活中的应用及运算求解能力解析：选A.设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为2x.x，x，故A不正确；x，x，故B正确；建设前养殖收入为x，x，故C正确；建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%，故D正确.eq\a\vs4\al([逻辑推理])eq\a\vs4\al([数学运算])7.(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝4sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα,y＝2＋tsinα))(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．[目标](1)利用参数方程消去参数的方法求解直角坐标方程；(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义进行求解解：(1)曲线C的直角坐标方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－eq\f(4(2cosα＋sinα),1＋3cos2α)，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.eq\a\vs4\al([数学抽象])eq\a\vs4\al([逻辑推理])eq\a\vs4\al([数学运算])数学知识应用8.(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．[目标](1)利用绝对值的意义和分类讨论思想化简函数表达式，并利用一次函数的图象特征画出图象；(2)利用数形结合思想与分析判断求解问题解：(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x，x<－\f(1,2)，,x＋2，－\f(1,2)≤x<1，,3x，x≥1.))y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立，因此a＋b的最小值为5.eq\a\vs4\al([数学抽象])eq\a\vs4\al([逻辑推理])eq\a\vs4\al([数学运算])eq\a\vs4\al([专项集训(四)])一、选择题近几年，我国环境污染形势依然严峻，雾霾天气多发、城市河道水体黑臭、土壤污染、危废处置等问题突出，污染治理任重道远．AQI是空气质量指数，AQI值越小，表明空气质量越好，当AQI值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地2018年1月1日到12日AQI值的统计数据，图中点A表示1月1日的AQI值为201，则下列叙述不正确的是()A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好解析：，6日到11日的AQI值均不大于100，共6天，所以A正确；AQI值最小的一天为9日，所以B正确；这12天的AQI值的中位数为eq\f(104＋95,2)＝，所以C错误．下雨天，某学生将一个圆锥形容器底面向上架在操场上．已测得容器高30cm，底面半径为10，测得容器中水深12()A．mm B．64mmC．4mm D．8mm解析：rcm，则eq\f(r,10)＝eq\f(12,30)，解得r＝4.容器中的水的体积为V＝eq\f(1,3)×π×42×12＝64π(cm3)，eq\f(64π,π×102)(cm)．因此，mm.故选A.在直线l：y＝kx＋1截圆C：x2＋y2－2x－3＝0所得的弦中，最短弦的长度为()A．4eq\r(2) B．2C.eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：l是直线系，过定点(0，1)，定点(0，1)在圆C内，要使直线l：y＝kx＋1截圆C：(x－1)2＋y2＝4所得的弦最短，必须使圆心(1，0)和定点(0，1)的连线与弦所在直线垂直，此时定点和圆心的连线，圆心和弦的一个端点的连线与弦围成一个直角三角形，因为圆心与定点之间的距离为eq\r((0－1)2＋(1－0)2)＝eq\r(2)，半径为2，所以最短弦的长度为2eq\r(22－(\r(2))2)＝2eq\r(2).二、填空题将一颗骰子投掷两次分别得到的点数记为(a，b)，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．解析：因为直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交，所以圆心(2，0)到直线ax－by＝0的距离eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))<eq\r(2)，整理得a<b.由题意知，有序整数对(a，b)共有6×6＝36(个)，其中a<b的情况有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种．所以直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)我国明朝数学家程大位的著作《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为________．解析：执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋eq\f(80,3)；显然S≠100，故n＝21，m＝79，S＝3×21＋eq\f(79,3)；显然S≠100，故n＝22，m＝78，S＝3×22＋eq\f(78,3)；显然S＝92≠100，故n＝23，m＝77，S＝3×23＋eq\f(77,3)；显然S≠100，故n＝24，m＝76，S＝3×24＋eq\f(76,3)；显然S≠100，故n＝25，m＝75，S＝3×25＋eq\f(75,3)＝100，故退出循环，输出的n的值为25.答案：25三、解答题某公司为评估两套促销活动方案(方案1的运作费用为5元/件；方案2的运作费用为3元/件)，在某地区部分营销网点进行试点(每个试点只采用一种促销活动方案)，运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示．(1)请根据等高条形图提供的信息，为该公司选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由)．(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用)，且售价x(单位：元/件)和销量y(单位：件)满足关系式：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋1200，20≤x<45，,－30x＋2550，45≤x≤60.))①分析售价x定为多少时，利润z可以达到最大；②对任意的x∈[20，60]，求利润z不少于36000元的概率．解：(1)由等高条形图可知，年度