线性代数二次型和对称矩阵的有定性_第1页
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文档简介

线性代数二次型和对称矩阵的有定性第一页，共二十一页，2022年，8月28日一、正定二次型正定矩阵定义由定义，可得以下结论：

充分性是显然的；下面用反证法证必要性：

代入二次型，得

2第二页，共二十一页，2022年，8月28日由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。

3第三页，共二十一页，2022年，8月28日定理推论实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正。☎正定矩阵。这是因为：4第四页，共二十一页，2022年，8月28日解例1判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为

5第五页，共二十一页，2022年，8月28日全为正，

因此二次型正定。

6第六页，共二十一页，2022年，8月28日定理设矩阵A正定，则

（1）A的主对角元全为正；

证明7第七页，共二十一页，2022年，8月28日上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。

定理8第八页，共二十一页，2022年，8月28日解例2判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为

它的顺序主子式为：

因此

A是正定的，

即二次型

f正定。

9第九页，共二十一页，2022年，8月28日解例3设有实二次型

问

t

取何值时，该二次型为正定二次型？

f的矩阵为顺序主子式为：

解得10第十页，共二十一页，2022年，8月28日☎实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得

实际上，正定二次型的规范形为即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E，即存在可逆矩阵C，使11第十一页，共二十一页，2022年，8月28日☎证因为于是12第十二页，共二十一页，2022年，8月28日2、其它有定二次型定义如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。

13第十三页，共二十一页，2022年，8月28日显然，A是负定（半负定）的当且仅当-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论：

（2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负；

（3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正；

（4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；

（1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负；

（5）若A负定，则A的对角元全为负。

注意:1.最后一条只是必要条件。2.A的顺序主子式全非负，A也未必是半正定的。14第十四页，共二十一页，2022年，8月28日例如，设矩阵显然A的顺序主子式但对角元有正有负，显然A是不定的。15第十五页，共二十一页，2022年，8月28日例5判定下列二次型是否是有定二次型。

解（1）f的矩阵为

顺序主子式

所以

f是负定的。16第十六页，共二十一页，2022年，8月28日例5判定下列二次型是否是有定二次型。

解（2）f的矩阵为

顺序主子式

所以

f是不定的。17第十七页，共二十一页，2022年，8月28日练习：P222习题五18第十八页，共二十一页，2022年，8月28日ENDEND19第十九页，共二十一页，2022年，8月28日选用例题1、解C是正定的。且C是实对称阵，故C是正定矩阵。2

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