河北省鹿泉县2022年高考冲刺模拟数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若

该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）

A.该市总有15000户低收入家庭

B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户

D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

2.如图是2017年第一季度五省尸情况图，则下列陈述中不正确的是（）

H

咫

Br叵

W-

HJ

UT

=3总量T-与去年同期相比中长率

A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.

B.与去年同期相比，2017年第一季度的产总量实现了增长.

C.2017年第一季度GD尸总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个

D.去年同期河南省的G。尸总量不超过4000亿元.

3.抛物线y2=2px（p>0）的准线与x轴的交点为点C,过点。作直线/与抛物线交于A、6两点，使得A是B。的

中点，则直线/的斜率为（）

i）5

A.±-B.C.±1D.±V3

3—3

4.复数z=」一G是虚数单位）在复平面内对应的点在（）

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.设集合A={x|x〉O},B={x|log2（3x—1）＜2},则（）.

A.AnB=［（）q）B.Ans=fo,1

C.AOB—I-,+ooD.AUB=(0,+oo)

13

6.已知三棱锥O-A3C的外接球半径为2,且球心为线段BC的中点，则三棱锥。—A3C的体积的最大值为（）

7.记单调递增的等比数列{叫的前〃项和为S“，若4+4=10,4%4=64,则（）

A.5用_"=2'川B.a„=2"C.S„=2n-lI).S“=2"T—1

C,。为半圆弧的两个三等分点，贝！J通•（/+而）=（

8.如图，A6=2是圆。的一条直径,)

C.2D.1+73

22

9.已知双曲线二一与=1（。＞0/＞0）的左、右焦点分别为£、F2,圆/+y2=6与双曲线在第一象限内的交点

6rb~

为M,若=则该双曲线的离心率为

A.2B.3C.72D.6

10.若集合A={x|sin2x=l},8=卜卜=(+段/eZ>,则()

A.AD3=AB.CRBJCRAC.=0D.CRAJCRB

11.设集合A={x|x<3},8={x|x(o或x)2},则AcN=()

A.(-oo,0)B.(2,3)C.(ro,0)u(2,3)D.(TO,3)

12.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了

该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图:

2016年高考数据统计

则下列结论正确的是（）.

A.与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加

B.与2016年相比，2019年一本达线人数减少

C.与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍

D.2016年与2019年艺体达线人数相同

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等比数列｛4,｝满足4+2q=4,%2=%，则该数列的前5项的和为.

14.对任意正整数〃，函数—#/（2）＞0,则;I的取值范围是；若不等式

/（«）＞。恒成立，则/I的最大值为

15.设S“是等比数列｛%｝的前〃项的和，S3，S9，S6成等差数列，则的值为.

xV

16.已知正实数X,）'满足孙=1,贝M—+y）（上+X）的最小值为___.

yx

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设函数/（「）=（〃一%）e*+fax-clnx.

（D若Q=3,c=0时，/（x）在（（）,+8）上单调递减，求力的取值范围；

(2)若。=2,b=4,c=4,求证：当x>l时，f(x)<16-81n2.

1

x=—+cosa

2

18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数）.以原点。为极点，x轴

73

y+sina

的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.

JT

(1)设直线/的极坐标方程为。==，若直线/与曲线C交于两点A.B,求A5的长；

12

TT

(2)设M、N是曲线C上的两点，若NMON=—,求AOMN面积的最大值.

2

19.(12分)如图，在直三棱柱ABC-A与G中，AB=8C=A4t=1,AC=£,点O,E分别为AC和81cl的中点.

(I)棱A4上是否存在点P使得平面平面AM?若存在，写出Q4的长并证明你的结论；若不存在，请说

明理由.

(H)求二面角A-8后—。的余弦值.

20.(12分)如图，在四棱锥。一ABC。中，底面A3CD为直角梯形，AD//BC,ZADC=90，平面Q4D_L底面

ABCD,。为的中点，M是棱PC上的点且尸M=3MC,PA=PD=2,BC=-AD=l,CD=2.

2

4---------

(1)求证：平面平面以PAO;

(2)求二面角M-8Q-C的大小.

21.(12分)某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数

据分为［9,10)［1(111),［11,12),［12,13),1314］五个小组(所调查的芯片得分均在［9,14］内)，得到如图所示的频率分布

直方图，其中。一匕=0.18.

(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).

（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。

若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认

定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二

测，二测时，2个工程手机的评分都达到H万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到H万分,

手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方

法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）.每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均

为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元,

试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由.

22.（10分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安

全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统

计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的

得分Z服从正态分布N（〃,210）,其中〃近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.

（1）请利用正态分布的知识求P（36<Z<79.5）；

（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：

①得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费:

②每次获赠的随机话费和对应的概率为:

获赠的随机话费（单位：元）1020

2工

概率

33

市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？

附:①B14.5；②若X~N（〃,cr2）；则X<M+b）=0.6827,P（〃-2cr<X<"+2cr）=0.9545,

尸（〃一3<r<X<M+3（T）=0.9973.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.

【详解】

解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%,

则该市总有低收入家庭900+6%=15000（户），A正确，

该市从业人员中，低收入家庭共有15000x12%=1800（户），B正确，

该市无业人员中，低收入家庭有15000x29%%=4350（户），C正确，

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000x4%=600（户），D错误.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基

础题.

2.C

【解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.

【详解】

对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；

对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确;

对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5

省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；

对于D选项：去年同期河南省的GDP总量4067.4x―1—«3815.57<4000,故D正确.

1+6.6%

故选：C.

【点睛】

本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.

3.B

【解析】

设点A（西,y）、8（9,力），设直线AB的方程为x=m）—由题意得出y=会，将直线/的方程与抛物线的方

程联立，列出韦达定理，结合y=会可求得加的值，由此可得出直线/的斜率.

【详解】

由题意可知点设点A（3，X）、3（%,%），设直线AB的方程为x=my—彳，

由于点A是8C的中点，则*=/■，

-

P

x=my------,4

将直线/的方程与抛物线的方程联立得2,整理得V-2mpy+p2=0,

y2=2px

由韦达定理得.》+%=3y=2/%p,得％=——,y%==8mP=〃2,解得加=±±&_,

394

因此，直线/的斜率为,=±2也.

m3

故选：B.

【点睛】

本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属

于中等题.

4.B

【解析】

利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.

【详解】

iz（2+z）-l+2z12.

A?*z-----------------------------------=——+—i

2-z（2-z）（2+z）555

i（12^1

则复数z=；；—G是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：一，

2-iI55j

位于第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.

5.D

【解析】

根据题意，求出集合A,进而求出集合AU8和AC8,分析选项即可得到答案.

【详解】

根据题意，B={x|log(3x-1)<2}=

233

则Au8=(0,+8),A(~\B

故选：D

【点睛】

此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,

6.C

【解析】

由题可推断出AABC和ABC。都是直角三角形，设球心为。，要使三棱锥O-A3C的体积最大，则需满足〃=0£),

结合几何关系和图形即可求解

【详解】

先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA=OB=OC,故AABC是直角三角形，设AB=x,AC=y,则有

x2+y2=42>2xy,又5.8。=3冷'所以5必8。=：孙<4,当且仅当x=y=2加时，取最大值%要使三

1]Q

棱锥体积最大，则需使高/z=OD=2,此时匕8c一。=55小品/=§'4、2=],

【点睛】

本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题

7.C

【解析】

先利用等比数列的性质得到的的值，再根据“2,&的方程组可得，，％的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通

项和前〃项和，根据后两个公式可得正确的选项.

【详解】

因为｛4｝为等比数列，所以故d=64即%=4,

兄+〃4=10=2&=8.

由《~:可得■。或一」因为｛(%｝为递增数列，故一。符合.

出％=16[«4=8[a4=2[〃4=X

此时q2=4,所以4=2或q=-2(舍，因为｛4｝为递增数列).

1

故%=4q7=4x2"-3=2〃T,s=H££)=2„_b

“1-2

故选C.

【点睛】

一般地，如果｛《,｝为等比数列，s“为其前”项和，则有性质：

(1)若^n,n,p,qGN*,m+n=p+q,贝(J6/“=4%；

(2)公比qwl时，则有S“=A+3q",其中A,B为常数且A+3=0；

(3)Sn,S2„-Sn,S3n-S2n,-为等比数列(S,尸0)且公比为q".

8.B

【解析】

连接8、OD,即可得到NCAB=NOOB=60°,AC=1,再根据平面向量的数量积及土

【详解】

解：连接CO、OD,

\C,。是半圆弧的两个三等分点，..CD//AB,且A3=28,NCAB=NDOB=60°

所以四边形AQDC为棱形，

AC»AB=|AC^AB|cosABAC=lx2x1=l

AB^AC+AD^=AB»AC+\XC+-ABj\=AB[IAC+^AB\

—■—,1—*i

=2AC»AB+-AB.

2

1,

=2xl+-x22=4

2

故选：B

【点睛】

本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.

9.D

【解析】

本题首先可以通过题意画出图像并过M点作耳心垂线交耳鸟于点H,然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形

的形状并求出高的长度，的长度即M点纵坐标，然后将M点纵坐标带入圆的方程即可得出M点坐

标，最后将M点坐标带入双曲线方程即可得出结果。

【详解】

根据题意可画出以上图像，过〃点作耳工垂线并交耳K于点H,

因为1Ml=3伙里|,M在双曲线上，

所以根据双曲线性质可知，|5|-|摩|=2"，即3眼q-|“用=2%周=a,

因为圆/+丫2=尸的半径为OM是圆/+y2=b2的半径，所以0加=匕，

222

因为0M="=0F2=c,a+b=c>

所以？。用890,三角形OM玛是直角三角形,

因为MH人。玛，所以。OM?MF2,MH=*,即M点纵坐标为

将M点纵坐标带入圆的方程中可得哆=〃，解得％=*〃仔,牛），

将M点坐标带入双曲线中可得缶-4=1,

化简得/=/。.2,（,2-/=。2。2,C2=3/,e=q=6,故选D。

【点睛】

本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结

合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。

10.B

【解析】

根据正弦函数的性质可得集合A,由集合性质表示形式即可求得Aa8,进而可知满足CRBCCRA.

【详解】

依题意，A={x|sin2x=l}={x|x=?+A乃,％ez1；

而8={y|y=?+年/ez}

.7i2/vr7t（2〃+l）〃

=〈xx=—+---,neZgJu=——b-------,〃£Z〉

4242

,7t7T乃（2〃+l）乃„

=<x|x=——Fiur,neZ或x=——F-----6—,〃eZ>,

442

故A=

则CRB=CRA.

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.

11.C

【解析】

直接求交集得到答案.

【详解】

集合4={x|x<3},B={x|x<。或力2},则ACB=（YO,0）U（2,3）.

故选：C.

【点睛】

本题考查了交集运算，属于简单题.

12.A

【解析】

设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为1.2x,通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.

【详解】

设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为L2x,2016年高考不上线人数为0.3x,

2019年不上线人数为L2xx0.28=O.336x>O.3x,故A正确；

2016年高考一本人数().3x,2019年高考一本人数1.2xx0.26=0.312x>0.3x,故B错误;

2019年二本达线人数L2xxO.4=O.48x,2016年二本达线人数0.34x,增加了

0.48x—0.34x

a0.41倍，故C错误;

0.34%

2016年艺体达线人数0.06x,2019年艺体达线人数L2xx0.06=0.072x,故D错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.31

【解析】

设可化为％2/=%44，得4=1，。2=4-2%=2,“="=2,

a\

必匕■心=31

1一q

1313

14.-00,---------

2T

【解析】

将〃=2代入求解即可；当〃为奇数时,cos府=-1,则转化/(〃)=2/+7r_而_12o为几W2"+7〃——，设

n

g(〃)=2〃2+7〃一L由单调性求得g⑺的最小值；同理，当〃为偶数时,cosn/r=1，则转化

n

/(〃)=2/_7*_._12o为；IW2"—7〃—L设"(X)=—7x—'(x22),利用导函数求得/?(x)的最小值,

nx

进而比较得到4的最大值.

【详解】

13

由题，/(2)=16—28—2/1—1\0,解得2

2

当〃为奇数时,cos〃乃=一1,由f(n)=2/+7〃2一丸〃一120,得4W2/+7〃一,，

n

而函数g(〃)=2"+7/1--为单调递增函数，所以g(n).=g⑴=8,所以几<8；

nmn

当n为偶数时,cos〃4=1,由/(〃)=2/_7/-几〃一120,得4W2n2-In--,

n

设/z(x)=2x2-lx--(x22),

x

•••x22,〃'(x)=4x-7+二>0,h｛x)单调递增，

X

1313

••・〃(x)mm=〃(2)=—豆,所以

13

综上可知，若不等式/(〃)>0恒成立，则2的最大值为-三.

2

故答案为：(1/一8,一三;⑵一二

I2J2

【点睛】

本题考查利用导函数求最值，考查分类讨论思想和转化思想.

15.2

【解析】

设等比数列｛a,,｝的公比设为4,再根据53,59,S6成等差数列利用基本量法求解q，再根据等比数列各项间的关系求解

【详解】

解：等比数列｛q｝的公比设为4，

S3，Sg,S6成等差数列，

可得2s9=S3+S6，

若<7=1,贝1j18q=3q+6q,

显然不成立，故qwl,

6

贝(12.q(>/)=q(i")+%(j),

\-q\-q\-q

化为2q6=l+q3,

解得/=-1,

11

4i31--

则%+%=4+04=1±幺_=，.=2

/q/q61

4

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用，属于中档题.

16.4

【解析】

由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.

【详解】

/\/\2233

-+^-+X=14--+—+xy=2+'+)=2+V+y3>2+2Jx3/=4.

I〉人xJyx孙Y"

当且仅当x=y=l时等号成立.

据此可知：(2++的最小值为4.

㈠八*7

【点睛】

条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数

的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(-a),-e](2)见解析

【解析】

(1)/(X)在(0,+8)上单调递减等价于r(x)W。在(0,+8)恒成立，分离参数即可解决.(2)先对/(X)求导，化简后根

据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.

【详解】

(1)a=3,c=0时,f(x)=(3-x)ex+bx,

ff(x)=-ex+(3-x)ex+b=(2-x)ex+b,

•・・/(x)在(0,y)上单调递减.

(2-x)ex+Z?<0,b<(x-2)ex.

令g(x)=(x-2)，，

g'(x)=ex+(x-2)ex=(x-l)ex,

0<x<l时，g'(x)<0；x>l时，g'(x)>0,

.•.g(x)在(0,1)上为减函数，在(1,物)上为增函数.

•,»g(x)min=8⑴=-e,»'•/?<-e-

.••〃的取值范围为(-8,-0.

(2)若a=2,b=4,c=4时,f(x)=(2-x)ex+4x-41nx,

f'(x)=+(2-x)ex+4—3=(1—x)(e*—

4

令〃(x)="--，显然/?(x)在(1,”)上为增函数.

x

又〃(l)=e-4<0,〃(2)=e2-2>0,.•.久幻有唯一零点%.

且受w(1,2),1cx</时,h{x)<0,f'(x)>0；

x>x()时，/?(%)>0,f'(x)<0,

二/(X)在(1,天)上为增函数，在(毛，+8)上为减函数.

•••=/优)=(2-%0)泮+4Ao-41叫.

44

又〃(x(,)=e'°-----=0,.♦.4=一,尤0e』=4,x0+lnx0=ln4.

8

:./(_4+4JCQ_41nx0------4+4x()_4(In4_x())

xo

(11

=8----FXQ—4—41n4.

kxo>

<88+214—41n4=16—81n2,(l<x0<2).

二当x>l时，/(x)<16-81n2.

【点睛】

此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.

18.(1)V2;(2)1.

【解析】

(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

(2)M3，。)，山2,6+£|，由(1)通过计算得到S=gp/sin5=sin(2e+1)即最大值为1.

【详解】

(1)将曲线c的参数方程化为普通方程为(x—g)等]=1'

即f+y2_尤_6,-0；

再将f+V=夕2,x=pcos0,y=/?sin。代入上式,

得p1一夕cos。一行夕sin。=0,

故曲线C的极坐标方程为0=2sin6+力,

显然直线/与曲线C相交的两点中，

必有一个为原点0,不妨设。与4重合，

即|叫=|0川=P姮=2sin偿+昌=0.

12I。12)

（2）不妨设A/g,e）,N,2，e+，J，

则AOMN面积为

S=；月02sin^=^--2sin^+^-2sin^+^+-^

=2$皿（6+£卜0$（6+弓）=5m26+；）

当sin[26+*=l,即取6书时，SM=1.

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.

311

19.(I)存在点P满足题意，且PA=3，证明详见解析；(II)—.

419

【解析】

(I)可考虑采用补形法，取AG的中点为F,连接印，AF,DF,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证

平面ACC-即3。若能证明则可得证，可通过R/"4Ds/?rA4£)F我们反推出点尸对

应位置应在PA=±处，进而得证；

4

(II)采用建系法，以。为坐标原点，以DB,DC,。尸分别为X，Vz轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应

法向量，再结合向量夹角公式即可求解；

【详解】

(I)存在点户满足题意，且幺='.

4

证明如下：

取4a的中点为尸，连接所，AF,DF.

贝！JEF〃A4〃4B,所以AFu平面A3E.

因为A8=3C,。是AC的中点，所以8OLAC.

在直三棱柱ABC-AAG中，平面ABC,平面ACC-且交线为AC,

所以30,平面ACG，所以_LA/.

在平面ACG内，—=—=2/1,/PAD=ZADF=90°,

ADDF2

所以出△PAD^litAADF,从而可得AEJ_F£>.

又因为PDc8O=。，所以AE_L平面P8D.

因为AFu平面ABE,所以平面平面ME.

(H)如图所示，以。为坐标原点，以。B,DC,。尸分别为怎Vz轴建立空间直角坐标系.

易知£）（0,0,0）,BQ,0,0LA0,-岑,0,后

所以屁=(-；，¥，()原=(岩,0)，丽心。，。).

设平面ABE的法向量为加=(x,y,z),则有

__1G

in•BE=——x-\-----y+z=0,

<44取y=2,得肩=卜2G,2,-⑹.

m-AB=—x+—y=0.

I22

同理可求得平面BOE的法向量为〃=(0,4,-石).

_m-n8+311

则cos玩,”丽飞2+4+3416+3=后

由图可知二面角A-鹿一。为锐角，所以其余弦值为技.

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题

20.0)证明见解析；(2)30。.

【解析】

(1)推导出C0//8Q,QB±AD,从而BQ，平面尸4),由此证明平面PQ8，平面以尸AO

(2)以。为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角的大小.

【详解】

解：(1)AD//3C,BC=^AD,Q为AO的中点，

二.四边形5C0Q为平行四边形，CO//BQ.

vZAZ)C=90°,.■.ZAQB=9Q°,即Q8_LA£).

又；平面Q4Z)_L平面ABC。，且平面PA。。平面ABC£>=AD,

6Q_L平面PAD.

BQu平面PQB,

•••平面PQB_L平面PAD.

(2)vPA^PD,。为AO的中点，

PQ1AD.

••・平面平面ABC。，且平面如。0平面468=40,

..尸。上平面ABC。.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系,

则平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1),

2(0,0,0),P(0,0,V3),B(0,2,0),C(一1,2,0),

设M(x,y,z),则而=(x,y,z-6),MC=(-\-x,2-y,-z),

PM=3MC>

x=3(—1—x)

，,y=3(2-y),

z-y/3--3z

'3

X-——

4

3

・-y=/，

V3

z=——

4

_33叵

在平面M5Q中，9=(0,2,0),西=

424J

设平面MBQ的法向量为m=(x,y,z),

2y=Q

m-QB=0

则_，即!33Qc，

m-QM=0——x+—y+——z=0

I424

二平面MQB的一个法向量为m=(l,0,V3),

(1,0,6).(0,0,1)=6.

..cos=

22

由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为30。.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题.

21.(1)11.57(2)预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析

【解析】

(1)先求出a=0.25,人=0.07,再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；(2)先求

出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.

【详解】

(1)依题意，(O05+a+b+O35+O28)xl=l,故a+b=032.

又因为a-b=0.18.所以a=0.25,b=0.07,

所求平均数为95x0.05+105x025+115x035+125x0.28+135x0.07

=0.475+2.625+4.025+35+0.945=1157(万分)

(2)由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到H万分的