广西柳州市2021-2022学年高一下学期数学期末联考试卷

广西柳州市2021-2022学年高一下学期数学期末联考试卷

阅卷入

——、单选题(共8题；共16分)

得分

1.(2分)命题+8)，/一1<0，，的否定为()

A.Vxe[0,+oo),x2—1>0B.3%6(―oo,0),x2—1<0

C.Vxe[0>+oo),x2—1<0D.2xG[0,+oo),x2—1>0

【答案】A

【解析】【解答】命题Fx6[0,+oo),x2—1<0”的否定为：

4VxG[0,+oo),x2—1>0”.

故答案为：A

【分析】利用全称命题的否定是特称命题结合题意即可得出答案。

2.(2分)已知X=3°，°2,y=log20.1,z=log20.2.则()

A.x>y>zB.x>z>yC.z>x>yD.z>y>x

【答案】B

【解析】【解答】因为x=3°・°2>3°=1,log?。」<logzO.2<log21=0，即y<z<0,因此，x>

z>y.

故答案为：B.

【分析】根据题意由指数函数和对数函数的单调性，即可比较出大小，从而得出答案。

3.(2分)已知i为虚数单位，z=2+i,复数z的共加复数为2,则|z-2团=()

A.0B.3C.713D.10

【答案】C

【解析】【解答】解：因为z=2+i,

所以2=2-1,

所以z-2N=-2+3i,

所以|z-2z\=V4T9=V13.

故答案为：C.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。

4.（2分）抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86,85,88,86,90,89,88,87,85,

92,则这10次成绩的80%分位数为（）

A.88.5B.89C.91D.89.5

【答案】D

【解析】【解答】甲射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为：85,85,86,86,87,88,88,

89,90,92.

10x80%=8,这10次成绩的80%分位数为：=89.5.

故答案为：D.

【分析】由已知条件结合分位数公式，代入数值计算出结果即可。

5.（2分）某校有700名高一学生，400名高二学生，40（）名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按

比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（）

A.高三每一个学生被抽到的概率最大

B.高三每一个学生被抽到的概率最小

C.高一每一个学生被抽到的概率最大

D.每位学生被抽到的概率相等

【答案】D

【解析】【解答】由题意知，抽样比例为加击回访=忐，

/UU十4UU十4UU1UU

所以15人中，高一要抽7人，高二要4人，高三要4人，

故高一每位学生被抽到的概率为儡=白

高二每位学生被抽到的概率为孺=焉，

高三每位学生被抽到的概率为福=告，

在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等,

故每位学生被抽到的概率相等.

故答案为：D

【分析】由分层抽样的定义解已知条件，计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。

6.（2分）已知棱长为2或的正方体ABC。-&B1C1D1各个面的中心分别为/,J,K,L,M,N,则

多面体〃KLMN的体积为（）

A.挈B.警C.8D.1672

【答案】A

【解析】【解答】如图,

O1

C1

C

多面体是由正四棱锥N-/KLM初-"LM组成的正八面体，

该正八面体的高N/为正方体的棱长，即N/=2鱼，

四边形"LM为对角线长2或的正方形，故S/KLM=2V2x2V2x1=4,

VS

所以V//KLMN=VN-JKLM+l-JKLM=\]KLM.N/=；X4xV^=警•.

故答案为：A

【分析】根据题意由已知条件即可得出边的大小，再由题意结合体积公式代入数值计算出结果即

可。

7.（2分）从函数y=%,y=x2,y=2~x,y=sin%,y=cos%中任选两个函数，记为/（%）和

g(%),若八(%)=/(%)+g(%)或九(%)=/(x)-g(%)的图象如图所示,则九(%)=()

C.2~x+sinxD.x—cosx

【答案】C

【解析】【解答】由图象可知，函数以%)过定点(0,1),

当*<0时，/i(x)>1,为减函数；

当t>0时，/i(x)>0或h(x)<0交替出现.

若h(x)=/-sinx,则九(0)=0,A不符合题意;

若九(x)=x+cosx,则九(0)=1,即函数/i(x)过定点(0,1),

又一1WcosxW1,当％<—1时，h(x)=%+cosx<0,B不符合题意;

若九(x)=x—cosx,则九(0)=—1,D不符合题意.

故答案为：C

【分析】由正弦函数、指数函数以及二次函数和一次函数的图象，结合复合函数的性质由题意即可

得出答案。

8.(2分)将函数f(x)=2sin(2s—软3>0)的图象向左平移卷个单位，得到函数y=g(x)的图

象，若y=g(x)在[0,*上为增函数，则3的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】【解答】函数/⑶=2sin(23%T)(3>0)的图象向左平移卷个单位，

777T

得到函数y=g(%)=2sin[2w(x+-9]=2sin2",

若xe[0,勺，则23%e[0,等],所以等4%即towi,

所以3的最大值为1.

故答案为：A.

【分析】由函数平移的性质结合正弦函数的单调性，由整体思想整理化简即可得出®的取值范围，由

此得出最大值。

阅卷人

------------------------------V多选题（共4题；共8分）

得分

9.（2分）已知四边形ABCD为平行四边形，M为BC的中点，则（）

A.AB=DCB.=1o4

C.AB-AD=DBD.AB+AC=2AM

【答案】A,C,D

【解析】【解答】对于A选项，AB=~DC，A对；

对于B选项，==B不符合题意；

对于C选项，AB-AD=~DB，C对；

对于D选项，AM^AB+~BM=AB+^BC=AB+^（AC-AB）=^（AB+AC）,

因此，AB+AC^2AM，D对.

故答案为：ACD.

【分析】根据题意由向量相等、共线向量以及向量加减运算性质，由此整理化简即可得出答案。

10.（2分）已知m,n是两条不重合的直线，a,0是两个不重合的平面，则下面四个结论中正确的是

（）

A.若aC0=?n,n//m,且nCa,nC0,则般〃a且n〃夕

B.若m〃a,mln,则n_La

C.若a10,m//a,则m10

D.若直线m,n在平面a内的射影互相垂直，则/n与n的夹角可能为60。

【答案】A,D

【解析】【解答】A选项：aC\p=m,则mua,又nUm,且n<£a,贝ijn〃a成立，同理n〃0成

立，A选项正确;

B选项：若m〃a,mln,则？i〃a或nua或n与a相交（不一定垂直），B选项错误；

C选项：若a_!"/?,mlla,则〃。或znu夕或m与/?相交（不一定垂直），C选项错误;

D选项：如图

在正方体ABCD-48百。1中，设为血，BiC为般，平面4BCD为a,则m与n在平面a内的射影分

别为4B与BC,且力B1BC,m与ri异面且夹角为60。，D符合题意；

故答案为：AD.

【分析】根据题意由空间里直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，对选项逐一判断

即可得出答案。

11.（2分）从4盒子中摸出一个黑球的概率是上,从B盒子中摸出一个黑球的概率是/从两个盒子中

各摸出一个球，则下列说法中正确的是（）

A.2个球都不是黑球的概率为④

B.2个球中恰有1个黑球的概率为务

C.2个球至多有1个黑球的概率为特

D.2个球中至少有1个黑球的概率为年

【答案】A,B,C

【解析】【解答】对于A选项，2个球都不是黑球的概率为A对；

对于B选项，2个球中恰有1个黑球的概率为〃x（l-$+（l-3xg=W，B对；

对于C选项，2个球至多有1个黑球的概率为:+条=寻，C对；

对于D选项，2个球中至少有1个黑球的概率为1—（1—》x（1—》=$D不符合题意.

故答案为：ABC.

【分析】由已知条件结合古典概率、相互独立事件以及对立事件概率公式，代入数值计算出结果，

由此对选项逐一判断即可得出答案。

12.（2分）在△ABC中，cos^=等，BC=1,AC=5,则下列说法正确的是（）

A.sinC=[B.△ABC的面积为2

C.△ABC的外接圆直径是萃D.△4BC的内切圆半径是至普

42

【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：因为cos”等，所以8sC=2cos2^—l=2x（等）2—1=|，

所以sinC=V1—cos2C=右，S^ABC=；Q》sinC=；xlx5x3=2,A、B符合题意；

由余弦定理c?=a2+b2-2abeosC，即c?=l2+52—2xlx5x|-=20,所以c=2v5,

所以外接圆的直径2氏=嬴=竽=苧，C不符合题意；

5

设A/IBC的内切圆半径为r,^S^ABC=^a+b+c）r,即：（1+5+2通）r=2,所以泸，D

符合题意；

故答案为：ABD

【分析】由已知条件结合二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系式以及余弦定理代入数值计

算出结果，由此判断出选项A、B的正误；再由正弦定理计算出圆的半径，结合直线与圆相切的性

质由三角形中的几何计算关系计算出结果，由此判断出选项C、D的正误；从而得出答案。

阅卷人

三、填空题（共4题；共4分）

得分

13.（1分）已知向量,=（1,t）,b=（t+2,3）,且五〃石，则实数t=.

【答案】1或-3

【解析1【解答】函数/㈤=2sin（2"T）（3>0）的图象向左平移卷个单位，

得到函数y=g（x）=2sin[2o）（x+卷）-^]=2sin2（ox,

若％C[0,勺，则23%W[0,等],所以等笠，即3W1,

所以3的最大值为1.

故答案为：A.

【分析】由函数平移的性质结合正弦函数的单调性，由整体思想整理化简即可得出3的取值范围，由

此得出最大值。

14.（1分）若x>—2,贝好（%）=%+4的最小值为.

【答案】0

【解析】【解答】由%>-2,得久+2>0,4o>0.

所以/（x）="+嘉=x+2+击一222J（x+2）X工-2=0，

当且仅当久4-2=2即x=-1时等号成立.

故答案为：0

【分析】首先整理化简原式，再由基本不等式即可求出最小值。

15.（1分）已知tana=<|，则tan（a+苧）的值是.

【答案】一5

【解析1【解答】解：因为tana=f,又tan孚=tan（zr—5）=—tan7——1，

tana+tan字|-1

所以tan（a+竿）=3

1-tanatan等1-|x(-l)T

故答案为：—If

【分析】首先由诱导公式整理化简计算出结果，再由两角和的正切公式代入数值计算出结果即可。

16.（1分）设体积为学的正四面体P—ABC的内切球的半径为R,则R=.

【答案】恪

【解析】【解答】将正四面体P-ABC补成正方体PEAF-GCHB,设该正方体的棱长为a,

则Vp_4BC=a3-4x|x1a3=ia3=^可得a=V2,

故正四面体P-ABC的棱长为鱼a=2,其表面积为4x字x(V2a)2=46，

由等体积法可得VpYBC=gx4bxR=竽，解得R=普

故答案为：理

6

【分析】由已知条件结合正方体的体积公式，代入数值计算出a的取值，并代入到正四面体的体积

以及表面积公式，结合等体积法计算出结果即可。

阅卷入

四、解答题(共6题；共70分)

得分

17.(15分)已知P(A)=0.7,P(B)=0.2.

(1)(5分)若BUA,求P(AUB),P(4B)；

(2)(5分)若4B互斥,求P(AUB),P(AB)；

(3)(5分)若A,B相互独立,求P(AUB),P(AB).

【答案】(I)解：当BUZ时，A(JB=A,AdB=B，

所以P(AUB)=P(A)=0.7,P(AB)=P(B)=0.2

(2)解：当儿B互斥,则ACB=0,

所以P(AUB)=P(A)+P(B)=0.9,P(AB)=P(0)=0

(3)解：由4、B相互独立，

得P(AB)=P(A)P(B)=0.14,

P(AUB)=P(A)+P(B)-PQ4B)=0.76

【解析】【分析】(1)根据题意由集合之间的关系，结合概率公式代入数值计算出结果即可。

(2)由已知条件由概率的加法公式，代入数值计算出结果即可。

(3)由概率公式，代入数值计算出结果即可。

18.(10分)已知向量记，元满足沅•五=1,|而|=2,\n\=1.

(1)(5分)求|2访一宿的值；

(2)(5分)若向量2记—记与万+元的夹角为。，求cos。的值.

【答案】(1)解：由题意知，m-n=1>|m|=2,|n|=1,

则|2记一宿2=4|m|2-4m-n+|n|2=13，

所以|2万一宿=V13

(2)解：由题意知，

(2m-n)-(m+n)=2|m|2+m-n—\n\2=8,

\m+n|2=\m\2+2m-n+|n|2=7，

得|沅+宿=夕，由(1)知|2沅一宿=限,

所以c°s。==尸，=察

密|2m-Wn||m+n乎|/13x/791

【解析】【分析】(1)由数量积以及向量模的运算性质，整理化简即可得出答案。

⑵由数量积的运算性质结合向量模的几何意义，代入数值计算出结果即可。

19.(10分)在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c满足bcosC+ccosB=2QCOSC,C=3.

(1)(5分)求角C的大小；

(2)(5分)若Q—6=百，求△4BC的面积.

【答案】(1)解：由正弦定理sinBcosC+cosBsinC=2siiL4cosC,

:.sin(F+C)=sinA=2sinAcosC,

vsinAH0・•・cosC=/，

又「CG(0,7T),C=W

(2)解：由余弦定理c?=a24-b2—2abcosC

即c2=(a—b)2+2ab—2abcosC

则3+labx2=9,・•・ab=6,

13V3

•*,S»ABC~2absinC=—工-

【解析】【分析】(1)首先由正弦定理整理化简原式，再由两角和的正弦公式计算出cosC的取值，进

而得出角C的大小。

(2)由余弦定理整理化简原式，由此计算出ab的值，并代入到三角形的面积公式由此计算出结果。

20.(15分)已知函数/(%)=(sinx+cos%)?+cos(2x+3)—1.求:

(1)(5分)函数f(x)的最小正周期；

(2)(5分)方程f(x)=0的解集;

(3)(5分)当xe[-和舟时，函数y=/(x)的值域.

(答案】⑴解：/(%)=(sinx+cos%)2+cos(2x+^)—1

V31

1+2sinxcosx+cos2x—sin2x—1

%山+73

Tcos2x

=sin(2x+令，

所以函数/(%)的最小正周期T=至=兀

(2)解：令/(x)=0,

则2%+亨=而,所以％=竽一看,fcez,

所以方程/(%)=0的解集为｛小=竽一看，keZ)

⑶解：当％$时,2x+W，将,

所以函数y=/Q)的值域为［一1］

【解析】【分析】(1)根据题意由同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式以及二倍角的正弦公

式，整理化简结合正弦函数的周期公式，计算出答案即可。

(2)由正弦函数的图象和性质，结合整体思想即可求解出方程的根。

(3)结合正弦函数的单调性即可得出函数的最值，从而得出函数的值域。

21.(10分)某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业

务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他

们按所打分数分成以下几组：第一组［0,20),第二组［20,40)，第三组［40,60)，第四组

［60,80)，第五组［80,100］,得到频率分布直方图如图所示.

0.0175

0.0150

0.0125

0.0100

0.0075

0.0050

0.0025

20406080100分数

（1）（5分）估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）

（2）（5分）该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调

查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.

【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，

众数为效产=70；

5个组的频率分别为0.05,0.1,0.2,0.35,0.3,

所以平均数为

10x0.05+30x0.1+50x0.2+70x0.35+90x0.3=65

（2）解：由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05,第二组的频率为0.1,

则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人，

所以按分层抽样的方法抽到的6人中，

第一组抽2人，记为第二组抽4人，记为名、勿、回、b4>

则。=0.2»。]匕2,^39^4,。2b2，。2b3，。2b4，^21^1^3,^41b2b3，

b2b4,b3b4},

设事件A为抽到的2人来着不同的组，

则/={a】bi，r。1匕3,a]Z）4，a2b2,a2b3,a2b4}，

所以P（A）=言.

【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中的数据，结合平均数公式代入数值计算出结果即可.

（2）根据题意由列举法即可得出事件的个数，再代入到概率公式计算出结果即可。

22.（10分）如图，在直三棱柱ABC—4B1C1中，AB=AC=AAr=2,M为棱上一点.

（1）（5分）记平面ACM与平面的交线为1,证明1114百；

（2）（5分）若M为SB1的中点，且二面角A—CM—B的正切值为3,求线段BC的长度.

【答案】（1）证明：在直三棱柱力-中，41%WAC

,：A1C1,平面ACM,ACu平面ACM.

41GllI平面ACM,

,

：A1C1u平面4BiCi，平面GBiQfl平面ACM=I,

；」llaCi

（2）解：取BC的中点E,连接AE,过E作EFlCM于点F,连接AF.

"：AB=AC,：.AE1BC,

又「MB平面ABC,AEu平面ABC,：.MB1AE.

〈MBCBC=B,...AE，平面BCM,：.AE1MC,

又ZECtEF=F,AE,EFu平面AEF,所以MC,平面AEF,

又ZFu平面AEF,所以MCL4F,

...乙4FE即为所求二面角的平面角，

：AE_L平面BCM,EFu平面BCM,

：.AE1EF,

又*•'tanz.AFE=绰=3,

：.AE=3FE,

记BC=x,

解得%2=8,即％=2或，

二BC=2V2.

【解析】【分析】(1)由已知条件结合直三棱柱的几何性质由线面平行的性质定理即可得出线线平行。

(2)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直的性质定理结合二面角

平面角的定义，由三角形中的几何计算关系计算出边之间的关系，然后由三角形相似的性质结合二

次函数的性质计算出边的大小即可。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：98分

客观题（占比）25.0(25.5%)

分值分布

主观题（占比）73.0(74.5%)

客观题（占比）13(59.1%)

题量分布

主观题（占比）9(40.9%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(18.2%)4.0(4.1%)

解答题6(27.3%)70.0(71.4%)

多选题4(18.2%)8.0(8.2%)

单选题8(36.4%)16.0(16.3%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(31.8%)

2容易(68.2%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1空间中直线与平面之间的位置关系2.0(2.0%)10

2频率分布直方图10.0(10.2%)21

3复数代数形式的混合运算2.0(2.0%)3

4直线与圆的位置关系2.0(2.0%)12

5平面向量的坐标运算1.0(1.0%)13

6与二面角有关的立体几何综合题10.0(10.2%)22

7古典概型及其概率计算公式2.0(2.0%)11

8组合几何体的面积、体积问题2.0(2.0%)6

9两角和与差的正弦公式25.0(25.5%)19,20

10相互独立事件的概率乘法公式17.0(17.3%)11,17

11互斥事件的概率加法公式17.0(17.3%)11,17

12同角三角函数间的基本关系2.0(2.0%)12

13正弦定理12.0(12.2%)12,19

14诱导公式1.0(1.0%)15

15向量的模10.0(10.2%)18

16函数的最值及其几何意义2.0(2.0%)8

17正弦函数的单调性15.0(15.3%)20

18余弦定理10.0(10.2%)19

19空间中直线与直线之间的位置关系2.0(2.0%)10

20平面向量共线（平行）的坐标表示1.0(1.0%)13

21直线与平面平行的判定10.0(10.2%)22

22球内接多面体1.0(1.0%)16

23众数、中位数、平均数2.0(2.0%)4

24复数的代数表示法及其几何意义2.0(2.0%)