高中数学选择性必修二 等比数列的概念及通项公式教学设计

等比数列的概念及通项公式教学设计

课题等比数列的概念及通项公式单元第一单元学科数学年级高二

教材《等比数列》是人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个

分析重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，

而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今

后学习和工作中必备的数学素养。

等比数列是另一个常见的简单数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列

的定义，导出通项公式，给出等比中项的概念，进而研究图象，最后是通项公式的应用。

1数学抽象：等比数列的概念

2逻辑推理：等比数列通项公式的推导

教学

目标3数学运算：等比数列通项公式的运用

与4数学建模：等比数列的函数特征

核心

5直观想象：等比数列与指数函数的关系

素养

6数据分析：学习等比数列的概念，同时探究等比数列通项公式的推导方法，提高学生数

学判断的能力，以及参与数学活动的能力

重占等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式

难点等比数列通项公式的推导和运用

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课

通过让学生动手

情景引入做小实验，激发

$V兴趣

这种折纸的方式

将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？

涉及到我们学过

不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。

大家动手操的哪些数学知

作，看能折多识？

1看一看纸的厚度的变化

少次？指数

提示：

目前，查到的，

折1次折2次折3次折4次…折30次

用工业上用的

厚度2(21)4⑵)8(23)16(24)…230

压轧机，最多

2想一想你能折到30次吗？就是13次。大科学是需要想象

当折到30次时（纸的厚度为0.01毫米），估算家也可以自己的

纸的厚度。去查阅资料。

提示：

0.01毫米=0.01X10-3米

30次后，纸厚度为

230x0.01xIO-3=10737.41824（米）

这个厚度超过了世界最高的山峰一一珠穆朗

玛峰的高度。如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫

米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了。

讲授新课通过与等差数列

等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它进行类比，引导

的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列学生通过观察、

的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还分析、归纳出等

有怎样的数列是值得研究的？比数列的定义。

发展学生数学抽

等比数列的概念象、数学运算、数

请看下面几个问题中的数列.古巴比伦人用学建模的核心素

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录60进制记数，养。

了下面的数列：这里转化为十

2310

9,9,9,9；①进制

100,1002,1003,…，1OO10；②

5,52,53,-1510③

2.《庄子•天下》中提到：“一尺之植，日取其

半，万世不竭如果把“一尺之趣”的长度看成单

位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“梗”的

长度依次是

L工，1,A,....④

2481632

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种

细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种

细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数

是

2,4,8,16,32,64,•••⑤

4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为

厂，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分

别是

a(l+r),a(l+r)2,a(l+r)3,a(l+r)4,a(l+r)5

@

探究

类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的

运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规

律？

我们可以通过除法运算研究以上数列的取值

规律.

如果用｛即｝表示数列①，那么有

"=9,也=9,…，驷=9.

Q]U,2

这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项

起，每一项与它的前一项比都等于9.

其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出

相应的规律.

思考

类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律

中，你能抽象出等比数列的概念吗？

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与

它的前一项的比都笆了同一个常数，那么这个数列

叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公

比通常用字母g表示(显然q00)

即%l=q(q为常数，q#0,6N*)

ann

注：

(1)“从第2项起“，也就是说等比数列中至少含

有三项；

(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每

相邻两项的比“；

(3)任意一项H0且q力0

(4)“同一常数q"，q是等比数列的公比，即

q=乌-(7122)或q=%l.

an-ian

特别注意，q不可以为零，当q=l时，等比数

列为非零常数列，非零常数列是特殊的等比数列.

例如，数列(IX@的公比依次是9,100,5,p

2,1+r.

等比中项类比等差数列，

等比中项

1前提：三个得到等比中项的

与等差数列类似，如果在“和6中间插入•个

数a,G,6成概念。发展学生

数使成等比数列，那么叫做与

G,a,G,6Ga等比数列.逻辑推理、数学

b的等比中项.此时G2=ab.

2结论：G叫抽象和数学建模

注：

做a与b的等的核心素养

(1)G是a与b的等比中项，则。与b的符号

比中项.

相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.

3满足的关系

G=土病，即等比中项有两个，且互为相反数.

式：G2=ab

(2)当=必时，G不一定是a与b的等比

中项.例如。2=5x0,但0,0,5不是等比数列.

探究

你能根据等比数列的定义推导它的通项公式

吗？

设一个等比数列｛an｝的公比为q,根据等比数

列的定义，可得

%+1=an'Q'

所以

o.2~Qi.q

2

a3=a2q=Qq)q=a1q,

a4=a3q=(a/%=%q3,

由此可得

an=522).

又的=arq°=aiqiT,这就是说，当n=l时

上式也成立.

因此，首项为由,公比为夕的等比数列｛aQ的

通项公式为

等比数列与指数函数的关系

类似于等差数列与一次函数的关系，

由斯=彳~”可知，

类比指数函数

当q>0且q*1时，等比数列｛即｝的第n

的性质，说说

项即是指数函数/(x)=箕qx(x€R)当x=〃

公比q>0的

时的函数值，等比数列的单

即an=f(n)(如图叩3-1所示).调性.

公比q>0且

q41的等比

数列｛%｝的图

象有什么特

fW-点？

(5㈤]

叼/

___/叫

(3,a3]/1।

4

生n,%)；]:

012345%

图4.3-1例题巩固

反之，任.给指数函数

fW=kax(A,Q为常数，k丰0,

Q>0且Q。1)

则/(1)=ka,/(2)=ka2,…，f(n)=kan,•••

构成一个,等比数列｛加与，其首项为总，公比

为a.

等比数列的单调性

由等比数列的通项公式与指数型函数的关系

可得等比数列的单调性如下：

(1)当的>0,q>l或由<(),0<«/<1时，等

比数列｛a"为递增数列;

(2)当的>0,0<q<1或由<0,q>1时，等

比数列｛斯｝为递减数列；

(3)当q=1时，数列｛斯｝为常数列；

(4)当q<0时，数列｛斯｝为摆动数列.

下面，我们利用通项公式解决等比数列的一些

问题.

例1若等比数列｛a"的第4项和第6项分别为

48和12,求｛即｝的第5项.

分析：等比数列但工由％,q唯一确定，可利用

条件列出关于电，q的方程(组)，进行求解.

解法1：

由CI4=48,a6=12,得

(电勺3=48,①

1aIq5=12.②

②的两边分别除以①的两边，得等比数列的任

21意一项都可以

q=4'

由该数列的某

解得

11一项和公比表

q=2或-2.

示.

把q=T代入①，得

%=384.

此时

。5=a"=384X(1)4=24.

把q=-1代入①，得

=—384.

此时a5—。管"——384x=—24.

因此，｛即｝的第5项是24或-24.

解法2：

因为a5是与&6的等比中项，所以

2

a5-a4a6=48x12=576.

所以a5=±V576=±24.

因此，｛0｝的第5项是24或-24.

例2已知等比数列｛斯｝的公比为q,试用｛an｝

的第m项am表示斯.

解：由题意，得

am=aiqm-i,①

n1

an=a1<?-.②

②的两边分别除以①的两边，得

—=qn-m,

♦

所以即=nm

amq~.

注：nm

an=amq-

这个式子也称为等比数列通项公式的推广

例3数列｛a“｝共有5项，前三项成等比数列，

后三项成等差数列，第3项等于80,第2项与第4

项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求

这个数列.

分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再

进一步根据条件列方程组求解.

解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d,

则数列的各项依次为

8080

-7>—,80,804-df80+2d.

qq

于是得

80

—+(80+d)=136

[so1

卬r+(80+2d)=132.

解方程组，得

｛；二或户|

1d=16Q=-64

所以这个数列是20,40,80,96,112

或180,120,80,16,-48.

课堂练习：

1(教材P3b5改编)已知数列｛。工是等比数列，下

列说法错误的是()

A.<73,<?5>成等比数列

B.的，。9成等比数列

C.a„,an+\j“"+2成等比数列

D.n>3时,an.3,a„,a,,+3成等比数列

答案：B

提示：在等比数列中，若m+n=2p,则aman-弓，

即。山，ap,an成等比数列，所以ACD正确，

B错误.

拓展(等比数列的运算性质)

在等比数列｛a”｝中，若m+〃=p+q€

N*),则aman=apCiq，

①特别地，当m+n=2k(m,n,kG/V,)时，

aman~ak

②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两

项之积等于首末两项的积，即

%£1n=a2«n-l=…=a/c«n-k+l=…

2(等比数列的通项公式)

(1)在等比数列｛4｝中，%=3，q=3'an-

展，则项数〃为()

A.3B.4C.5D.6

(2)已知等比数列｛a“｝为递增数列，且逑=

«io>2(an+斯+2)=5an+i,则数列｛加｝的通项公

式即=____.

解：

n

(1)因为an=%qT,

所%xg”T=］即觥=针,

解得“=5.

(2)由

2(a“+W+2)=5ci"+i=2q2—5q+2=0=

1

q=2或q=w

9

由於=a10=arq>0=ax>0,

又数列｛an｝递增，所以尸2.

al=«io=(«1<?4)2=a1q9=>%=

q=2

所以数列｛。工的通项公式^=2".

答案：(DC(2)2n

3(等比中项)

(1)方程/一5%+4=0的两根的等比中项是

A.±2B.1和4C.2和4D.2和

(2)若6是“，c的等比中项，则方程a/+bx+

c=0的根的个数为——.

解：

(1)答案：A

提示：由韦达定理可得方程的两根之积为4,

而4=(±2)2,故方程的两根的等比中项是±2.

(2)答案：0

提示：

因为b是a,c的等比中项，所以/=ac力0

所以，方程a/+人工+c=0的判别式&=/?2—

4ac=-3ac<0,故其根的个数为0.

4(等比数列的判定与证明)

在数列｛即｝中，若加>0,且an+1=2an+

3(neN*).证明：数列｛a“+3｝是等比数列.

证明：

(法一定义法)

因为即>0,所以即+3>0.

又因为an+1=2an+3

所以

册+1+32a+3+32(a+3)

-------=---n-------=----n----=2

CLn+3CLn+3CLn+3

所以数列｛斯+3｝是首项为的+3,公比为2

的等比数列.