2023北京版数学高考第二轮复习-8立体几何

2023北京版数学高考第二轮复习

第八章立体几何

8.1空间几何体的表面积和体积

五年高考

考点一空间几何体的结构特征

1.（2022北京,9,4分，综合性）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是^ABC及其内部的点构成的集

合.设集合1=9百咬45｝厕T表示的区域的面积为（）

A与B.兀C.2nD.3兀

答案B

2.（2021新高考I,3,5分，基础性）已知圆锥的底面半径为近，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长

为（）

A.2B.2或C.4D.4V2

答案B

3.（2020课标I.理3,文3,5分，基础性）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正

四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积厕其侧面三角形底

边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

V5-1DV5-1「V5+1cV5+1

H--------(.---------I)---------

答案C

4.（2017北京理,7,5分,综合性）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.3V2B.25/3C.25/2D.2

答案B

5.（2018北京，文6,理5,5分，综合性）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中.直角三角形的个

数为（)

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.1B.2C.3D,4

答案C

6.（2014北京」1,5分，综合性）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为

俯视图

答案2四

7.（2020新高考I,16,5分，综合性）已知直四棱柱ABCD-ABCD的棱长均为2/BAD=60。.以U为球

心，遍为半径的球面与侧面BCC.B）的交线长为.

答案率

考点二空间几何体的表面积和体积

1.（2022全国甲，理9,文10,5分，综合性）甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧

SV

面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若7=2厕，=（）

乙乙

A•遮B.2夜C.V10D.邛

答案C

2.（2022全国乙，理9,文12,5分，基础性）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球

O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

11V3V2

AAqDB-2rC-TnDT

答案c

3.（2022新高考I45分，应用性）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题.其中一部分水蓄入

某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0knR水位为海拔157.5m时，相应

水面的面积为180.0km?.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m

上升到157.5m时，增加的水量约为（夕*265）（）

A.l.OxlO9m3B.1.2X109m3

C.1.4X109m3D.1.6X109m3

答案C

4.（2022新高考【,8,5分，综合性）已知正四棱推的侧棱长为I,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为

36兀,且3<1438,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

D.[18,27]

答案C

5.（2022新高考11,7,5分，综合性）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3遮和48,其顶点都在

同一球面上，则该球的表面积为（）

A.lOOnB.128nC.144兀D.192兀

答案A

6.（2021北京.4,4分，综合性）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

正住）视图侧（左）视图

俯视图

A.|+yB.3+V3C.|+V3D.3+y

答案A

7.（2020北京,4,4分，综合性）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）

正住）视图侧（左）视图

俯视图

A.6+V3B.6+2V3C.12+V3D.12+2百

答案D

8.（2017北京文,6,5分，综合性）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

俯视图

A.60B.30C.20D.10

答案D

9.（2016北京,6,5分，综合性）某三棱锥的三视图如图所示.则该三棱锥的体积为（）

1

侧（左）视图

111

A-6B0c.-D.1

答案A

10.（2015北京,5,5分，综合性）某三棱锥的三视图如图所示厕该三棱锥的表面积是（）

正住）视图侧（左）视图

俯视图

A.2+V5B.4+V5C.2+2遥D.5

答案C

11.（2021北京,8,4分，应用性）某一时段内,从天空降落到地面上的雨水.未经蒸发、渗漏、流失而在水平

面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位:mm）.24h降雨量的等级划分如下:

24h降雨量

等级

（精确到01）

.......

小雨0.1~9.9

中雨10.0-24.9

大雨25g9.9

暴雨50.0-99.9

.......

p——200mm-►]

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨

过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），则这24h降雨量的等级是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

答案B

12.（2021全国甲理,11,5分，综合性）已知A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且

AC±BC,AC=BC=1,贝!|三棱锥O-ABC的体积为（）

A虐B.*理D”

121244

答案A

13.（2020新高考H,13,5分，综合性）棱长为2的正方体ABCD-A山CQi中,M,N分别为棱BB>AB的中点,

则三棱锥Ai-DiMN的体积为.

答案1

14.（2019北京，文12,理11,5分，综合性）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所

示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为

答案40

15.（2022全国甲文,19,12分.综合性）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图

所示:底面ABCD是边长为8（单位:cm）的正方形,△EAB'FBC/GCD,△HDA均为正三角形，且它们

所在的平面都与平面ABCD垂直.

⑴证明:EFII平面ABCD;

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

解析取AB、BC、CD、DA的中点M、N、P、Q,连接EM、FN、GP、HQ、MN、NP、PQ、QM.

⑴证明:在正三角形ABE中,M为AB的中点，所以EMJ_AB.又平面ABEH平面ABCD=AB,且平面

ABE_L平面ABCD,所以EM_L平面ABCD.

同理FN_L平面ABCD,所以EMIIFN,

又EM=FN,

所以四边形EMNF为平行四边形，所以EFIIMN.

又MNc平面ABCD,且EF。平面ABCD.

所以EFII平面ABCD.

⑵如图，可将包装盒分割为长方体MNPQ-EFGH和四个全等的四棱锥.

AMB

易得MN=4&cm,EM=4V3cm.

所以V长方体MNPQ-EFGH=（4立）2X=128再cm3,

V四棱锥B-MNFE=^X4^3X4^2X2V2=—y—CITI3,

所以该包装盒的容积为128g+4X蜉=竽cnP.

瑟易错警示线面平行的判定中,不能忽略线不在平面内这一条件.

16.(2015北京文,18,14分，综合性)如图在三棱锥V-ABC中，平面VABL平面ABC,AVAB为等边三角

形,AC_LBC且AC=BC=V2,O,M分别为AB,VA的中点.

(1)求证》811平面MOC;

(2)求证:平面MOC_L平面VAB;

(3)求三棱锥V-ABC的体积.

解析(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,

所以OMIIVB.又因为VBG平面MOCQMu平面MOC,所以VBII平面MOC.

⑵证明:因为AC=BC,0为AB的中点，所以OC±AB.

又因为平面VAB_L平面ABC,平面VABC1平面ABC=AB,且OCc平面ABC,所以OCJ-平面VAB.

因为OCu平面MOC,所以平面MOCL平面VAB.

⑶解法一在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=&.

所以AB=2,则OC=1.所以等边三角形VAB的面积S“vAB=^AB-BVsin60°=1x2x2xy=V3.

又因为OC_L平面VAB,所以二棱锥C-VAB的体积等于界VAB,OC=1.又因为VV-ABC=VC.VAB,

所以三棱锥V-ABC的体积为当

解法二:连接VO与⑵同理，可证VOL平面ABC,在等边三角形VAB中,AB=2,所以VO=V3.

所以三棱锥V-ABC的体积等于界ABC-VO=|xixV2xV2xV3=y.

三年模拟

A组考点基础题组

考点一空间几何体的结构特征

1.（2021丰台一模,6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为（）

正住）视图侧（左）视图

7

俯视图

A.2B.2V2C.2V3D.4

答案C

2.（2021朝阳二模.5）某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的5个

面的面积中，最大的是（）

A.2B.V5C.V6D.3

答案D

3.（2022西城期末,15）在棱长为1的正方体ABCD-AIBICDI中，过点A的平面a分别与棱BB）,CCi,DDi

交于点E,F,G,记四边形AEFG在平面BCCB上的正投影的面积为Si,四边形AEFG在平面ABBiA1上

的正投影的面积为S2.给出下面四个结论：

①四边形AEFG是平行四边形；

②S1+S2的最大值为2;

③SS2的最大值为"

④四边形AEFG可以是菱形,且菱形面积的最大值为孚.

其中所有正确结论的序号是.

答案①③④

考点二空间几何体的表面积和体积

1.（2022海淀期末.9）如图,A,B是两个形状相同的杯子.且B杯高度是A杯高度的*则B杯容积与A杯容

积之比最接近的是（）

AB

A.1：3B.2：5C.3：5D.3:4

答案B

2.（2021西城二模,4）某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的体积为（）

正（主）视图侧（左）视图

84

BC84

-3-

3

A.答

案D

3.（2021海淀模拟试卷一,6）如图,网格纸上小正方形的边长为1,实线画出的是某几何体的三视图.则该几

何体的体积为（）

答案B

4.（2021东城二模,7）某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.8+3V2B.18+2V3

C.22D.10+6V5

答案D

B组综合应用题组

时间：20分钟分值25分

一、选择题（每小题4分，共20分）

1.（2021北京高三定位考试,5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱的长为（）

A.2B.2V2

C.V6D.4

答案C

2.（2021朝阳质量检测一,7）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥

最长棱的长为（）

I匚III二III

1由主j视图侧i左）视图

IIIIIII

A.2B.V5C.V6D.2V2

答案C

3.（2021西城一模,4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）

正（主）视图侧（左）视图

A.12B.8+V2C.16D.8+4V2

答案D

4.（2021海淀二模⑻已知正方体ABCD-ABCD（如图1）,点P在侧面CDDQ内（包括边界）若三棱锥

B.-ABP的俯视图为等腰直角三角形（如图2）,则此三棱锥的左视图不可能是