考点25抽样与数据分析

考点25抽样与数据分析（统计）课标对考点的要求对抽样与数据分析问题，中考命题需要满足下列要求：1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。2.体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样。3.会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。4.理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述。5.体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差。6.通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息。7.体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。8.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。9.通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势。重要考点知识解读一、数据的收集、整理与描述（一）知识框架全面调查全面调查抽样调查收集数据描述数据整理数据分析数据得出结论（二）知识概念1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。3.总体：要考察的全体对象称为总体。4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。8.频率：频数与数据总数的比为频率。9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。二、数据的分析（一）知识框架（二）知识概念1．平均数的概念（1）平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。（2）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。2．平均数的计算方法（1）定义法：当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：（2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。3．中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

4．众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。5．极差：组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。

6．方差：一组数据中，每一个数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即7．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

8．当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，，…，，那么，9．标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即三、几种常见的统计图表1．条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形．特点：（1）能够显示每组中的具体数据；（2）易于比较数据之间的差别．2．折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形．特点：易于显示数据的变化趋势．3．扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的比．扇形的圆心角=360°×百分比．4．频数分布直方图1）每个对象出现的次数叫频数．2）每个对象出现的次数与总次数的比（或者百分比）叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度．4）频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．重要问题解题思维方法总结一、对总体、个体、样本及样本容量三者关系的理解1．在理解总体、个体和样本时，一定要注意总体、个体、样本中的“考察对象”是一种“数量指标”（如身高、体重、使用寿命等），是指我们所要考察的具体对象的属性，三者之间应对应一致．2．样本容量指的是样本中个体的数目，它只是一个数字，不带单位．二、对三种常见的统计图的理解1．条形统计图中每个小长方形的高即为该组对象数据的个数（频数），各小长方形的高之比等于相应的个数（频数）之比．2．扇形统计图中，用圆代表总体，扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数，但是没有给出具体数值，因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少．3．在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时，要保证两个图中横、纵坐标的一致性，即坐标轴上同一单位长度所表示的意义应该一致．三、画直方图要求分组要遵循三个原则：不空，即该组必须有数据；不重，即一个数据只能在一个组；不漏，即不能漏掉某一个数据．四、对平均数、中位数与众数的深化理解1．如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．2．平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数；中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述数据的集中趋势；众数考察的是各数据所出现的频数，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题．五、对数据的波动的理解1．方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量．2．一组数据的每个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k2倍．中考典例解析【例题1】(2021贵州贵阳)今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（）A．小红的分数比小星的分数低 B．小红的分数比小星的分数高 C．小红的分数与小星的分数相同 D．小红的分数可能比小星的分数高【答案】D【解析】根据平均数的定义进行分析即可求解．根据平均数的定义可知，已知小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，小红的分数可能高于80分，或等于80分，也可能低于80分，小星的分数可能高于85分，或等于85分，也可能低于85分，所以上列说法比较合理的是小红的分数可能比小星的分数高．【例题2】（2021内蒙古鄂尔多斯）小明收集了鄂尔多斯市某酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（）A．平均数是 B．众数是10 C．中位数是 D．方差是【答案】D【解析】由折线图得到2021年3月1日～3月6日的用水数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．由折线图知：2021年3月1日～3月6日的用水量（单位：吨）依次是4，2，7，10，9，4，从小到大重新排列为：2，4，4，7，9，10，∴平均数是（4+2+7+10+9+4）＝6，中位数是（4+7）＝，由4都出现了2次，故其众数为4．方差是S2＝[2×（4﹣6）2+（2﹣6）2+（7﹣6）2+（10﹣6）2+（9﹣6）2]＝．综上只有选项D正确．【例题3】（2021福建）某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是_________．【答案】【解析】利用样本中的优秀率来估计整体中的优秀率，从而得出总体中的中长跑成绩优秀的学生人数．【详解】由图知：样本中优秀学生的比例为：，该校中长跑成绩优秀的学生人数是：（人）【点睛】本题考查了利用样本估计总体的统计思想，解题的关键是：根据图中信息求出样本中优秀率作为总体中的优秀率，即可求出总体中优秀的人数．【例题4】（2021广西贵港）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别为S甲2＝，S乙2＝，则两人射击成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）．【答案】乙．【解析】根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．∵S甲2＝，S乙2＝，∴S甲2＞S乙2，∴两人射击成绩比较稳定的是乙．【例题5】（2021甘肃威武定西平凉）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：等级成绩xA50≤x＜60B60≤x＜70C70≤x＜80D80≤x＜90E90≤x≤100（1）本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数分布直方图中m＝；（2）补全学生成绩频数分布直方图；（3）所抽取学生成绩的中位数落在等级；（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？【答案】见解析。【解析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以A等级对应百分比可得m的值；（2）总人数乘以C等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形；（3）根据中位数的定义求解即可；（4）总人数乘以样本中D、E等级人数和所占比例即可．解：（1）一共调查学生人数为40÷20%＝200，A等级人数m＝200×8%＝16，故答案为：200，16；（2）∵C等级人数为200×25%＝50，补全频数分布直方图如下：（3）由于一共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据都落在C等级，所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级；故答案为：C．（4）估计成绩优秀的学生有2000×＝940（人）．考点问题综合训练一、选择题1.（2021福建）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：项目作品甲乙丙丁创新性90959090实用性90909585如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】利用加权平均数计算总成绩,比较判断即可根据题意,得:甲：90×60%+90×40%=90；乙：95×60%+90×40%=93；丙：90×60%+95×40%=92；丁：90×60%+85×40%=88.【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．2．（2021广西玉林）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，他们的成绩如下表（单位：环）：甲6，7，8，8，9，9乙5，6，x，9，9，10如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩x是（）A．6环 B．7环 C．8环 D．9环【答案】B【解析】根据中位数的定义，结合表中数据，即可求出答案．根据题意可得甲的中位数是＝8，因为两人的比赛成绩的中位数相同，所以乙的中位数是8，8＝（9+x）÷2，所以x＝73．（2021贵州毕节）下列说法正确的是（）A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B．一组数据5，5，3，4，1的中位数是3 C．甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为S甲2＝，S乙2＝，说明乙的成绩比甲稳定D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件4．（2021河北省）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图2中“（）”应填的颜色是（）A．蓝 B．粉 C．黄 D．红【答案】D【解析】根据柱的高度从高到低排列的和扇形所占的百分比得出蓝色是5，所占的百分比是10%，求出调查的总人数，用16除以总人数得出所占的百分比，从而排除是红色，再根据红色所占的百分比求出喜欢红色的人数，再用总人数减去其他人数，求出另一组的人数，再根据柱的高度从高到低排列，从而得出答案．根据题意得：5÷10%＝50（人），16÷50%＝32%，则喜欢红色的人数是：50×28%＝14（人），50﹣16﹣5﹣14＝15（人），∵柱的高度从高到低排列，∴图2中“（）”应填的颜色是红色．故选：D．5．（2021辽宁本溪）如图为本溪、辽阳6月1日至5日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这5天最低气温波动情况是（）A．本溪波动大 B．辽阳波动大 C．本溪、辽阳波动一样 D．无法比较【答案】C【解析】利用方差的定义列式计算，再比较大小，从而根据方差的意义得出答案．本溪6月1日至5日最低气温的平均数为＝（℃），辽阳6月1日至5日最低气温的平均数为＝（℃）；本溪6月1日至5日最低气温的方差S12＝×[（12﹣）2×3+（15﹣）2+（13﹣）2]＝，辽阳6月1日至5日最低气温的方差S22＝×[（13﹣）2×3+（16﹣）2+（14﹣）2]＝，∵S12＝S22，∴本溪、辽阳波动一样．6．（2021广西贵港）一组数据8，7，8，6，4，9的中位数和平均数分别是（）A．7和8 B．和7 C．7和7 D．7和【答案】B【解析】根据中位数、平均数的定义分别列出算式，再进行计算即可．把这些数从小大排列为4，6，7，8，8，9，则中位数是＝；平均数是：（8+7+8+6+4+9）÷6＝7．7.（2021黑龙江大庆）小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（）A.2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的倍；B.2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；C.2020年总支出比2019年总支出增加了2%；D.2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同．【答案】A【解析】设2019年总支出为a元，则2020年总支出为a元，根据扇形统计图中的信息逐项分析即可．设2019年总支出为a元，则2020年总支出为a元，A．2019年教育总支出为a，2020年教育总支出为，，故该项正确；B．2019年衣食方面总支出为a，2020年衣食方面总支出为，，故该项错误；C．2020年总支出比2019年总支出增加了20%，故该项错误；D．2020年其他方面的支出为，2019年娱乐方面的支出为a，故该项错误．【点睛】本题考查扇形统计图，能够从扇形统计图中获取相关信息是解题的关键．8．（2021黑龙江鹤岗）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差【答案】D【分析】根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．解：原数据2，4，4，4，6的平均数为×（2+4+4+4+6）＝4，中位数为4，众数为4，方差为×[（2﹣4）2+（4﹣4）2×3+（6﹣4）2]＝；新数据的2，4，4，6的平均数为×（2+4+6+4）＝4，中位数为4，众数为4，方差为×[（2﹣4）2+（4﹣4）2×2+（6﹣4）2]＝2．9.（2021齐齐哈尔）喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数平均数是6，则这组数据的中位数（）A.5 B. C.6 D.7【答案】C【解析】根据平均数的定义，先求出x，再将数据从小到大排序，找出最中间的数，即为中位数．根据题意得：，解得：，排序得：，故中位数为：6．【点睛】本题考查了平均数和中位数，掌握平均数和中位数的概念是解题关键．10．（2021四川凉山）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：成绩60708090100人数3913169则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（）A．90，80 B．16，85 C．16， D．90，85【答案】D【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．90出现的次数最多，众数为90．这组数据一共有50个，已经按大小顺序排列、90．二、填空题1.（2021辽宁锦州）甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s2甲＝，s2乙＝，如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选____（填“甲”或“乙”）．【答案】甲【解析】根据方差的意义求解即可．∵s2甲＝，s2乙＝，∴s2甲＜s2乙，则甲的成绩比较稳定，．【点睛】此题考查方差的实际应用，掌握方差的大小对数据稳定性的决定性作用是解题的关键．2．（2021湖北鄂州）“最美鄂州，从我做起”．“五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动．6名志愿者参加劳动的时间（单位：小时）分别为：3，2，2，3，1，2．这组数据的中位数是．【答案】2【解析】根据中位数的定义求解可得．将数据重新排列为：1，2，2，2，3，3，所以这组数据的中位数为＝2．3．（2021甘肃威武定西平凉）开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：体温（℃）天数（天）233411这14天中，小芸体温的众数是℃。【答案】【解析】根据众数的定义就可解决问题．出现的次数最多有4次，所以众数是．4．（2021湖南永州）某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是．【答案】甲．【解析】根据折线统计图中甲、乙成绩的起伏情况判断即可得解．根据折线统计图可得，甲的投篮技能测试成绩起伏小，比较平稳，乙的投篮技能测试成绩起伏大，不稳定，因此A班应该选择的同学是甲．三、解答题1．（2021湖南永州）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．200名学生党史知识竞赛成绩的频数表组别频数频率A组（～）aB组（～）30C组（～）50bD组（～）60请结合图表解决下列问题：（1）频数表中，a＝，b＝；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是组；（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．【答案】见解析。【解析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出a、b、c的值；（2）根据（1）中a、b的值，可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次党史知识竞赛成绩超过80分的学生人数．解：（1）∵30÷＝200，∴a＝200×＝60，b＝50÷200＝，故答案为：60，；（2）由（1）知，a＝60，如图，即为补全的频数分布直方图；（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组；故答案为：C；（4）1000×（）＝1000×＝550（人），即本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数有550人．2．(2021贵州贵阳)2020年我国进行了第七次全国人口普查，小星要了解我省城镇及乡村人口变化情况，根据贵州省历次人口普查结果，绘制了如下的统计图表．请利用统计图表提供的信息回答下列问题：贵州省历次人口普查城镇人口统计表年份1953196119821990200020102020城镇人口（万人）11020454063584511752050城镇化率7%12%19%20%24%a53%（1）这七次人口普查乡村人口数的中位数是万人；（2）城镇化率是一个国家或地区城镇人口占其总人口的百分率，是衡量城镇化水平的一个指标．根据统计图表提供的信息，我省2010年的城镇化率a是（结果精确到1%）；假设未来几年我省城乡总人口数与2020年相同，城镇化率要达到60%，则需从乡村迁入城镇的人口数量是万人（结果保留整数）；（3）根据贵州省历次人口普查统计图表，用一句话描述我省城镇化的趋势．【答案】见解析。【解析】（1）根据中位数的定义即可解答．（2）用2010年的城镇人口数除以2010年的人口总数可得2010年的城镇化率a，用2020我省城乡总人口数乘以60%减去现有城镇人口数即可解答．（3）根据表格中的城镇化率即可解答．解：（1）这七次人口普查乡村人口数从小到大排列为：1391，1511，1818，2300，2315，2616，2680，∴中位数是第四个数2300，故答案为：2300；（2）1175÷（2300+1175）×100%≈34%，（2050+1818）×60%﹣2050≈271（万人），故答案为：34%，271；（3）随着年份的增加，城镇化率越来越高．3．（2021黑龙江鹤岗）为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中共抽取名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？【答案】见解析。【解析】（1）根据A所占的百分比，根据频数、频率、总数之间的关系即可求出本次调查中共抽取的学生数；（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出B、C等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；（3）根据（2）中的结果计算出B等级所对应的扇形圆心角的度数；（4）求出A、B等级所占整体的百分比即可求出相应的人数．解：（1）26÷26%＝100（名），故答案为：100；（2）D等级所占的百分比为：10÷100×100%＝10%，则B等级所占的百分比为：1﹣26%﹣20%﹣10%﹣4%＝40%，故B、C等级的学生分别为：100×40%＝40（名），100×20%＝20（名），补全条形图如下，（3）B等级所对应的扇形圆心角的度数为：360°×40%＝144°；（4）1200×＝792（名），答：估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名．4.（2021齐齐哈尔）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是__________；（2）请补全条形图；（3）扇形图中，_________，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是