2022高考二轮-数学（新高考版）小题考法(一) 函数图象与性质

第六板块

函数与导数明明白白知高考

函数与导数是高中数学的基础和主线内容，高考对这部分的考查选择题、填空题、解答题均有涉及，难度有大有小．从考查内容上看，小题主要涉及函数的图象，指数式、对数式的比较大小，函数的性质及零点问题，导数的几何意义，构造函数解不等式等．解答题均是作为压轴题出现的，难度较大，具有很好的区分度．导数题强调“用”，“用”就是导数的应用，即用导数来研究函数的单调性与极值．考查内容主要包括：导数与函数的单调性、极值，利用导数解决不等式问题，利用导数研究函数的零点问题等．考查的函数一般是多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数这几种函数的组合.2021年新高考Ⅱ卷T22第(2)问为结构不良问题，体现了结构不良问题适度开放命题的科学性与素养导向．融会贯通串知识

一、主干知识·以点带面(一)函数的概念与性质主干知识点概念及图象(1)函数的定义．(2)函数的图象：对于函数的图象要会作图、识图和用图．(3)函数图象的对称性及变换三种常考性质(1)单调性：复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性．(3)周期性：若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数续表(二)导数导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)两种基本应用(1)利用导数研究函数的单调性①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0；②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．两种基本应用(2)利用导数研究函数的极值、最值①若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值；②设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得续表三种综合应用(1)利用导数研究函数的零点，可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解．(2)利用导数证明不等式若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)．(3)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I)；②∃x∈I，使f(x)>g(x)成立⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I)；③对∀x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2)⇔

f(x)max≤g(x)min；④对∀x1∈I，∃x2∈I使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min续表三、易错易误·注意防范1．忽略函数的定义域(1)判断函数的单调性时，要函数的定义域优先；(2)判断函数的奇偶性时，忽略函数的定义域会导致结论错误；(3)求复合函数单调区间时，忽略定义域而致误；(4)研究函数的导数时，忽略定义域而致误．2．忽略基本初等函数的形式、定义和性质如讨论指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的单调性时，不讨论底数的取值；忽略ax＞0的隐含条件；幂、指数、对数函数的性质记忆不准确．3．混淆可导函数的极值点与导函数的零点(1)可导函数f(x)的极值点与其导函数f′(x)的零点都是一个数，而不是点的坐标；(2)导函数f′(x)的变号零点才是函数f(x)的极值点；导函数f′(x)的不变号零点不是函数f(x)的极值点．[提分技巧]1．求函数定义域的策略(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可．(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解．2．分段函数的解题策略对于分段函数求值或解不等式问题，一定要根据变量的取值条件进行分段讨论．利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化．

[提分技巧]周期性与奇偶性的综合应用周期性与奇偶性相结合的问题多为求函数值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值对应的自变量转化到已知解析式的区间内求解．

[典例3]已知函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数．∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＜0，则不等式f(－2x＋1＋1)＜f(5)的解集为________．[解题微“点”]切入点由函数f(x＋1)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝1对称，由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＜0⇒f(x)在[1，＋∞)上为增函数关键点将自变量化归到函数的同一单调区间内，脱掉“f”解不等式[解析]

法一：因为函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称．因为f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x＋1)的图象，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＜0，所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，由此可得函数f(x)在(－∞，1)上单调递减．因为f(－2x＋1＋1)＜f(5)，且f(5)＝f(－3)，－2x＋1＋1＜1，所以－2x＋1＋1＞－3，即2x＋1＜4，解得x＜1，所以所求不等式的解集为(－∞，1)．法二：设g(x)＝f(x＋1)，因为函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，所以g(x)是定义在R上的偶函数．因为∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＜0，所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，即g(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为f(－2x＋1＋1)＜f(5)，所以g(－2x＋1＋1－1)＜g(5－1)，即g(－2x＋1)＜g(4)，所以g(|－2x＋1|)＜g(4)，即|－2x＋1|＜4，所以0＜2x＋1＜4，解得x＜1，所以所求不等式的解集为(－∞，1)．[答案]

(－∞，1)[提分技巧]奇偶性与单调性的综合应用(1)比较函数值的大小：先利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．(2)求解抽象函数不等式：对于抽象函数不等式，应先变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，如x1＞x2(或x1＜x2)求解．如果函数f(x)是偶函数，则由f(x1)＞f(x2)可得|x1|＞|x2|(或|x1|＜|x2|)．

切入点作出f(x)的图象，利用图象求出x2的范围及f(x2)，再求x2f(x2)的范围隐藏点准确理解f(x1)＝f(x2)＝f(x3)的含义及图形表示，事实上，x1，x2，x3是平行于x轴的直线与f(x)图象交点的横坐标[提分技巧]1．根据函数的解析式选择函数图象的方法已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断．2．函数图象的应用(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．

4．(注重开放探究)已知函数f(x)的定义域为D，给出下列两个条件：①对于任意x1，x2∈D，当x1≠x2时，总有f(x1)≠f(x2)；②f(x)在定义域内不是单调函数．请写出一个同时满足条件①②的函数f(x)，则f(x)＝________.5．(注重开放探究)有以下三个条件：①定义域不是R；②值域为R；③奇函数．写出一个同时满足