备战2022年高考二轮优化探究数学(理) 第4课时　利用导数研究不等式成立问题

第4课时利用导数研究不等式成立问题求解不等式恒成立问题的方法(1)构造函数，分类讨论遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．(2)部分分离，化为切线若不等式可以等价变形为f(x)>k(x－x0)＋b的形式，由不等式恒成立问题知函数y＝f(x)的图象都在过定点的直线y＝k(x－x0)＋b的上方，运用运动的思想探求问题，参数取值范围的临界值就是直线与函数图象相切时对应的参数值，而临界值往往应用导数的几何意义来确定．(3)完全分离，函数最值分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为函数v(x)max(v(x)min)与参数a进行比较，得到a≥v(x)max(a≤v(x)min)，即可解决问题．(4)换元分离，简化运算处理不等式恒成立问题时，经常遇到式子比较复杂或含有多个变量，此时可以通过条件、结论分析入手，根据不等式的结构特征，将不等式变形为左右两边结构相同的不等式类型，构造相应的特征函数，然后通过研究该函数的单调性来解决问题．(5)放缩构造，化繁为简有时可以利用不等式的传递性，先进行适当的放缩，再构造合适的函数进行求解．常见的放缩依据有x－1≥lnx(x>0)，xlnx≥x－1(x>0)，ex≥x＋1，ex≥x(x>0)，…．以上五种通法各有利弊，需结合不等式的特征合理选择．在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”．依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界．1．有关存在成立问题的解题方法∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)等价于函数f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值，即f(x)min>g(x)min(这里假设f(x)min，g(x)min存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值大于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数y＝g(x)的所有函数值．∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)<g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最大值小于函数g(x)在D2上的最大值，即f(x)max＜g(x)max(这里假设f(x)max，g(x)max存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值小于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求小于函数y＝g(x)的所有函数值．2．注意不等式恒成立与存在成立的异同不等式在某区间上能成立与不等式在某区间上恒成立问题是既有联系又有区别的两种情况，解题时应特别注意，两者都可转化为最值问题，但f(a)≥g(x)(f(a)≤g(x))对存在x∈D能成立等价于f(a)≥g(x)min(f(a)≤g(x)max)，f(a)≥g(x)(f(a)≤g(x))对任意x∈D都成立