高考数学第一轮知识点巩固题库第1讲变化率与导数导数的运算(含解析)新人教A版

第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的运算一、选择题1．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()A．－eq\f(1,5)B．0C.eq\f(1,5)D．5解析因为f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x＝0处取得极值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为0，选B.答案B2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f(x)>0，xf′(x)＋f(x)<0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有 ()．A．af(b)<bf(a) B．bf(a)<af(b)C．af(a)<f(b) D．bf(b)<f(a)解析构造函数F(x)＝eq\f(fx,x)(x>0)，F′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)，由条件知F′(x)<0，∴函数F(x)＝eq\f(fx,x)在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴eq\f(fa,a)<eq\f(fb,b)，即bf(a)<af(b)．答案B3．已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋eq\f(1,a)x(a>0)，则f(2)的最小值为 ()．A．12eq\r(3,2) B．12＋8a＋eq\f(1,a)C．8＋8a＋eq\f(2,a) D．16解析f(2)＝8＋8a＋eq\f(2,a)，令g(a)＝8＋8a＋eq\f(2,a)，则g′(a)＝8－eq\f(2,a2)，由g′(a)>0得a>eq\f(1,2)，由g′(a)<0得0<a<eq\f(1,2)，∴a＝eq\f(1,2)时f(2)有最小值．f(2)的最小值为8＋8×eq\f(1,2)＋eq\f(2,\f(1,2))＝16.故选D.答案D4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()．A．－eB．－1C．1解析由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋eq\f(1,x)，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f答案B5．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()．A．26B．29C．212解析函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.答案C6．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则()．A．h(1)<h(0)<h(－1)B．h(1)<h(－1)<h(0)C．h(0)<h(－1)<h(1)D．h(0)<h(1)<h(－1)解析由图象可知f′(x)＝x，g′(x)＝x2，则f(x)＝eq\f(1,2)x2＋m，其中m为常数，g(x)＝eq\f(1,3)x3＋n，其中n为常数，则h(x)＝eq\f(1,2)x2－eq\f(1,3)x3＋m－n，得h(0)<h(1)<h(－1)．答案D二、填空题7．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·eq\f(3,x)＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案y＝4x－38．若过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析y′＝ex，设切点的坐标为(x0，y0)则eq\f(y0,x0)＝ex0，即eq\f(ex0,x0)＝ex0，∴x0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.答案(1，e)e9．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在x＝1处的导数f解析∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x∴x＝1时，f(1)＝2f∴f(1)＝1，即点(1,1)，在曲线y＝f(x)上．又∵f′(x)＝－2f′(2－x)－2xx＝1时，f′(1)＝－2f∴f′(1)＝2.答案210．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为：y＝2＋eq\f(t2,20－t)(1≤t≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．解析∵y＝2＋eq\f(t2,20－t)(1≤t≤12)，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(t2,20－t)))′＝2′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,20－t)))′＝eq\f(t2′20－t－t220－t′,20－t2)＝eq\f(40t－t2,20－t2).由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y′|t＝10＝eq\f(40×10－102,20－102)＝3.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月．答案3三、解答题11．求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；(2)y＝ln(x＋eq\r(1＋x2))；(3)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(4)y＝2xsin(2x＋5)．解(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.(2)y′＝eq\f(1,x＋\r(1＋x2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2x,2\r(1＋x2))))＝eq\f(1,\r(1＋x2)).(3)∵y＝eq\f(ex＋1,ex－1)＝1＋eq\f(2,ex－1)∴y′＝eq\f(－2ex,ex－12).(4)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)．12．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1<x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围．解析(1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，由此解得a＝－2，b＝5；切线l的方程为：x－y－2＝0.(2)由(1)得f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x，依题意得：方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相等的根0，x1，x2，故x1，x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0⇒m>－eq\f(1,4)；又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1<－m成立，即0<－m⇒m<0，由韦达定理知：x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0，故0<x1<x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x>0，则f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0；又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，所以函数在x∈[x1，x2]上的最大值为0，于是当m<0时对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立．综上：m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))13．设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq\f(7,4)x－3，当x＝2时，y＝eq\f(1,2).又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋eq\f(3,x2)知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x20)))·(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x20)))(x－x0)．令x＝0得，y＝－eq\f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,x0))).令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(6,x0)))|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.14．设f(x)＝ln(x＋1)＋eq\r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b，为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝eq\f(3,2)x在(0,0)点相切．(1)求a，b的值；(2)证明：当0<x<2时，f(x)<eq\f(9x,x＋6).(1)解由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1.由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为eq\f(3,2)，又y′|x＝0＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)＋\f(1,2\r(x＋1))＋a))))x＝0＝eq\f(3,2)＋a，得a＝0.(2)证明当x>0时，2eq\r(x＋1·1)<x＋1＋1＝x＋2，故eq\r(x＋1)<eq\f(x,2)＋1.记h(x)＝f(x)－eq\f(9x,x＋6)，则h′(x)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,2\r(x＋1))－eq\f(54,x＋62)＝eq\f(2＋\r(x＋1),2x＋1)－eq