最优化模型计算四

最优化模型计算四第一页，共三十二页，2022年，8月28日建模时需要注意的几个基本问题

1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求最大/最小值、四舍五入、取整函数等3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量的个数（如x/y<5改为x<5y）4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值5、模型中使用的参数数量级要适当(如小于103)第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题第二页，共三十二页，2022年，8月28日CUMCM-2000B钢管订购和运输问题要铺设一条的天然气管道(见上图)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。第三页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂Si在指定期限内能生产该钢管的最大数量为si个单位，钢管出厂销价1单位钢管为pi万元，如下表i1234567si80080010002000200020003000pi1601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)≤300301～350351～400401～450451～500501～600601～700701～800801～900901～1000运价(万元)20232629323744505560第四页，共三十二页，2022年，8月28日1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题（1）请制定一个钢管的订购和运输计划，使总费用最小。（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。第五页，共三十二页，2022年，8月28日A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)图二第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题第六页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题变量与符号说明aij

站点Ai至Aj的距离（即为铺设管道的钢管数量）si

钢厂Si的最大生产量xij

从钢厂Si运往站点Aj的钢管数量cij

从钢厂Si运1单位钢管到Aj的最小费用（含销价）yj

从Aj往左铺设的钢管数量zj

从Aj往右铺设的钢管数量fi 0-1变量，表示钢厂Si是否生产f

总费用第七页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题问题分析从钢厂Si向站点Aj运输钢管时，应该走费用最低的路线。首先利用网络最短路算法，计算钢厂Si到站点Aj的最小费用cij，它是销售价和运输费用之和。具体数值见下表cijA2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1320.3300.2258.6198180.5163.1181.2224.2252256266281.2288302S2360.3345.2326.6266250.5241226.2269.2297301311326.2333347S3375.3355.2336.6276260.5251241.2203.2237241251266.2273287S4410.3395.2376.6316300.5291276.2244.2222211221236.2243257S5400.3380.2361.6301285.5276266.2234.2212188206226.2228242S6405.3385.2366.6306290.5281271.2234.2212201195176.2161178S7425.3405.2386.6326310.5301291.2259.2236226216198.2186162注：各钢厂运往站点A4的最短路径均需经过A5第八页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题在铺设管道时，将沿着铺设路线离散卸货，即运到站点Aj后，还要在铺设路线上运输（不足整公里部分按整公里计算），每铺设1公里，就要卸下1单位钢管。于是从点Aj向左或右铺设m单位钢管，需要的运费为构造模型目标函数是总费用最小

钢厂运到站点的总费用站点到铺设工地的运输费用第九页，共三十二页，2022年，8月28日约束条件（1）钢厂Si的钢管产量限制第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题（2）钢厂Si如果有订货，至少500单位（3）Aj和Aj+1之间相向铺设数量之和为其距离（4）运到Aj的钢管数等于Aj向左右铺设数量（5）决策变量的非负约束第十页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题问题1的数学模型站点A1的钢管全部自A2运来，所以xi1=0第十一页，共三十二页，2022年，8月28日model:

sets:

!si表示最大生产能力，f为0-1变量、表示是否生产，rs表示实际产量;steel/S1..S7/:si,f,rs;

!hm为站点编号，yj和zj分别表示向左、右铺设的钢管数，aj表示Aj到Aj+1距离;stat/A2,A3,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,A12,A13,A14,A15/:hm,yj,zj,aj;

!c是最小费用矩阵，x是决策变量;links(steel,stat):c,x;

endsets

data:si=80080010002000200020003000;hm=2356789101112131415;aj=301,1356,194,205,201,680,480,300,220,210,420,500,0;c=第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题各钢厂运到A4的最短路径都经过A5，所以不考虑A4站点问题1的LINGO模型第十二页，共三十二页，2022年，8月28日320.3300.2198180.5163.1181.2224.2252256266281.2288302360.3345.2266250.5241226.2269.2297301311326.2333347375.3355.2276260.5251241.2203.2237241251266.2273287410.3395.2316300.5291276.2244.2222211221236.2243257400.3380.2301285.5276266.2234.2212188206226.2228242405.3385.2306290.5281271.2234.2212201195176.2161178425.3405.2326310.5301291.2259.2236226216198.2186162

;

enddata!目标函数为总费用;min=@sum(links:c*x)+0.05*@sum(stat:yj+yj*yj+zj+zj*zj);!钢厂实际产量;@for(steel(i):rs(i)=@sum(stat(j):x(i,j)));!生产能力与产量限制;@for(steel(i):rs(i)<=si(i)*f(i); rs(i)>=500*f(i)); !到达各站点的钢管数;@for(stat(j):@sum(steel(i):x(i,j))=yj(j)+zj(j)); !每段管道自左右方向运来的钢管数;@for(stat(j)|hm(j)#lt#15:zj(j)+yj(j+1)=aj(j));@for(steel(i):@bin(f(i))); !各钢厂是否生产标记;@for(stat(j):@gin(yj(j));@gin(zj(j))); !运输量取整数;yj(1)=104; zj(13)=0;end第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题第十三页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题Localoptimalsolutionfoundatiteration:1281Objectivevalue:1278632.VariableValueReducedCostRS(S1)800.00000.000000RS(S2)800.00000.000000RS(S3)1000.0000.000000RS(S4)0.0000000.000000RS(S5)1366.0000.000000RS(S6)1205.0000.000000RS(S7)0.0000000.000000YJ(A2)104.00000.000000YJ(A3)226.00000.000000YJ(A5)1074.0000.000000YJ(A6)184.00000.000000YJ(A7)189.00000.000000YJ(A8)125.00000.000000YJ(A9)505.00000.000000YJ(A10)321.00000.000000YJ(A11)270.00000.000000YJ(A12)75.000000.000000YJ(A13)199.00000.000000YJ(A14)286.00000.000000YJ(A15)165.00000.3797138E-05ZJ(A2)75.000000.2653848E-05ZJ(A3)282.00000.1955465E-04ZJ(A5)10.000000.9997957E-01ZJ(A6)16.000000.9998874E-01ZJ(A7)76.00000-0.2661004E-05ZJ(A8)175.00000.7097367E-05ZJ(A9)159.00000.2409726E-05ZJ(A10)30.00000-0.3583863E-05ZJ(A11)145.0000-0.1601378E-05ZJ(A12)11.00000-0.2274057E-04ZJ(A13)134.00000.9606250E-06ZJ(A14)335.00000.000000ZJ(A15)0.0000000.000000X(S1,A5)335.00000.000000X(S1,A6)200.00000.000000X(S1,A7)265.00000.000000X(S2,A2)179.00000.000000X(S2,A5)321.00000.000000X(S2,A8)300.00000.000000X(S3,A5)336.00000.000000X(S3,A9)664.00000.000000X(S5,A3)508.00000.000000X(S5,A5)92.000000.000000X(S5,A10)351.00000.000000X(S5,A11)415.00000.000000X(S6,A12)86.000000.000000X(S6,A13)333.00000.000000X(S6,A14)621.00000.000000X(S6,A15)165.00000.000000第十四页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题A2A3A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15合计S1335200265800S2179321300800S33366641000S5508923514151366S6863336211651205合计1795081084200265300664351415863336211655171左运104226107418418912550532127075199286165右运7528210167617515930145111343350模型1的具体运输方案如下模型1的总费用为：1278632万元第十五页，共三十二页，2022年，8月28日1.销售价格的灵敏度分析第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题灵敏度分析S5和S6两个工厂的钢管用料比较大，其销售价格的变化对总费用的影响必然较大。现将各钢厂单位钢管的销售价格分别增加和减少1万元、4万元，再次求解模型1，得到总费用变化如下表钢厂Pi增1万元总费用上升Pi增4万元总费用上升Pi减1万元总费用减少Pi减4万元总费用减少S180032008003200S280032008003200S31000400010004000S51007394013695504S61202382915646344S7000971第十六页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题2.产量上限的灵敏度分析S4和S7两个工厂的钢管生产量为零，S5和S6的钢管产量小于其产量上限，所以这4个钢厂的产量上限在一定范围内变化时，对总费用不发生影响。而S1、S2和S3的钢管生产是满负荷的，它们产量上限的变化将对总费用产生明显的影响。现将它们钢管生产能力分别增加和减少20单位、100单位，再次求解模型1，得到总费用变化如下表钢厂si增20单位总费用减少si增100单位总费用减少si减20单位总费用上升si减100单位总费用上升S1206010300206010300S270035007003500S350025005002500第十七页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题CUMCM-2003B露天矿生产的车辆安排问题

露天铁矿的的生产主要是由电铲装车、卡车运输来完成。露天矿里有若干个爆破生成的石料堆（称为铲位），每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。每个铲位至多安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。卸货地点（卸点）有矿石漏、倒装场、岩石漏、岩场等，卸点有各自的产量要求。矿石卸点需要铁含量品位限制29.5±1%，搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均卸车时间为3分钟。

第十八页，共三十二页，2022年，8月28日卡车载重154吨，平均时速28km/h。每个班次每台卡车消耗近1吨柴油。发动机点火需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次只在开始工作时点火一次。卡车等待时耗费的能量相当可观，，安排时不应让卡车等待。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。卡车每次都是满载运输。第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题铲位到卸点的每条道路都是宽60m的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的长度都是已知的。一个班次的生产计划包含：出动几台电铲，在哪些铲位上；出动几辆卡车，在哪些路线上运输多少次。合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：1.总运量（吨公里）最小，出动最少卡车，即运输成本最小；模型一2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。模型二第十九页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题根据上面的两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。对于下面实例，给出具体的生产计划、计算相应的总运量及岩石和矿石产量。

某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。各卸点一个班次的产量要求：矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。铲位和卸点位置的二维示意图如上所示：第二十页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表：铲位1铲位2铲位3铲位4铲位5铲位6铲位7铲位8铲位9铲位10矿石漏5.265.194.214.002.952.742.461.900.641.27倒装场Ⅰ1.900.991.901.131.272.251.482.043.093.51岩场5.895.615.614.563.513.652.462.461.060.57岩石漏0.641.761.271.832.742.604.213.725.056.10倒装场Ⅱ4.423.863.723.162.252.810.781.621.270.50各铲位矿石、岩石数量(万吨)和矿石的平均铁含量如下表

：铲位1铲位2铲位3铲位4铲位5铲位6铲位7铲位8铲位9铲位10矿石量0.951.051.001.051.101.251.051.301.351.25岩石量1.251.101.351.051.151.351.051.151.351.25铁含量30%28%29%32%31%33%32%31%33%31%第二十一页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题基本假设(1)

忽略各种随机因素引起的电铲和卡车临时停顿，即认为它们在一个班次（8小时）中连续工作。(2)

卡车在路上不发生堵车，空载与满载的速度都是28km/h。(3)卸点的品位限制（29.5±1%），只考虑一个班次的总量满足品位限制即可。岩石不能掺入铁矿石。(4)

卡车每车都装满154吨。如果8小时内完成，卡车可提前退出。(5)每个班次的所有卡车在刚上班时，都是空车。(6)电铲定铲位后，一个班次（8小时）内不再移动铲位。第二十二页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题符号说明Pi

代表铲位，i=1,2,…,10Qj

代表卸点，j=1,2,…,5xij

从Pi到Qj的石料数，运到岩石漏和岩场的是岩石车·次cij

从Pi到Qj的距离公里Tij

从Pi到Qj路线上运行一个周期的平均时间分Aij

从Pi到Qj路线上最多能同时运行的卡车数辆Bij

从Pi到Qj，一辆车一个班次的最多运行次数次Ri

第i号铲位的铁矿石含量%di

第j号卸点的任务需求车·次ki,si

分别表示第i号铲位的铁矿石、岩石储量车·次Yi

标志第i号铲位是否安排电铲的0-1变量第二十三页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题模型一分析1模型目标在现有设备和满足生产要求的前提下，先满足总运量（吨·公里）最小，再考虑调度方案，使卡车数量最少。2约束条件分析(1)卡车运行一个周期的平均时间（单位：分）(2)一条路线上在卡车不等待条件下，最多能运行的卡车数第二十四页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题(4)电铲与卸点能力限制每台电铲一个班次（8小时）最多装96车；每个卸点8小时最多卸160车。(3)每辆卡车在路线上8小时最多运行次数每条路线的运量限制第二十五页，共三十二页，2022年，8月28日(6)卸点的品位约束第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题(5)产量任务约束五个卸点的产量任务折合成车·次数为d=（78，85，85，124，85）每个铲位铁矿石储量折合成车·次数为

k=（61,68,64,68,71,81,68,84,87,81）每个铲位岩石储量折合成车·次数为

s=（81,71,87,68,74,87,68,74,87,81）第二十六页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题(7)电铲与卡车数量约束三个矿石卸点的品位规定为(28.5,30.5)（%）(8)变量的整数约束模型一可以表示为如下的整数线性规划模型第二十七页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题第二十八页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题model:titleCUMCM-2003B-01;sets:chan/1..10/:R,cnum,cy,ck,Y;xie/1..5/:xsubject,xnum;link(xie,chan):c,lsubject,x,che,b;endsetsdata:R=30282932313332313331;xsubject=1.21.31.31.91.3;c=5.265.194.214.002.952.742.461.900.641.271.900.991.901.131.272.251.482.043.093.515.895.615.614.563.513.652.462.461.060.570.641.761.271.832.742.604.213.725.056.104.423.863.723.162.252.810.781.621.270.50;cy=1.251.101.351.051.151.351.051.151.351.25;ck=0.951.051.001.051.101.251.051.301.351.25;enddata第二十九页，共三十二页，2022年，8月28日第四讲应用LINGO软件求解数学建模问题min=@sum(link:154*c*x);!目标函数;!卡车每一条路线上最多可以运行的次数;@for(link(i,j):b(i,j)=@floor((8*60-(@floor((c(i,j)/28*60*2+3+5)/5)-1)*5)/(c(i,j)/28*60*2+3+5)));!每