数值分析 插值法

数值分析插值法第一页，共六十页，2022年，8月28日22.1引言

设函数在区间上有定义，且已知在点

上的值，函数，若存在一简单使成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含节点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法.第二页，共六十页，2022年，8月28日3

若是次数不超过的代数多项式，其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法本章只讨论多项式插值与分段插值.

若为分段的多项式，就称为分段插值.

若为三角多项式，就称为三角插值.即称为多项式插值.第三页，共六十页，2022年，8月28日4

从几何上看，插值法就是确定曲线，使其通过给定的个点，并用它近似已知曲线

.图2-1见图2-1.第四页，共六十页，2022年，8月28日5

本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；

讨论插值多项式的存在唯一性、收敛性及误差估计等.第五页，共六十页，2022年，8月28日6

2.2多项式插值设在[a,b]上给定n+1个点

上的函数值yi=f(xi)(i=0,…n),求次数不超过n的多项式P(x)，满足P(xi)=yi,(i=0,…n),

既满足线性方程组第六页，共六十页，2022年，8月28日7

因为线性方程组的系数行列式

所以线性方程组的解存在且唯一。第七页，共六十页，2022年，8月28日8

在次数不超过的多项式集合中，满足条件的插值多项式是存在唯一的.定理1第八页，共六十页，2022年，8月28日9

1.线性插值

对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得插值多项式.

先讨论的简单情形.问题：给定区间及端点函数值，要求线性插值多项式，2.3拉格朗日插值使它满足第九页，共六十页，2022年，8月28日10

其几何意义就是通过两点的直线.图2-2如图2-2.第十页，共六十页，2022年，8月28日11由的几何意义可得到表达式（点斜式），（两点式），

由两点式看出，是由两个线性函数的线性组合得到，其系数分别为及，即第十一页，共六十页，2022年，8月28日12称及为线性插值基函数，显然，及也是线性插值多项式，在节点及上满足条件图形见图2-3.第十二页，共六十页，2022年，8月28日13图2-3第十三页，共六十页，2022年，8月28日14

根据插值的定义应满足先定义次插值基函数.

为构造，2.n次插值多项式第十四页，共六十页，2022年，8月28日15

定义1就称这个次多项式为节点上的次插值基函数.

若次多项式在个节点上满足条件第十五页，共六十页，2022年，8月28日16显然它满足条件.

于是，满足条件的插值多项式Ln(x)可表示为

与前面的推导类似，次插值基函数为第十六页，共六十页，2022年，8月28日17由的定义，知容易求得

若引入记号称为拉格郎日（Lagrange)插值多项式而线性插值与抛物线插值是n=1和n=2的特殊情形第十七页，共六十页，2022年，8月28日18于是上述公式可改写成

注意:

次插值多项式通常是次数为的多项式，特殊情况下次数可能小于.

关于插值多项式存在唯一性有以下定理.第十八页，共六十页，2022年，8月28日193.插值余项与误差估计

设在上连续，在内存在，节点是满足条件的插值多项式，则对任何，插值余项

若在上用近似，则其截断误差为也称为插值多项式的余项.定理2.第十九页，共六十页，2022年，8月28日20

由给定条件知在节点上为零，即，其中是与有关的待定函数.

现把看成上的一个固定点，作函数根据插值条件及余项定义，可知在点及处均为零，故在上有个零点.证明于是第二十页，共六十页，2022年，8月28日21根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，故在内至少有个零点.

对再应用罗尔定理，可知在内至少有个零点.

依此类推，在内至少有一个零点，记为，使第二十一页，共六十页，2022年，8月28日22于是将它代入，

余项表达式只有在的高阶导数存在时才能应用.

但在内的具体位置通常不可能给出，如果可以求出那么插值多项式逼近的截断误差限是且依赖于就得到余项表达式.第二十二页，共六十页，2022年，8月28日23当时，线性插值余项为当时，抛物插值余项为第二十三页，共六十页，2022年，8月28日24若取，则

根据定理2，可得若令它可用来检验函数组的正确性.第二十四页，共六十页，2022年，8月28日25由题意,取

用线性插值计算，例1已知的值并估计截断误差.用线性插值及抛物插值计算解取由点斜式公式（点斜式），第二十五页，共六十页，2022年，8月28日26第二十六页，共六十页，2022年，8月28日27

其截断误差其中于是第二十七页，共六十页，2022年，8月28日28

用抛物插值计算，由公式得第二十八页，共六十页，2022年，8月28日29

其中于是这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了.截断误差限第二十九页，共六十页，2022年，8月28日30第三十页，共六十页，2022年，8月28日312.4.差商与牛顿插值公式

1.差商

利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化.第三十一页，共六十页，2022年，8月28日32其中为待定系数，确定.

为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式:可由个插值条件第三十二页，共六十页，2022年，8月28日33

当时，

当时，依此递推可得到.

当时，推得推得由，由第三十三页，共六十页，2022年，8月28日34

称为函数关于点的一阶差商.称为的二阶差商.定义2第三十四页，共六十页，2022年，8月28日35

一般地，称为的阶差商.第三十五页，共六十页，2022年，8月28日36

第三十六页，共六十页，2022年，8月28日37差商有如下的基本性质：

1°阶差商与节点的排列次序无关。称为差商的对称性.即第三十七页，共六十页，2022年，8月28日38

证：设由n+1个互异节点x0,…,xn和函数值yi=f(xi)（i=0,…,n)建立的Newton插值多项式为对上述节点任意调整次序，设为xk0,…,xkn和函数值yki=f(xki)（i=0,…,n)建立的Newton插值多项式为第三十八页，共六十页，2022年，8月28日39

根据插值多项式的唯一性，第三十九页，共六十页，2022年，8月28日402°由性质1°与差商的定义证：由定义第四十页，共六十页，2022年，8月28日41差商计算可列表如下（表2-1）.第四十一页，共六十页，2022年，8月28日42

首先根据给定函数表造出差商表.

给出的函数表（见表2-2），求4次牛顿插值多项式，并由此计算的近似值.例2第四十二页，共六十页，2022年，8月28日43

从差商表看到4阶差商近似常数，5阶差商近似为0.

故取4次插值多项式做近似即可.于是

按牛顿插值公式，将数据代入第四十三页，共六十页，2022年，8月28日443°若在上存在阶导数，且节点

则阶差商与导数关系如下：第四十四页，共六十页，2022年，8月28日45

第四十五页，共六十页，2022年，8月28日462.差分与等距节点插值

实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多.

1差分及其性质

设函数在等距节点上的值为已知，这里为常数，称为步长.

为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.第四十六页，共六十页，2022年，8月28日47记号定义3分别称为在处以为步长的向前差分，向后差分及中心差分.

符号，，分别称为向前差分算子，向后差分算子及中心差分算子.第四十七页，共六十页，2022年，8月28日48

利用一阶差分可定义二阶差分为一般地可定义阶差分为

第四十八页，共六十页，2022年，8月28日49

除了已引入的差分算子外，常用的算子符还有不变算子和移位算子定义如下：于是，由第四十九页，共六十页，2022年，8月28日50

差分基本性质.

性质1其中为二项式展开系数.例如各阶差分均可用函数值表示.

第五十页，共六十页，2022年，8月28日51

性质2

例如，可用向前差分表示，所以可用各阶差分表示函数值.因为第五十一页，共六十页，2022年，8月28日52

性质3

例如，对向前差分，差商与差分有密切关系.由定义第五十二页，共六十页，2022年，8月28日53

差商与导数的关系又可得到其中，一般地有这就是差分与导数的关系.第五十三页，共六十页，2022年，8月28日54

计算差分时可列差分表（见表2-3），表中