第八章采样控制系统版

第八章采样控制系统8.1采样控制一个典型的采样控制系统如图：e(t)是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列，脉冲控制器对进行某种运算，产生控制信号脉冲序列保持器将采样信号变成模拟信号u(t)

，作用于被控对象连续信号——在时间上连续，且在幅值上也连续（导数连续）的信号,也称为模拟信号。采样信号——又称离散信号，按一定的时间间隔对模拟信号进行采样得到的在时间上离散的脉冲序列。采样控制系统和连续控制系统的区别：在连续系统中，各处的信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数处的信号是采样信号。采样系统的特点——采样过程和采样信号保持采样系统和连续系统的共性——（1）闭环控制；（2）需分析稳定性、暂态性能和稳态性能；（3）需进行校正。8.2采样过程和采样定理一、采样过程

按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程的装置。采样开关按周期T闭合，T称为采样周期。每次闭合时间为，由于在实际中总有，且远小于中的时间常数，可近似认为。课本331页图8-0-2模拟信号的采样8.2采样过程和采样定理一、采样过程

在采样开关输出端的信号以脉冲序列的形式出现。每个脉冲之后有一段无信号的时间间隔，在无信号的时间间隔内，控制系统实际工作在开环状态。显然，如果采样频率太低，包含在输入信号中的大量信息就会损失掉。采样周期T是采样系统的一个很重要的、特殊的参数，它将影响采样系统的稳定性、稳态误差和信号的恢复精度。课本331页图8-0-3计算机控制系统框图采样过程可用图表示采样信号是和的乘积，其中载波信号决定采样时刻，它是周期为T的单位脉冲序列，采样信号在nT(n=0,1,2…)时刻的值由决定。二、采样过程的数学表达式采样信号为采样信号的拉氏变换单位脉冲序列课本408页附录C有推到过程三、采样定理其中采样定理给出了选择采样周期T的依据。经采样得到的离散信号有可能无失真地恢复到原来的连续信号的条件是香农采样定理离散信号频谱8.3采样信号保持器一、零阶保持器采用恒值外推规律的保持器零阶保持器将前一采样时刻的值，保持到下一个采样时刻，即二、零阶保持器的传递函数根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。零阶保持器的单位脉冲响应是一个矩形，宽度为T，高为1，它可表示成以下二个单位阶跃信号的叠加。单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持器的传递函数。零阶保持器的幅频特性零阶保持器的幅相特性

由图可见，它的幅值随角频率的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性。但除了主频谱外，还存在一些高频分量。因此，其对应的连续信号与原来的信号是有差别的。此外，采用零阶保持器还将产生相角滞后，这将降低系统的相对稳定性。课本336页一阶保持器连续函数f(t)的拉普拉斯变换式为设f(t)的采样信号为

类比课本333页（8-1-3）其拉普拉斯变换式为

类比（8-1-4）8.4z变换一、定义其中是连续函数的采样信号，

采样函数对应的Z变换是唯一的。Z变换只适用于离散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。

Z反变换表示为用查表方法可得到函数的Z变换。引入一个新的变量得Z变换公式如下二.Z变换的方法（1）级数求和法课本338页（8-4-6）（2）部分分式法课本339页（8-4-10）（3）留数计算法课本340页（8-4-11）课本341页表8-4-1常用函数的Z变换表三.Z变换的基本定理1线性定理：函数的线性组合的z变换，等于各部分z变换的线性组合课本342页8-4-17滞后定理（负偏移定理）：说明：原函数在时域中延迟k个采样单位，相当于其z变换乘以。3.初值定理：4.终值定理：常用于计算系统的稳态误差5.超前定理（正偏移定理）说明：代表超前环节，表示采样信号超前了k个采样单位，但是在物理系统中并不存在，仅用于运算。6卷积和定理/卷积定理：卷积定理指出：两个采样函数卷积的Z变换，等于该两个采样函数相应Z变换的乘积。四.Z反变换

和拉普拉斯反变换类似，z反变换可以表示为（一）长除法课本（8-4-27）（二）部分分式法课本345页例8-4-9（三）留数计算法课本346页（8-4-31）

（8-4-32）8.5脉冲传递函数一、基本概念定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号Z变换之比，称为系统的脉冲传递函数或称z传递函数。采样系统采样脉冲函数的物理意义采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应经采样后的采样信号的Z变换。根据卷积定理得，C(z)=G(z)R(z)二、采样系统的开环脉冲传递函数1、两个串联环节之间有采样开关隔开将采样开关分隔的二个线性环节串联，脉冲传递函数是两个串联环节脉冲传递函数之积。结论可推广到n个环节串联，各相邻环节之间都有采样开关隔开的情况。2、两个串联环节之间无采样开关隔开无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两个环节经采样后的单位脉冲响应和的乘积的Z变换。结论可推广到n个环节直接串联的情况。3、有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数由例：结论：三、闭环脉冲传递函数1、有一个采样开关的采样系统图中输入端和输出端为了便于分析而虚设开关，见课本351页由图可见，合并以上两式，得求上式采样信号的拉普拉斯变换，则有化简得，考虑到输出采样后的拉普拉斯变换为得到，写成Z变换的形式，即得闭环传递函数误差脉冲传递函数为对于单位反馈系统H（s）=1,则有2、有数字校正装置的采样系统由图可见，由此可得，（课本推到有问题）对上式进行z变换，得或者考虑有干扰信号的的采样系统的输出，图见课本353页图8-5-5由图可见，由以上两式可得，(课本有错误)课本353页表8-5-1典型采样系统及其C（z）个人总结规律：先写出连续系统的表达式，再看他们之间是否存在采样开关。8.6采样系统的稳定性分析一、S域到Z域的映射关系课本354页详解s域到z域的映射复变量s和z的相互关系为

z=esT，s域中的任意点可表示为，映射到z域则为于是，s域到z域的基本映射关系式为

可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。

当s位于S平面虚轴的左边时，σ为负数，小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为正数，大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像为单位圆的内、外部区域。二、线性采样系统稳定的充要条件设采样系统的闭环脉冲传递函数为系统特征方程为线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足三、劳斯稳定判据双线性变换法Z和W均为复变量讨论：（1）W平面的虚轴对应于Z平面单位圆（2）W平面的左半平面对应于Z平面单位圆内（3）W平面的右半平面对应于Z平面单位圆外W平面Z平面例：求使系统稳定的K值范围。由特征方程1+GH（z）=0的所有根位于z平面上的单位圆内，转换为特征方程1+GH（w）=0的所有根位于左半W平面。离散系统稳定的充要条件：解：1、求系统的开环脉冲传递函数查表得：2、特征方程为3、对特征方程进行双线性变换，代入T=0.25s整理得：4、应用劳斯判据，劳斯表为：根据劳斯判据，为使采样系统稳定，应有2.736-0.158>0，得使系统稳定的K值范围是0<K<17.3讨论：从理论上，二阶线性连续系统稳定的K值范围是K>0。对于二阶线性采样系统，当K大于某一值，系统将不稳定，可见，加入采样开关，对系统的稳定性不利，如果提高采样频率，稳定性将得到改善。因为随着采样频率的提高，采样系统的工作更接近于连续系统。8.7采样系统的稳态误差一、采样系统的类型设采样系统的开环脉冲函数为G(z)，当G(z)具有0个，1个，2个z＝1的极点时，系统分别为0型，I型，II型系统。二、应用终值定理求给定稳态误差终值设采样系统是单位负反馈系统，则给定误差脉冲传递函数为：根据终值定理，给定稳态误差终值为：系统的稳态误差取决于G(z)和输入信号R(z)。三、用静态误差系数求给定稳态误差终值1.输入为单位阶跃函数，r(t)=1(t),这时，得，静态位置误差系数将R（z）带入误差表达式，得2..输入为单位斜坡函数，r(t)=t,这时，静态速度误差系数将R（z）带入误差表达式，得3..输入为单位抛物线函数，这时，带入误差表达式，得静态加速度误差系数单位阶跃输入时，采样系统的稳态误差终值为单位斜坡输入时，采样系统的稳态误差终值为T为采样周期单位加速度输入时，采样系统的稳态误差终值为课本358页表8-7-1例：采样系统如图，其中零阶保持器的传递函数为被控对象的传递函数为，采样周期T=0.25s，确定系统的类型。解：1、求系统的开环脉冲传递函数2、根据系统的开环脉冲传递函数，系统有一个Z=1的极点，为I型系统。查表得与上式对应的Z变换。系统的开环脉冲传递函数8.9采样控制系统的校正

与连续系统类似，在设计采样控制系统的过程中，为了满足对性能指标的要求，常常需要对系统进行校正。与连续系统类似，采样系统按其在系统中的位置，可以分为串联校正装置和反馈校正装置，按其作用可以分为相位超前校正和相位滞后校正。与连续系统不同，采样控制系统主要采用数字校正装置的方式。图8-9-1采样系统的串联数字校正

D（z）脉冲控制器，保持器，被控对象8.9.1最少拍采样控制系统的矫正

人们通常把采样过程的一个采样周期称为一拍。若在典型输入信号的作用下，经过最少采样周期，系统的采样误差信号减少到零，实现完全跟踪，则此系统称为最少拍系统，又称最快响应系统。

结合图8-9-1进行采样控制系统的讨论。此系统的闭环脉冲传递函数为式中，由上式可得数字控制器的脉冲传递函数，在以上式子中，G（z）为保持器及被控对象的脉冲传递函数。它在校正时是不能改变的。所以改变的是D（z）。（类比连续系统的校正）。课本215页图6-1-1a)

当典型输入信号分别为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时，其z变换分别如下所示：由此可得，典型输入信号的z变换的一般形式为A（z）是不包含的的多项式。由得

根据z变换终值定理，系统的稳态误差终值为为使稳态误差为0，Φ

e(z)中应包含因子。设式中F(z)为不包含(1－z－1)的z－1的多项式，则闭环脉冲传递函数为由此可得，

可见，当F(z)=1时，Φ

e(z)中包含的z－1的项数最少。采样系统的暂态响应过程可在最少个采样周期内结束。因此设

上面两式是无稳态误差的最少拍采样系统的误差脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数。在典型输入信号分别为单位阶跃信号、单位速度信号和单位加速度信号时，可分别求得最少拍采样系统的闭环脉冲传递函数Φ

e(z)、Φ(z)及E(z)、C(z)。当，或r=1时得于是且有

下面介绍几种典型输入信号作用时的情况表明：

可见最少拍采样系统经过一拍便可完全跟踪阶跃输入，其调节时间ts=T

。当或r=2时得于是且有表明：可见最少拍采样系统经过二拍便可完全跟踪斜坡输入，其调节时间ts=2T

。当或r=3时得于是且有表明：

可见最少拍采样系统经过三拍便可完全跟踪加速度输入，其调节时间ts=3T

。***课本367页表8-9-1例：设单位反馈线性离散系统的连续部分及零阶保持器的传递函数分别为其中T为采样周期；已知T＝1秒，试求取在等速输入信号r(t)=t作用下，能使给定系统成为最少拍系统的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。求取数字控制器