数学思想讲座数学与人的发展

数学思想讲座数学与人的发展第一页，共十九页，2022年，8月28日

中国数学历史悠久，也曾达到过很高的水平，但中国的古代数学偏向于应用与使用。与中国古代数学形成鲜明对照的是古希腊数学所具有的强烈的理性色彩。古希腊数学更接近于世界观，接近哲学，接近人生，因而也更接近人文学。所以数学作为人类的思想产品，获得了极高的地位。数学与人的发展第二页，共十九页，2022年，8月28日

近代中国的教育观念中，还承继着老祖宗的某些传统。过分强调感性、实用性和目的性。数学只作为一种工具来学习和掌握。所谓“有没有用”的“用”，其含义更多的是对某个学科专业的实用性，而不包含对人的发展的作用。实际上，数学与其他学科的相互促进，使得数学的发展异常迅猛，用途的广泛性已经超出了人们的想象。实用主义降低了数学的作用，由于过分的强调，而使数学的人文作用处于一个几乎被忽略的地位。第三页，共十九页，2022年，8月28日

世界观的形成是后天的。它与人的成长过程密切相关。世界观左右人的认识、观点与方法。其共性表现为：符合逻辑的、辨证统一的和纯理性的。数学家也不例外，他们在从事数学研究的同时，必定通过数学来看世界。反过来，他们对世界的看法也影响着其数学工作。从毕达格拉斯直到近代的伽利略、笛卡儿、开普勒一直认为世界是数的体现，世界是按数学公式运行的，宇宙的书本是按数学写成的。数与世界密不可分。不少数学家都是哲学家。一、数学对世界观的影响第四页，共十九页，2022年，8月28日

20世纪的数学家兼哲学家庞加莱说：“没有数学这门语言，事物间大多数密切的类似关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐正是惟一真正的客观现实......是我们所能达到的惟一真理。”实际上，出现的问题是数学与世界和谐的关系。如果说是数学发现了世界的和谐，则数学优先于世界观；如果说，世界的和谐是数学发现的，则世界观优先于数学。

数学对世界观起到了作用。一、数学对世界观的影响第五页，共十九页，2022年，8月28日

1、数学影响人们的逻辑思维数学的突出特点是讲究普遍联系的，最大特征是抽象，因而数学广泛存在于众多的事物中。事物与事物的联系多少靠什么来判断呢？靠的是共性与个性，或者称为内涵与外延。表面的东西通常反映的是个性，它回掩盖共性。数学抽象性的主要特征就是从个性中发现共性。一、数学对世界观的影响第六页，共十九页，2022年，8月28日

个性“抽”的越多，就越在内涵的共同处考虑，就越能发现事物间的共性。内涵越少，外延越大。这是基本的逻辑结论.例如：速度、切线—导数—边际、变化率......例如：黄金分割0.618:广泛存在于人体、植物、动物繁殖、建筑、艺术、音乐......

问题是0.618是不是世界和谐的标志呢?一、数学对世界观的影响抽掉个性共性体现个性第七页，共十九页，2022年，8月28日

人们发现了优选法.

00.382

0.6181

实验点原则:去劣存优第一步:若在0.382点优,则在[0,0.618]继续实验;否则,在[0.382,1]上继续实验.共性:区间长度为0.618.

第二步:在第一步的区间上用0.618×0.618和(1-0.618)×0.618作实验点,继续选择原则.一、数学对世界观的影响第八页，共十九页，2022年，8月28日

共性区间长度为0.6182.

如此继续下去,得到一个”区间套”:一、数学对世界观的影响第九页，共十九页，2022年，8月28日那么,为什么非得选择0.618呢.实际上,我们可以从任何两点出发也能得到x0.

如果xn是第n次黄金分割实验后的点,而xn’是任何其他优选方法第n次实验后的点,那么|xn-x0|<|xn’-x0|所以在同样实验次数下,黄金分割是最好的方法.

这也说明,最美的一定反映了某种和谐,主观和客观是相互作用的.一、数学对世界观的影响第十页，共十九页，2022年，8月28日

2.数学最正确最客观地体现了辨证唯物主义思想.影响着唯物论的认识论.

辩证唯物主义是讲联系,讲统一的.但有些观点过分强调”本质联系”中的”本质”,犯了形而上学的错误.实际上,本质都是从联系中发现的,而不是事先就知道的.

数学方法的内涵之一是建立对应关系(联系),通过对应关系去发现共性(本质).一、数学对世界观的影响第十一页，共十九页，2022年，8月28日一、数学对世界观的影响fffff同构、同伦、同调、同胚......第十二页，共十九页，2022年，8月28日一、数学对世界观的影响变与不变的关联:辩证法数学的研究对象是变量与常量.变与不变是辨证的关系.我们来看数列极限的定义.这里,”任意的”意味着变化,因此,ε>0是变的.但是我们要说明数列以A为极限,只需要对每个ε>0验证”存在...”这段话是对的就可以,而”每个”又意味着ε>0在验证的过程中是不变的.第十三页，共十九页，2022年，8月28日一、数学对世界观的影响如代数中的“恒等变换”，恒等意味着不变，变换意味着变化。这就是辩证法!其意义之重大已使数学与世界观的核心部分的关系越来越紧密，与对世界本身的看法紧密相连。第十四页，共十九页，2022年，8月28日一、数学对世界观的影响3、数学的纯理性使辩证唯物主义认识世界和预知世界的强大思想。唯物论的观点已经被有意或无意地曲解了。一个极端是认为认识必定来源于物质世界而且必定直接来自于物质世界；另一个极端是没有实践基础就要求人民解决思想问题，认为解决思想认识问题就解决了一切。数学科学的事实与发展排除了这两种极端。第十五页，共十九页，2022年，8月28日一、数学对世界观的影响经典数学：数与形（物质世界）近代数学：物质世界（工业、经济、社会......）理性思维：公理化体系（欧氏几何）产生了新几何；解析几何；各数学分支的建立。走向高度思维。高度思维在某个时候又走到现实生活中来更是唯物主义的体现。符合黑格尔所说被列宁所赞赏的“自己运动”的意义。第十六页，共十九页，2022年，8月28日一、数学对世界观的影响海王星的发现是由数学发现的。这是数学理性的一大胜利。1871年英国科学家发现了天王星，发现它的运行有些失常，与计算结果不符。问题的出现产生两种猜测：一是牛顿的万有引力定律有问题；一是还有其他因素在发挥作用（其它星的作用产生了“摄动”）。1842年，剑桥大学学生亚当斯按照第二种假设经过由运动轨道为“圆”到“椭圆”的理性思考，进行了大量的复杂的数学计算，于1845年10月21日将研究结果寄给格林威治天文台第十七页，共十九页，2022年，8月28日一、数学对世界观的影响台长艾里，被不屑一顾。艾里又寄给了巴黎天文台的加勒，告诉他在计算得到的位置观察。加勒当天（1846、9、23）果然发现了这棵新星——海王星。但水星的发现是在有了相对论之后才成功的