数学物理方程与特殊函数

数学物理方程与特殊函数课件1第一页，共三十三页，2022年，8月28日本次课主要内容(一)、常微分方程求解(二)、积分方程求解拉普拉斯变换的应用(三)、偏微分方程定解问题求解2第二页，共三十三页，2022年，8月28日内容回顾1、Laplace变换与逆变换的定义2、常用函数的Laplace变换

3第三页，共三十三页，2022年，8月28日3、Laplace变换的几个主要性质

(1).线性性质4第四页，共三十三页，2022年，8月28日(5).积分定理(6).象函数的微分定理

(7).象函数的积分定理

5第五页，共三十三页，2022年，8月28日(2).延迟定理

(3).位移定理

(4）

.微分定理

6第六页，共三十三页，2022年，8月28日

(8).卷积定理

关于卷积的说明：7第七页，共三十三页，2022年，8月28日4.展开定理

(1)极点z0的阶：若则极点z0的阶为m。8第八页，共三十三页，2022年，8月28日(2)，留数公式

若z0为f(x)的m阶极点，则：(一)、常微分方程求解

例1、求解常微分方程：9第九页，共三十三页，2022年，8月28日(1)、对方程两边作拉氏变换：

由线性性质有：

由像函数微分定理得：

又由微分定理得：

所以：10第十页，共三十三页，2022年，8月28日

所以，得变换后的方程为：(2)、求像函数：(3)、求原像函数：

对像函数作幂级数展开：11第十一页，共三十三页，2022年，8月28日

因为：

所以：

于是由展开定理得方程通解为：

由初始条件得：12第十二页，共三十三页，2022年，8月28日例2

求解积分方程：

解：由卷积定义，将方程写成：

(二)、积分方程求解13第十三页，共三十三页，2022年，8月28日(1)、对方程两边作拉氏变换：(2)、求像函数：(3)、由展开定理可求出原像函数：14第十四页，共三十三页，2022年，8月28日首先指出：利用积分变换求解偏微分方程定解问题时，如果是初值问题，常采用针对空间变量的傅立叶变换求解，而如果是带有边界条件的定解问题，则常采用针对时间变量的拉氏变换求解。(三)、偏微分方程定解问题求解例3、

求解硅片的恒定表面浓度扩散问题，在恒定表面浓度扩散中，包围硅片的气体中含有大量杂质原子，它们源源不断穿过硅片表面向硅片内部扩散。由于气体中杂质原子供应充分，硅片表面浓度得以保持某个常数N0

，这里所求的是半无限空间x＞0中定解问题

.解：定解问题为：15第十五页，共三十三页，2022年，8月28日(1)、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换：(2)、求像函数：

注意到：16第十六页，共三十三页，2022年，8月28日

所以有：(3)、求原像函数：

查逆变换表得：

所以得：17第十七页，共三十三页，2022年，8月28日问题：有同学认为：在上面定解问题中，x与t的变化范围都是(0,+∞)，所以，求解时，对x与t均可以作拉氏变换，对吗？为什么？解：所提问题归结为解定解问题

答：不能！因为方程中含有uxx，而在x=0处，只给出了u(0,t)的值，而没有给出ux(0,t)的值，所以，不能作针对空间变量x

的拉氏变换。例4

一条半无限长的杆，端点的温度变化为已知，杆的初始温度为零。求杆上的温度分布规律。18第十八页，共三十三页，2022年，8月28日(1)、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换：(2)、求像函数：(3)、求原像函数：19第十九页，共三十三页，2022年，8月28日由卷积定理下面求由查表得：所以：20第二十页，共三十三页，2022年，8月28日令：则：由于：注意到：21第二十一页，共三十三页，2022年，8月28日所以：由微分定理：所以：22第二十二页，共三十三页，2022年，8月28日即：所以,由卷积定理得到：23第二十三页，共三十三页，2022年，8月28日例5

求解半无界弦的纯强迫振动定解问题：

解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换

(2)、求像函数：24第二十四页，共三十三页，2022年，8月28日由条件：(3)、求原像函数：25第二十五页，共三十三页，2022年，8月28日26第二十六页，共三十三页，2022年，8月28日

所以原像函数为：例6、求解如下定解问题：27第二十七页，共三十三页，2022年，8月28日解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换

(2)、求像函数：28第二十八页，共三十三页，2022年，8月28日(3)、求原像函数：例7、求解如下定解问题(习题5.4第5题)：29第二十九页，共三十三页，2022年，8月28日解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换

(2)、求像函数：30第三十页，共三十三页，2022年，8月28日(3)、求原像函数：

由延迟定理：31第三十一