八年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题02 矩形

()()()()专题02矩形专题解读】矩形是特殊的平行四边形，静态看，具备平行四边形所有性质，是中心(轴)对称图形；动态看，将等腰三角形绕着顶点“旋转”180°，这是处理矩形存在性问题的有效手段，本节在梳理知识点的同时，加强矩形在“变换”的背景中的训练，进一步贴近中考实战.思维索引例1.已知口OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上，O为坐标原点，直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E,直线x=4分别与x轴和AB边交于点F、G.如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，直线AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由.□OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由.例2•如图，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，B点的坐标为(1,3),矩形OABC是矩形OABC绕B点逆时针旋转得到的，O点恰好在x轴的正半轴上，OC交AB于点D.求点O,的坐标，并判断AODB的形状；求边CO'所在直线的解析式；延长BA到M使AM=1，在(2)中求得的直线上是否存在点P,使得△POM是以线段OM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.素养提升1•如图，已知点1•如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界）ZAPB=80°,ZCPD=50°，则（）A.（0+乞）-（0+0）=30°1423C.（0+0）—（0+04）=70°1234设ZPAD=0,ZPBA=0,ZPCB=0,ZPDC=0，若1234B.(0+04)—(0+0)=40°2413D.(0+0)+(0+0A)=180°12342•如图，矩形ABCD中，2•如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,EB//DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长是（）B.875C._D.-88()A.3.6B.4.8C.5D.5.2()A.3.6B.4.8C.5D.5.23.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=8,4C=6,M为BC上的一动点，ME丄AB于E,MF丄AC于F,则EF的最小值为4•如图，矩形QABC的两边OA,0C分别在x轴和y轴上，且OA=5,OC=3.若把矩形0ABC绕着点0逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点q的坐标为（）91212916121216A.（—5，）b.（-，5）C.（—,-5）d.（--5,）5.在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE丄MC,PF丄MB,当AB、BC满足条件时，四边形PEMF为矩形.6•如图所示，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，对角线AC、BD相交于点0,过点0作0E垂直AC交AD于点E,则DE的长是.7•如图，平面直角坐标系中，矩形0ABC的顶点A(-6,0),C(0,2、K)•将矩形0ABC绕点0顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点％处，则点B的对应点B］的坐标为&如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,P为AD上任意一点，连接BP，点A关于PB的对称点为A、，连接DA、，则线段DA、的最小值为.如图，在DABCD中，DC〉AD，四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F''分别作DC与AB间的垂线MM与NN，在DC与AB上的垂足分别是M,N与M,N,连接EF.求证：四边形EFNM是矩形；已知：AE=4,DE=3,DC=9，求EF的长.(1)在直角坐标系xOy中，矩形0ABC如图1放置，点B的坐标为(3,7),将厶ABC沿AC翻折,点B落在第二象限,则B的坐标为.

（2）如图2,矩形ABCD中，AB=3,BC=8,E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，B落在B的位置，连接CB，则CB的长为(HO(图2)（3）如图3，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E,F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处。求线段BF的取值范围；当点H与点A重合时，求EF的值.11•将两个全等的矩形AODC和矩形ABEF放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知A（0，5）,边BE交边CD于M,且ME=2,CM=4.（1）求AD的长；（2）求直线BE的解析式.12.如图，四边形0ABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标（一2,4）,^ODE是厶OCB绕点0顺时针旋转90。得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F,交OE于点H.

求直线BD的解析式；求厶BCF的面积；点M在坐标轴上，平面内是否存在点N,使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.QQ（）（）专题02矩形思维索引】例1.(1)过定点(3，0)；连接AC交OB于点M设AE与x轴交于点H可证ACFB空LAHO(AAS)，:・FB=0H=2,B(6,0),1又・・•四边形OABC为平行四边形，则OM=2OB=3，故M(3,0)；(2)当ZCOA=90°时，四边形OABC为矩形，此时有OM=AM=3,HM=1,在Rt®HM中，由勾股定理得：AH=2^2，S=3、2，故S=4S=12^2.AAOM矩形OABCAAOM例2.(1)如图，连接OB,O'B，则OB=O'B，:四边形OABC是矩形，・：BA丄OA，.・.AO=AO'，•B点的坐标为(1,3),・・・OA=1,・・・AO'=1,・・・点O的坐标是(2,0)，△ODB为等腰三角形‘•••△BCDAOAD(AAS),ABD=OD,AAODB是等腰三角形；(2)设点D的坐标为(1,a),贝l」AD=a,・.・点B的坐标是(1,3),AOD=3—a,在RtLADO'中，在RtLADO'中，AD2+AO'2=O'D2，•:a2123a2,a=-，•:D1,-，又O'(2,0)3(t・・.lC'O:y48x-・・.lC'O:y48x-33(3)P(2,0)我8,8.素养提升】1.A1.A；2.C；3.B；4.A；5.BC=2AB；6.：7.(2典,0)；8.2亦-2；(1)过E作EG丄AD于G,根据角平分线的性质可知：EG=EM，同理，EM',=EG,・・・.EM=EMJ1MM,同理，FN=FN=1NN,又知MMWN为矩形，MM幺NN,AME幺NF,22・•・四边形EFNM为平行四边形，又ZEMN=90°,故，四边形EFNM为矩形；(2)可证△DME9ADGE,△CNF^^GE，有DM=DG,CN=AG，贝UDM+CN=AD=5,EF=MN=DC-(DM+CN)=4.(1)(-12,24)；(2)18:(3)①3WBFW4；②2<5.555--(1)连接AM,设OC=AD=m，根据已知条件可知，AB=CD=OA=5,BE=OC=m,ABM=m-2,DM=1,VAB2+BM2=AD2+DM2,.•.52+(m—2)2=m2+12，解得m=7,即AD=7；(2)过B作GH//x轴交y轴于G,交CD于H,有△ABG9ABMH,设BG=MH=m,CH=OG=4—m,35则BH=AG=7—m,7—m+4—m=5,则m=3，故B(3,1),而M(7,4),于是/:y二—x-—BE44

28412.(1)l:y=—x+:(2)S=—BD33BCF3（3）①当M在x轴上;当…时，设OM=m，