苏教版选择性必修第二册第6章6.1.1空间向量的线性运算学案

第6章空间向量与立体几何6.1空间向量及其运算6.1.1空间向量的线性运算课程标准1.了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的线性运算.1.空间向量的概念在空间,把具有大小和方向的量叫作空间向量.2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律空间向量的运算加法a+b=+=减法a-b=-=数乘当λ>0时,λa==λ,当λ=0时,λa=0,当λ<0时,λa==λ线性运算的运算律(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a;(3)分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb(λ,μ∈R).3.空间向量的几个概念(1)向量的加法,减法和数乘运算统称为向量的线性运算.(2)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行,记作a∥b.4.向量共线的充要条件(共线向量定理)对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.1.下列说法中正确的是()A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|C.空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中,一定有+=【解析】选B.|a|=|b|,说明a与b模长相等,但方向不确定.对于a的相反向量b=-a,故|a|=|b|,从而B正确.只定义加法具有结合律,减法不具有结合律.一般的四边形不具有+=,只有平行四边形才能成立.故A,C,D均不正确.2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列向量与不是相反向量的是()A. B.C. D.【解析】选D.向量的相反向量只有,,,.3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,++=()A. B. C. D.【解析】选D.如图,由题意可得++=++=.4.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,SA=SB=SC=SD=2,给出以下结论:①+++=0;②+--=0;③-+-=0.其中正确结论的个数是()A.0 B.2 C.1 D.3【解析】选C.因为-+-=+=+=0.故③正确,同理可得①②不正确.5.化简2+2+3+3+=________.

【解析】2+2+3+3+=2(+++)+++=0++=0+0=0.答案:06.空间中把所有单位向量的起点移到同一点,这些向量的终点组成什么图形?【解析】单位向量的长度都相等,起点移到同一点,则终点在以单位向量的长度为半径的球面上.一、选择题1.给出以下结论:①两个空间向量相等,则它们的始点和终点分别相同;②在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有=;③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p.其中不正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.两个空间向量相等,它们的始点、终点不一定相同,故①不正确;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有=成立,故②正确;③显然正确.2.(2022·泰州高二检测)在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,且=2,则=()A.-13a-23b+c B.-23a-1C.13a+23b-c D.23a+1【解析】选A.因为=2,所以=23.所以=-=-(+23)=-(+23-23)=-13-23+=-13a-23b+3.下列命题中正确的个数是()①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;②向量a,b,c共面即它们所在的直线共面;③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选A.①中,b=0时,则a与c不一定共线;②中,共面向量的定义是平行于同一平面的向量,表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面;③中,当b=0,a≠0时λ不存在,故①②③均错.4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,N是A1B的中点,若=a,=b,=c,则=()A.12(a+b-cB.12(a+b+cC.a+b+12D.a+12(b+c【解析】选B.设AB中点为D,连接CD,DN,则=+=12(a+b+c).二、填空题5.如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,与是________向量(用“相等”“相反”填空),与是__________向量(用“共面”“不共面”填空).

【解析】根据三棱柱的性质,AC∥A'C',AC=A'C',所以与是相反向量,又AB∥A'B',所以与是共面向量.答案:相反共面6.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式:(1)++12=__________;

(2)--=__________.

【解析】(1)++12=+12=;(2)--=-=.答案:(1)(2)7.空间中任意四个点A,B,C,D,则+-=________.

【解析】利用向量运算法则即可得出,+-=++=+=.答案:8.在四面体ABCD中E,F分别为棱AC,BD的中点,化简:+++=__________.

【解析】原式=(+)+(+)=2+2=2(+)=4.答案:4三、解答题9.如图,在空间四边形SABC中,AC,BS为其对角线,O为△ABC的重心,(1)求证:++=0;(2)化简:+12-32-.【解析】(1)=-13(+),①=-13(+),②=-13(+),③①+②+③得++=0.(2)因为=23×12(+)=13(+),所以+12-32-=(-)+12(-)-32×13(+)=+12(-)-12(+)=0.一、选择题1.在空间平移△ABC到△A'B'C',连接对应顶点,设=a,=b,=c,M是BC'的中点,N是B'C'的中点,如图所示,用向量a,b,c表示向量等于()A.a+12b+12c B.12a+12C.a+12b D.1【解析】选D.=12=12=12a.2.已知空间四边形ABCD,点E,F分别是AB与AD边上的点,M,N分别是BC与CD边上的点,若=λ,=λ,=μ,=μ(其中λ≠0,μ≠0),则向量与满足的关系为()A.= B.∥C.||=|| D.||≠||【解析】选B.-=λ-λ=λ,即=λ.同理=μ.因为μ∥λ,所以∥,即∥.又λ与μ不一定相等,故||不一定等于||.3.如图,在三棱锥O-ABC中,点P,Q分别是OA,BC的中点,点D为线段PQ上一点且=2,若记=a,=b,=c,则=()A.16a+13b+13c B.13a+1C.13a+16b+13c D.13a+1【解析】选A.=+=12+23=12+23(-)=12+23-23=12+23×12(+)-23×12=16+13+13=16a+13b+4.(多选题)已知空间向量,,,,则下列结论正确的有()A.=+B.-+=C.++=D.=-【解析】选AB.+=,故A正确;-+=++=,故B正确;C,D不正确.二、填空题5.化简:12(a+2b-3c)+5(23a-12b+23c)-3(a-2b+【解析】原式=12+5×23-3a+(12×2-5×12+3×2)b+-3×12答案:56a+92b-6.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则|+|=________;

|-|=________.

【解析】取BD的中点H,连接AH,CH,因为四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,所以AH⊥BD,CH⊥BD,所以AH∩CH=H,所以BD⊥平面ACH,因为AC⊂平面AHC,所以AC⊥BD,过C作CG∥BD使CG=EF,则=,所以AC⊥CG且AC=2,CG=12BD所以|+|=|+|=||=5.因为点E,F分别为棱AB,AD的中点,所以=12,所以|-|==|-|=||=3.答案:53三、解答题7.(2022·无锡高二检测)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1);(2);(3)+.【解析】(1)因为P是C1D1的中点,所以=++=a++12=a+c+12=a+c+12b.(2)因为N是BC的中点,所以=++=-a+b+12=-a+b+12=-a+b+12c.(3)因为M是AA1的中点,所以=+=12+=-12a+a+c+12b=12a+1又=+=12+=12+=12c+a,所以+=12a+12b+c+a+12c8.空间