弧度制课件-高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

弧度概念2023.2.16问题引入在义务教育阶段,用角度制来度量角．即把一个周角360等分,每一份圆弧所对的圆心角就是1°的角．

用角度制度量角用的是六十进制,而日常的运算多数是十进制,能否建立一种十进制的度量体系来度量角呢？新知探究

问1如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧的长为l．回忆初中所学知识，弧长l如何用圆心角α来表示？答案：

．新知探究问2

如图，在射线OA上任取一点Q（不同于点O和P），OQ=r1．在旋转过程中，点Q所形成的的圆弧

的长为l1，那么l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？圆心角α所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，只与α的大小有关也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．因此可以利用圆的弧长和半径的比值度量圆心角．抽象概括我们规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．或者：在单位圆中，长度为1的圆弧所对的圆心角就是1弧度，记作1rad.抽象概括半径为r的圆中,长度为l的圆弧所对的圆心角的大小为α,那么.其中,角α的正负由角α的终边的旋转方向决定.新知探究问3

既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间应该可以换算，如何换算呢？新知探究因为半径为r的圆的周长是2πr，所以周角的弧度数是,故有360°=2πrad或180°=πrad.由此可得弧度制与角度制的换算公式：学以致用例1

按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值．学以致用例1

按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值．解：（1）因为67°30′=

，所以67°30′=

．因此，67°30′≈1.178rad．1.178097245．（2）利用计算器有学以致用例2

将3.14rad换算成角度（用度数表示）：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值．例2

将3.14rad换算成角度（用度数表示）：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值．解：（1）因为3.14rad=

．（2）利用计算器有179.9087477．因此，3.14rad≈179.909°．学以致用一些特殊角的角度值和弧度值的对应关系：

学以致用例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）l=αR；（2）S=

αR2；（3）S=

lR．其中R是圆的半径，α（0<α<π）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．学以致用例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）l=αR；（2）S=

αR2；（3）S=

lR．其中R是圆的半径，α（0<α<π）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．（2）由于半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是

，

，

将n°转换为弧度，得

，于是S=

αR2．将l=αR代入上式，即得S=

lR．证明：（1）由公式|α|=

可得l=αR．课堂小结课后作业1．把下列角度转换为弧度．

(1)22°；(2)

−210°；(3)1200°．2．把下弧度转换为角度．

课后作业3．经过4h