2022年中考数学压轴题答案

2022年中考数学压轴题

1.如图，矩形的边N8=4,BC=3.一简易量角器放置在矩形内，其零度线

即半圆。的直径与边重合，点工处是0刻度，点5处是180刻度.尸点是量角器的

半圆弧上一动点，过尸点的切线与边8C、CD(或其延长线)分别交于点£、F.设点P

的刻度数为〃，NPAB=a.

(1)当“=136时，a=22°,求出a与〃的关系式；

(2)在尸点的运动过程中，线段E8与EP有怎样的数量关系，请予证明；

(3)在尸点的运动过程中，尸点在直线C。上的位置随着a的变化而变化，当尸点在线

段CD上时、在C。的延长线上时、在。C的延长线上时，对应的a值分别是多少？(参

考数据：tan56.3°七1.5)

(4)连接8P,在尸点的运动过程中，是否存在△NB尸与△CEE相似的情况？若存在，

求出此时〃的值以及相应的EF的长；若不存在，请说明理由.

解：(1)连接0尸，如图1,

由题可知：ZAOP=136°.

：.ZPOB=44,>.

:.NPAB=22°.

"：ZAOP=n0,

：.ZPOB=l^O°-n°.

：.ZPAB-=a=^ZPOB=^(180°-n°)=90。.

故答案为：22°,

a与"的关系式a=90°.

(2)EB=EP.

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理由如下：

如图1,

•.•四边形是矩形，

，N/8C=90°.

：.EB与半圆。相切.

又与半圆0相切，

，由切线长定理得：EB=EP.

(3)①如图2,此时点尸与点。重合，连接Q0.

由切线长定理得：DP=DA=3,ZADO^ZPDO.

：.DO±AP.

:.ND4P=90°-ZADO=ZDOA.

'：ZDAO=90a,AD=3,N0=2,

AnQ

/.tanZDOA=衍==1.5.

Vtan56.3°^1.5,

AZDOA=56.3°.

AZDAP=ZDOA=56.3°.

・・・a=90°-56.3°=33.7°.

②如图3,当NPO8=90°时，显然过点尸的切线与CO平行,

此时，a=45°.

③如图4,此时点£t与点C重合.同①可得：a=56.3°.

结合以上临界位置可得：

当点厂在线段C。上时，0°<aW33.7°或56.3°Wa<90°；

当点尸在线段CZ)的延长线上时，33.7°<a<45°；

当点尸在线段OC的延长线上时，45°<a<56.3°.

(4)存在△/8P与△CEF相似的情况.

①当点E在8c上时，如图5所示，

若△/8P与△CEF相似，则必有N/8P=NCEF.

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YE尸与半圆O相切，

：.ZOPE=90°.

・・•四边形Z8CD是矩形，

ZABC=90°.

：.ZOPE=ZABC=90°

•：OP=OB,

：,/OPB=/OBP.

:・/EPB=/EBP.

：.ZCEF=2ZEBP.

：.ZABP=2ZEBP.

■:NABP+/EBP=9C,

AZABP=600.

AZAOP=2ZABP=120°.

・・・〃=120°.

此时，NPAB=NEPB=/EBP=3G0.

过点、E作EH上BP,垂足为

♦：EP=EB,EH工BP

:・PH=BH=^PB=ix2=1.

・/口*HB173

・・cos/HBE=诙=颉=z

学.

；.CE=3一竽.

•：NCEF=/ABP=60°,

:・NCFE=30°,

4J3

/=2CE=6一詈.

②当点七在8c的延长线上时，如图6所示，

若△Z8P与△CEF相似，则必有NZBP=NEFU

：.ZE=90°-Z£FC=90°-ZABP=ZEBP.

♦：EB=EP,

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:./EPB=/EBP.

ZEPB=ZEBP=ZE.

••.△EP8是等边三角形.

:./EPB=NEBP=6G°.

：.NOPB=/OBP=30°.

AZAOP=60°.

.*./7=60o.

•・Z6=4,ZPBA=30°,

：.AP=2,PB=2®

:.EB=PB=2®

A£C=2V3-3.

*：/EFC=90°-60°=30°,

：.EF=2EC=4y/3-6.

综上所述：△Z3P与△(7£"尸相似时，n=60°,EF=48一6或〃=120°,科=6—竽.

图5

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2.(1)【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆

的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在△/8C中，AB=AC,ZBAC=90°,。是△/8C外一点，S.AD=AC,

求N5DC的度数.若以点N为圆心，为半径作辅助。4则点C、。必在。力上，Z

A4C是04的圆心角，而/8DC是圆周角，从而可容易得到N2OC=3°.

(2)【问题解决】

如图2,在四边形/8CO中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求N8/C的数.

(3)【问题拓展】

如图3,如图，E,F是正方形/BCD的边上两个动点，满足4E=DF.连接CF交

BD于点、G,连接BE交4G于点H.若正方形的边长为2,则线段。”长度的最小值是

V5-j_.

解：⑴如图1,:AB=AC,AD=AC,

以点/为圆心，点8、C、。必在04上，

历1C是。/的圆心角，而N8OC是圆周角，

：.ZBDC=^ZBAC=45°,

故答案是：45；

(2)如图2,取8。的中点。，连接/。、CO.

■:NBAD=NBCD=90",

.•.点力、B、C、。共圆，

：.ZBDC=ZBAC,

VZ5Z)C=25°,

：.ZBAC=25a,

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(3)如图3,在正方形Z3CZ)中，AB=AD=CD,/BAD=NCDA,ZADG=ZCDGt

在4ABE和△/)由中，

AB=CD

乙BAD=4CDA,

AE=DF

：.^ABE^/XDCF(SAS)f

/.Z1=Z2,

在△力。G和△CQG中，

ZD=CD

Z.ADG=Z-CDG，

、DG=DG

•••△4DG四△8G("S),

・・・N2=N3,

・・・N1=N3,

■:/BAH+/3=NBAD=90°,

：・NT+NBAH=90°,

AZAHB=\SO0-90°=90°,

取N5的中点O,连接OH、OD,

则OH=AO=%B=1,

在RtA^OD中，OD=y/AO2+AD2=Vl2+22=V5,

根据三角形的三边关系，OH+DH>OD,

.•.当0、D、〃三点共线时，。，的长度最小，

最小值=。。-OH=V5-1.

(解法二：可以理解为点”是在直径的半圆脑上运动当。、H、。三点

共线时，。〃长度最小)

故答案为：V5—1.

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3.如图，在RtZ\Z8C中，ZACB=90°,以斜边Z8上的中线CD为直径作。0,与8c交

于点M,与力8的另一个交点为E,过〃作MN_L/8,垂足为M

(1)求证：MN是。。的切线;

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'：OC=OM,

：.ZOCM=ZOMC,

在RtAJSC中，CD是斜边Z8上的中线,

:.CD=^AB=BD,

:.NDCB=NDBC,

：.ZOMC=ZDBC,

：.OM//BD,

•:MNLBD,

：.OMLMN,

过O,

是。。的切线；

是。。的直径，

：.ZCED=90°,ZDMC=90°,

BPDM±BC,CE1.AB,

由（1）知：BD=CD=5,

.../为8c的中点，

3

VsiaS=耳，

4

/.cosS=耳，

在例。中，BM=BDsB=4,

:・BC=2BM=8,

29

在RtZ\CE8中，BE=BC，cosB=-^

327

：.ED=BE-BD=学-5=

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4.已知NMPN的两边分别与。。相切于点4B,。。的半径为八

（1）如图1,点C在点4,8之间的优弧上，NMPN=80°,求//C8的度数：

（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形/P8C为菱形，的度

数应为多少？请说明理由；

（3）若PC交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，的式子表示）.

图1

'：PA,P8为。。的切线，

：.ZPAO=ZPBO=9Q°,

N4PB+NPAO+NPBO+NAOB=36Q°,

AZAPB+ZAOB^1SO°,

•.•//P8=80°,

；.N/08=100°,

AZACB=50°；

(2)如图2,当NAPB=60°时，四边形/P8C是菱形,

连接O/,OB,

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M

由⑴可知,NAOB+NAPB=180°,

VZAPB=60°,

/.ZAOB=\200,

AZACB=60°=NAPB,

•・•点。运动到PC距离最大，

・・・PC经过圆心，

•：PA,为OO的切线,

:.PA=PB,/APC=/BPC=30°,

又,：PC=PC,

：./XAPC^^BPC("S),

AZACP=ZBCP=30°,AC=BC,

：.ZAPC=ZACP=30°,

：.AP=AC,

：.AP=AC=PB=BCf

・・・四边形ZP8C是菱形；

(3)・・・。0的半径为广，

C.OA=r,OP=2『,

：.AP=V3r,PD=r,

VZAOP=90°-4PO=60°,

，前的长度==^r.

.•.阴影部分的周长=24+尸。+而=百出+货=(V3+1+J)r.

5.如图，以为OO的切线，P8C为。。的割线，4DLOP于点D,△力。C的外接圆与8c

的另一个交点为R证明：NBAE=NACB.

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*：OAA-AP,ADA.OP,

，由射影定理可得：PA2=PD・PO,AD?=PD・OD.・・・（5分）

2

又由切割线定理可得PA=PB-PCf

:・PB*PC=PD・PO,

:・D、B、C、O四点共圆，…（10分）

AZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODCf/PBD=/COD,

:.丛PBDsXCOD,

PDBD八

:.—=—,…（15分）

CDOD

:・BD・CD=PD・OD=AN,

9BDAD

・・布—布.

又NBD4=NBDP+90°=NOOC+90°=ZADC,

：・ABDAs/\ADC,

；./BAD=NACD,

：.AB是△4DC的外接圆的切线，

:・/BAE=NACB.

)

2

6.如图，点力为y轴正半轴上一点,4,8两点关于)C轴对称,过点A任作直线交抛物线y=|%

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于P,。两点.

（1）求证：NABP=NABQ；

（2）若点/的坐标为（0,1）,且NP8Q=60°,试求所有满足条件的直线P。的函数

解析式.

【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.

设点力的坐标为（0,f）,则点B的坐标为（0,-t）.

设直线尸。的函数解析式为并设尸，。的坐标分别为（XP，yp）,（XQ,yQ）.由

y=kx+t

y=|x2

,2

得石d7—kx—t=

于是%P%Q=-^t,即t=-^XPXQ.

1%p2+t|%p2-2z、

于是些="-xp（xp-x（2）xp