2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第30讲 证明数列不等式：数学归纳法（解析版）

第30讲证明数列不等式：数学归纳法

一、解答题

ax

1.(2021•全国全国•高三专题练习(文))函数/(x)=ln(x+1)-----(a>l).

x+a

(□)讨论/(x)的单调性；

7a

(□)设〃1=1,。〃+1=历证明：一--(〃£N*).

〃+2n+2

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

【分析】

(□)求函数的导数，通过讨论”的取值范围，即可得到/(X)的单调性；

(□)利用数学归纳法即可证明不等式.

【详解】

解：(口)函数/(X)的定义域为(-1,+oo),f(x)―2叫,

(x+l)(x+a)'

①当1<。<2时，若xC(-1,a2-2a),则［(x)>0,此时函数/(x)在(-1,居

-2a)上是增函数，

若xG(a2-2a,0),则/(x)<0,此时函数/(x)在(/-2a,0)上是减函数，

若xe(0,+oo),则/(x)>0,此时函数/(x)在(0,+oo)上是增函数.

②当a=2时，f(x)>0,此时函数/00在(-1,+8)上是增函数，

③当a>2时，若xW(-1,0),则/(x)>0,此时函数在(-1,0)上是增函

数，

若(0,a2-2a),则/(x)<0,此时函数/(x)在(0,a2-2a)上是减函数,

若xG(a2-2a,+oo),则/(x)>0,此时函数/(x)在(a2-2a,+oo)上是增函数.

(□)由(口)知，当a=2时，此时函数f(x)在(-1,+oo)上是增函数，

当xe(0,+00)时，/(x)>/(0)=0,

即加(x+1)>---,(x>0),

x+2

又由(口)知，当。=3时，/(%)在(0,3)上是减函数，

3x

当XW(0,3)时，/(%)</(0)=0,In(x+l)<——，

x+3

23

下面用数学归纳法进行证明-±-<a„<^-成立，

n+2n+2

①当”=1时，由已知

|<«,=1,故结论成立.

②假设当〃=〃时结论成立，即三2

则当〃=%+1时，即+]=/〃(〃“+1)>ln(/+1)>—^+-^-=—^—,

女+22।2%+3

1+2

c3

33x———3

aM=ln(四+1)<ln(+1)<—+=7~~7

攵+23।§女+3

1+2、

23

即当〃=>1时，]方<%+陷=成立，

Z+3k+3

综上由①②可知，对任何〃GN•结论都成立.

【点睛】

本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性

较强，难度较大.

2.(2021•安徽三模(文))已知函数/(')=炉--3g(x)=ax(。为自然对数的底数)，

其中a£R.

(1)试讨论函数尸(x)=/(x)-g(x)的单调性；

(2)当。=2时;记函数/(%),g(x)的图象分别为曲线G,。2.在。2上取点P”(羽，％)

作x轴的垂线交G于。〃，再过点。〃作歹轴的垂线交。2于尸〃+i(xw+i,%+i)(〃WN*),且

XI=1.

①用X〃表示X〃+1；

②设数列｛编和｛1的｝的前〃项和分别为S,Tn,求证：S„-T^>n\n2.

【答案】(1)当“42时，尸(x)在R上递增；当”>2时，尸(x)在(-8,In"."4),

(ln”容1,+8)上递增，在(姑竺咚三,(In空当上递减.(2)①

X,,M=1—一1")；②证明见解析.

【分析】

(1)求出F'(x)="+!-〃=C)2一“"+1,先讨论当时，尸'(幻>0,得到单调性，令

exe'

t=ex(^>0),〃")=--勿+1,则△=a：!-4=(a-2)(a+2),再分0<。42和a>2判断导函

数尸(x)的符号，得到单调性，综合并下结论；

(2)①根据点P,.,求得点Q,.,再得到Pn+1,从而得到x,与的关系；②可用数学归纳法

证明，递推时，用到数列前〃项和和通项公式的关系，并分析两边从“=%,ZeN•到〃=%+1

时，分析左右的特点，证得不等式.

【详解】

(1)F(x)=ex-e-x-ax,则尸(x)=e，@)二""好L

exex

令r=e*(f>0),u(t)—V-tz/4-1,贝！J△=a?-4=(〃-2)(〃+2),

当。工0时，F(x)>0,F(x)在R上.递增；

当0<。42时，A<0,则〃(。之0,贝I]尸(x)》0,F(x)在R卜.递增；

当。>2时，当飞(0,空五Il)u(竺或三,+oo)时，«(0>0,

22

即x<ln”五三或x>ln”五三时，尸'(幻>0;

22

F(x)在(-oo,ln纥亚三)，(in竺或三,+oo)上递增；

22

当te("，'-4a+ylcr-4时,必⑺<0,

2'2

即xe(In丝池三,(In"必三)时，F'(x)<0;

22

F(x)在(in匕0三,(ln"必三)上递减；

22

综上可得，当时，F(力在R上递增；

当a>2时，F(x)在(_8/n”-年N)，(In空当三,+8)上递增,

在J3二2^三,(此史#三)上递减.

(2)①由题£,区,2匕)，又?3得Q,,区,源-「)，

又过点0〃作y轴的垂线交Q于P〃+i(xw+i,y〃+i),

XnXn

则%+i=*-e~=2xn+[,得xn+I=g(e-.

②可用数学归纳法证明如下

_1

⑴当〃=1时，S,=x,=1,__,

■/?-Ilnn%r+Ilnnxr?-In~

1

e—2

则左边=l-ln-^=lnT>1n2,即”=1时，不等式成立；

(ii)假设办=&,后eN*时，不等式成立,即S&—小>)ln2,

则当"=4+1时,S&+]—，+2=(S%+怎+1)-(「+i+】nxk+2)>k\n2+xk+l—Inxk+2,

又%-In%=Ine&“_ef”>“2

S

即M->—n2+xk+l-InxM>(4+1)In2,

即当〃=Z+1时，不等式也成立.

综合⑴(ii)可知，证式成立.

【点睛】

本题考查了用导数研究函数的单调性，用数学归纳法证明与数列相关的不等式，用到了数列

前”项和S”与通项册之间的关系，考查了学生分析能力，逻辑推理能力，分类讨论思想，

难度较大.

3.(2021•全国•高三专题练习)已知数歹(l｛an｝满足ai=a>2,an=7^7+2(n>2,nGN*).

⑴求证:对任意nGN*,an>2恒成立；

(2)判断数列｛aj的单调性，并说明你的理由；

4

⑶设Sn为数列｛an｝的前n项和，求证：当a=3时，Sn<2n+-.

【答案】(1)证明见解析；(2)｛an｝是单调递减的数列，理由见解析(3)证明见解析：

【分析】

(1)应用数学归纳法，证明an>2恒成立；

(2)根据函数的单调性的定义，判断〃向2—4：<0,结合an>2,可判断数列⑶｝的单调性;

(3)利用放缩法，结合数列的单调性进行证明即可.

【详解】

⑴证明:用数学归纳法证明an>2(nSN*)：

①当n=l时，ai=a>2,结论成立；

②假设n=k(k*,kGN*)时结论成立,即ak>2,

则11=1<+1时，ak+i=+2>>2+2=2,所以n=k+l时，ak+i>2成立.

故由①②及数学归纳法原理，知对一切的nWN*,都有a62成立.

(2)｛aJ是单调递减的数列.

因为4+12-4,2=an+2—4：=—(an—2)(an+l),

又an>2,所以4+|2-。;<0,所以an+|Va»

这说明｛a,,｝是单调递减的数列.

(3)证明由an+i=J/+2,得q,+；=an+2,所以—4=an—2.

根据⑴知an>2(nCN)所以=

%+24

所以an+i—2<：a一2)v(；)(an-i—2)<...<^^,(aj—2).

所以，当a=3时，an+i—2V(；),即an+i<(：)+2.

4

当n=l时，Si=3<2H—,

3

当n>2时，

Sn=3+az+a3+…+an<3+[]+2)+[(；)+2]+...+(入)+2=3+2(n—1)+

士也）=2n+l+1［l-^卜n+:

4

4

综上，当a=3时，Sn<2n+-（n£N*）

【点睛】

本题考查了数学归纳法的应用，考查了数列的单调性，考查了数列与不等式的关系的证明，

利用数学归纳法以及放缩法是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大，有一定的难度.

4.（2022・全国•高三专题练习）设数列｛七｝满足《=0,”用=⑹+1eN"）,其中c,为

实数.

（1）证明：4」［0,1］对任意〃eN*成立的充分必要条件是

（2）设0<c<g,证明：对任意〃eN*，«„>l-（3c），，_'；

i2

（3）设0<c<一,证明：对任意〃eN*，++1------成立.

31-3c

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】

（1）利用充分条件、必要条件的定义，结合数学归纳法可证得结论成立；

（2）分析可知：当“22时•，1-4,43c（l-a,i）,利用迭代法结合不等式的基本性质可证得

不等式成立；

（3）分析得知：当〃22时，a“21-（3c）i>0,再利用不等式的基本性质结合等比数列的

求和公式可证得结论成立.

【详解】

（1）必要性：根据题意可得，4=0,a2=\-c.

又•.4w[O,l]对任意〃eN,即得OVl-cWl,故ce[0,l]；

充分性：设ce[0』，用典纳法证明4」[0,1]对任意"wN*成立.

首先，对于〃=1,4=0?[0,1],结论对〃=1成立；

假设结论对〃=k(keN*)时成立，即04%V1成立，贝I]aM=c^+l-c<c+1-c=l,

"1+i=ca；+1—c*1-c4(),即得a*+is[0,1],

故可得结论对〃=%+l时成立，根据归纳原理即得对任意〃eN*，a„t[0,1]；

(2)当〃=1时，at=0=l-(3c)",结论对"=1成立；

当“22时，由(1)中结论及已知的递推关系可得：

>-«„=。(1一加)(1+的+<i)4c(l-g)(1+1+1)=3<?(1-%),

于是，1-q43c(1-的)4(Sc)?(l-a„.2)<...«(3c)"'。-％)=(3c)”’,

故a,；l-(3c)"T(〃eV)：

2

(3)当〃=1时，q=0〉2-----,结论对九=1成立；

l-3c

当〃之2时,由(2)知“fl—(3c)i>0,

故a；>[1-(3C)，，-，]2=1-2-+(3c・广2>1-2-(3cf,

于是+a；+…+a：=a；+…+a；>”-l+2[3c+(3c[+…+(30广’]

3中-（3，产]

=H-1-2X

l-3c

2[l-（3c）n]

2

=77+1->H+1-

l-3cl-3c

3ii

5.(2021・全国•高二单元测试)已知函数f(x)=av-1x2的最大值不大于且当女__

时,f(x)4.

O

(1)求a的值；

(2)设0<4<<，%+[=/(%),〃eN*,证明0<a“<-^7.

2n+1

【答案】(1)a=l；(2)证明见解析.

【分析】

(1)利用二次函数的性质，可得〃x)1Ml=/彳)4：，解得转化当xe时,

11

>结合a的范围可得=/]),求解即可.

8-8-

(2)利用数学归纳法，按照步骤证明即限

【详解】

乂“XL耳，所以同

所以即一14a§.

又函数〃x)图象的对称轴为x=W，且-;

所以当时，/(x)=

4ZJ1nhi\Z/Zo

所以上解得壮1,

2oo

所以a=l.

(2)用数学M纳法证明：

①当〃=1时，0<4<g,显然原不等式成立.

因为当X€(O,£)时，0</(x)<l,

所以0<&.

63

故当〃=2时，原不等式也成立.

②假设当〃=A(Jl>2,keN*)时，不等式。<4<]]成立.

K+1

a1

由(1)知〃X)=X-]x2,其图象的对称轴为直线》=；,

所以当时，“X)为增函数.

所以由0<4〈告斗，得0<〃4)</岛).

n“、13/1丫111"+41

于四2("『任+2)k+2,

所以当〃=Z+1时，原不等式也成立.

根据①②，知对任何〃cN.，不等式。</<+成立.

6.(2021•浙江•高三学业考试)已知数列满足：%=1,x,-1(〃eN"),证明:

当〃eN*时，

(1)0<x„+1<x„；

12I

(2)xn-2x“+|+-x„+1<-xnxn+x-

(3)2n<-+--\--1-<2n+—

X2鼻X"+l2-

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【分析】

(1)先利用数学归纳法证明%>0,然后再利用放缩法可证得结论，

⑵要证七一23+；心<；/%,只要证(1-3%.1)资”-；为用一1<0即可，令

/(x)=(1-gx)e,-；x-1(04W1),再利用导数求出其最大值小丁0即可，

(3)由(2)-2<1(x„-x„+l),然后累加化简得五+土•+…+工<2〃+；,由

x“+i2々七xn+l2

X”=X,,M+eJ>2X,,M可得生22,累加可得结论

Xn+\

【详解】

(1)用数学归纳法证明怎>0,

当〃=1时，再=1>0j

假设X*>0,

当“=%+1时，若x*+]V0,则x*=x*+[+e*“-1V0,矛盾，故%>0,

因此招>0(〃eN*),

所以演=x„+l+-1>x“+I+e°-1=演+1,

综上：x„>x„+1>0.

(2)x„-2%+|<gxn+l(x„-x„+1)=x„+l+2x,,+I-；x“+1(e”"-1)<°

0(1_%产'_；加_1<0

令/(x)=(1-gx)ex-；x-l(0a41)

则尸(x)=--ex+(l--x)e*-1=」(1-x)ex-■=■e%l-x-C)40,

222222

所以/(x)单调递减，所以/(。向)</(0)=0,所以原不等式成立，

(3)由(2)得-x“+J,

所以+^--2+•••+---2

JlX3)kxn+l)22

所以土+*+…+3-<2"+；,

七七七+|2

另一方面，因为x,=x“M+eK-122x.M，所以3-22,

Xn+\

所以有土+*+…+2-22”,

*2匕X“M

综上我们有2“<工+上+…+2<2"+；成立

W&x„+l2

7.(2021•上海•闵行中学高三开学考试)定义在R上的函数/(x)满足：若对任意的实数x#y,

有(x)-,f(y)|<|x-y]，则称f(x)为乙函数.

(1)判断/(力=1+1和g(x)="是否为L函数，并说明理由；

(2)当句时，心函数〃力的图像是一条连续的曲线，值域为G,且求

证：关于x的方程f(x)=x在区间可上有且只有一个实数根；

(3)设“X)为L函数，且"3)=3,定义数列4=1,%=；(/(4)+/),

证明：对任意〃eN*,有

【答案】(1)f(x)不是乙函数，g(x)是乙函数，理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明

见解析.

【分析】

(1)利用给定定义结合已知函数式直接验证即可得解；

⑵构造函数力(x)=/W-x,xem,加，利用零点存在性定理及反证法即可得解；

(3)根据给定条件，先证得4<3,然后利用数学归纳法证明为<“向<3对任意正整数成

立.

【详解】

(l)VXj,x2eR,x,*x2,

I/a,)-/U2)Hxf-xj|=|+x21-|x,-x21,显然lx,+三|值可以趋近于正无穷大，即

l/CG-f(期|<|办一巧1不成立,

所以函数/(X)不是乙函数；

lg(6g(%)|=|时-七]=瑞潦小叱-

而归+到JI+同++++l贝I]

(再2+])[；+1)-%；+¥+1-xf+X1+1J^+X1+l

Ig(*l)-g(*2)IV%-*2I恒成立，

所以函数g(x)是乙函数；

⑵令"x)=/(x)-x,xe[4,回，显然〃(x)的图象是[a,句上的一条连续曲线，而〃x)值域为G,

且Gu[a,〃],

于是得力3)=/(。)-aNO,h(b)=f(b)-b<0,由零点存在性定理知，方程/i(x)=0在[a,句内

有实根，

若〃(x)=f(x)-x=0在[a,6]内有两个不同的实根玉,Z,则有/1(三)=WJ(Z)=Z,即

I/(』)-/(%)1=1』-%I，

而函数〃x)是乙函数，对上述的孙匕，必有1/(不)-/(三)1<1鼻一工4|与

1/(X3)-f(xjHx3-x4|矛盾,

所以关于X的方程/(x)=x在区间[a,目上有且只有•个实数根；

(3)因函数/(另是乙函数，又〃3)=3,q=l,于是得|“《)一/(3)|<|4-3|=2,即

1</(^)<5,

出=g"(aJ+a」€(l,3),从而有q<。2<3,

用数学归纳法证明不等式：a„<an+l<3,"GN*,

①当〃=1时，不等式显然成立，

②假设〃=M,AeN*时，不等式成立，即能<必乜<3,

/(%)-八3闫/(%)-/(3)|<|4"-3|=3--，即有/(%)+/<〃3)+3=6,则

4+2=苴/(%1)+%]<3,

又“4)一/(4+i)«|/(%+i)一/(4)|<一41=4M_4，即/®)+4</(%)+%，

则\[〃4)+%]<如(4+1)+4+|],即％<%2,

从而得4+1<4+2<3,即〃=%+1时，不等式成立,

综合①②得，对任意〃GN*，有4<*<3.

【点睛】

思路点睛：数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.在用数学归纳法证明时，第

①步验算片的〃o不一定为1,而是根据题目要求选择合适的起始值；第②步，证明"=打1

时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.

8.（2021・全国•高三课时练习）已知递增等差数列｛《,｝满足4=1,且4,%，%成等比数

列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若不等式1-T—■[1-；]1—；4-7cm对任意〃wN*恒成立,试猜想实数

I2q八2aJ（2a,Jd2a”+1

用的最小值，并给予证明.

【答案】（1）%=〃；（2）猜想用的最小值且；证明见解析.

2

【分析】

（1）根据等比中项的性质和等差数列的通项建立方程，解之可求得等差数列的公差，继而

可得等差数列的通项；

（2）山当〃=1时，〃=2时，朗的范围猜想机的最小值，再运用数学归纳法证明可得答案.

【详解】

解：（1）设数歹改％｝的d（">0）,由题意可知。/％=姆，即l+3d=（l+d）2,解得d=l或&=0

（舍去）.

所以q=〃.

（2）由（1）,知不等式等价于…

2462n，2〃+1

当〃=1时.，/«>—；

2

当〃=2时，m>3"；

8

而且>主叵，所以猜想用的最小值为3.

282

下面证不等式1丫352〃-12对任意〃wN*恒成立.

-X-X-X•••------------s-.•

2462nV2n+1

用数学归纳法证明：

①当”=1时，1<号1,命题成立.

2^=2

②假设当〃=A（ZeN*）时，

同

不等式…x丝工工成立，

2462kV2I+1

6

则当〃=%+1,1352k-\2k+L22々+1,

2462k2k+212k+l2k+2

只要证TJk+lT,

12k+l2k+2J2:+3

只要证好成

只要证J2J+1J2J+3<2k+2,

只要证4/+8Z+344/+8%+4,

只要证344,显然成立..

所以对任意“wM,不等式1*352n-lT恒成立.

-X-X-X•••X-------------、一."

2462nV2n+1

所以〃，的最小值为".

2

9.(2021•全国•高三专题练习)若数列｛叫的通项公式为q=2"，"=2(logz%+1乂〃eN

&+1b-y+\b„4-1/-----

证明：对任意的〃eN*,不等式……+1成立.

伉b2bn

【答案】证明见解析

【分析】

由题意%=2〃,按照数学归纳法的步骤依次证明即可,由〃=人成立,去证明〃=%+1时,

只需证^^2仄工，可借助基本不等式

【详解】

证明：由于q=2小，故2=2(log2a,,+l)=2〃(〃€N)

所b证、十不r-A等S式、1为2〒+1•4丁+1……丁2〃+>1内I--―--7

3

(1)当〃=1时，左式=5，右式=应，左式〉右式，结论成立.

(2)假设当〃/伍wN*且421)时结论成立,

即2fL誓……2|F＞灰"，则当”=%+1时，

2+14+12k+l2k+3rr--2k+32k+3

.......>7k+1-——,

2....42k2(Z+1)................2(k+l)27m

要证"=%+1时结论成立，只需证三舞2店花，即证3F』J(%+1)伏+2).

由基本不等式知与2=（竺1）曹挈）>&k+l）（k+2）成立.

2k_|_3

故2A/T^T24+2成立,所以当〃=%+1时，结论成立.

由（1）（2）可知，对任意的〃wN*时，不等式,二……7>'"+1成立.

4,2

3111

10.（2021・全国•高三专题练习）已知函数/（》）=◎-的最大值不大于;，又当xe

26|_42

时，/（X）>|.

O

（1）求。的值;

（2）设0<q<彳，a,nwN*,证明。“<-.

2}n+1

【答案】（1）。=1;（2）证明见解析.

【分析】

（1）由函数的最大值不大于!，求得a?的范围，再由第：个条件即可求得”的值:

6

（2）由（1）知=然后利用数学归纳法证明该不等式即可

【详解】

31

（1）由于/（幻=火-；/的最大值不大于:，

np«2<i,

又当xe时，/(x)>^,

a3>1

2-8-8

a3>1

Ml4-32-8

解得,

又因为/W1,所以a=l：

3

（2）由（1）知，/。）=不一/%2,

下面用数学归纳法证明：

①当〃=1时，不等式0<〃〃<------成立;

2n+\

■/f(x)>0,xefo,-|

.•.x<a,=/(4)4，<2，故〃=2时不等式也成立：

63

②假设当〃=Z(k>2)时，不等式0<4<」一成立，

攵+1

31「1一

・.,/*)=%-万光2的对称轴为x=§,知/(幻在0,-匕为增函数，

-••由°<4,得。,

攵+13\K+17

八131111A+41

••k"Z+12(k+1)2k+2k+2k+22(&+1尸代+2)k+2'

即当〃=%+1时，不等式也成立.

根据①和②可知，对任何不等式可<」不成立

11.(2022・全国•高三专题练习)已知函数为x)的定义域为[0,1],且满足下列条件：①对于

任意xe[0,1],总有，(x)23,且/(1)=4；②若占20,-20,41,则有

/(%+%)*/(4)+/(%)-3.

(1)求10)的值;

(2)求证：/(x)S4；

(3)当xe(",击]("=1,2,3,…)时,试证明：f(x)<3x+3.

【答案】(1)3；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【分析】

(1)令占=当=0,由①，②可得/(。)=3.

(2)任取gw[0,1],且设为<々，结合已知条件可得/(%)4取升)，所以在[0,1]上递增,

所以f(x)M/⑴=4,

(3)先用数学归纳法证明:/(击)4击+3(“”)，而当xw4,击]5=1,2,3,…)时，

3x+3>3x—+3=+3>f(11)，结合函数的单调性uj得结论

【详解】

⑴解:令1=3=0,由①对于任意xe[0,1],总有/(x)N3,"(0)23

又由②得/(0R2/(0)-3,即/(0)43;A/(0)=3,

(2)解：任取西,上€[0,1],且设占<、，则/色)=/1区)]*/■(旦)+〃3一片)-3,

因为电-占>0,所以/(々-芭)23,即/(三-±)-320,

/(x,)</(x2).

.../(x)在［0,1］上递增,

...当X€[O,1]时，/（X）</（1）=4.

（3）证明：先用数学归纳法证明：/（9r）4击+3（〃wN*）

当"=1时，/（5）=/⑴=4=1+3="+3,不等式成立；

假设当“=〃时・，/（击）49+3（AeN*）

由/（击）=/号+（提+-/号）+/$+/）_3>/（染）+/*+-6得

3/（"）"（击）+64表+9.

即当n=k+\时，不等式成立

由（1）、（2）可知，不等式/（击）4击+3对一切正整数都成立.

于是，当xe（/，击]5=1,2,3,…）时，3^+3>3x^-+3=^T+3>,/'（^7r）,

而xe[0,1],〃x）单调递增

•,*/&）</（，"），所以，f（x）<f（^r）<3x+3.

12.（2021•辽宁•东北育才学校高二期末）设数列｛%｝满足4=3,an+l=3a„-4n.

（1）计算出，%,猜想｛a,,｝的通项公式并加以证明；

,11111

（2）令…、证明：厂区+广…+三

【答案】（1）%=5,%=7,%=2"+1,证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由已知直接求解％,%,猜想｛““｝的通项公式为见=2〃+1,；利用数学归纳法的步骤

证明即可；

（2）求得〃=4，=（2〃+1）2=4〃2+4〃+1>4〃5+1）,放大后利用裂项相消法求和，即可证

明结论.

【详解】

（1）由6=3,4+I=3%-4〃，

得出二3q—4=3x3—4=5,4=3%—4x2=3x5—8=7,

猜想｛6｝的通项公式为4=2〃+l.

下面利用数学归纳法证明：

当〃=1时，4=3成立;

假设当〃=左（左$N,V1）时成立，即%=2左+1,

则当〃=%+1时，&+i=3%-4Z=3（2%+1）-4Z=2%+3=29+1）+1.

，当〃=%+1时结论成立.

综上所述，对于任意〃EN,有勺=2〃+1；

22

（2）证明：bn=a^=（2n+1）=4/t+4/?+1>4n（/7+1）,

11

—<-------

bn4n（n+1）

13.（2021•山西•浑源县第七中学校高二月考）已知5,=」一+工+…+」一（〃eN*

n+\n+2〃+

（1）求、，S],$3的值.

（2）用数学归纳法证明S“吟.

1737

【答案】（1）5,=^,52=^,53=^;（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据5“的表达式求得岳,邑，

（2）利用数学归纳法的证明步骤，证得

【详解】

11cl1711137

（1）S,---=—,=-----1-----=—,3e飞=-----1-----1----=—

1+1222+12+21233+13+23+360

（2）由（1）知，当〃=1,2,3时，不等式5“士£■成立.

假设当i时，不等式成立，即&=告+击+...+捻吟,

1

当〃=攵+1时，S=------------1-------------F•••H--------------

k+[2+2k+32攵+22Z+12k+2左+1

=S*H-------------=S&+------—------〉S女之—

人2Z+12k+24（2&+1）（2攵+2）424.

综上所述，对任意〃eN,s;二成立.

14.（2021•贵州省瓮安第二中学高二月考（理））己知数列｛/｝满足4=2,

«A+I+1=2«„.

（1）求%,%，4,试猜想数列｛%｝的通项公式，并用数学归纳法证明.

（2）记数列｛In%｝的前八项和为S,,,证明：S„>lnn.

【答案】（1）%=：3，〃43=彳，5&=；，%=——n+l，证明见解析；（2）证明见解析.

234n

【分析】

（1）依题意可得《川=2-’,再一一代入计算可得，即可猜想见=四，再利用数学归纳

ann

法证明；

（2）由（1）可得ln4〃=ln（〃+l）-ln〃，再利用裂项相消法计算可得；

【详解】

证明：（1）因为。〃/+i+1=2。〃，所以〃“+i=2-J.

3

当力=1时，a=-；

22

4

当"=2时，〃3=§；

当〃=3时;%=;；

猜想〃“二四.

n

①当〃=1时，4=母=2,猜想显然成立.

②假设〃=%时\猜想成立，即

k

_1_Z:k+2(后+1)+1

则当〃=Z+1时，-=2-7=2-

17rl7Tk+\

即当,=4+］时猜想也成立.

77+1

由①②可知，猜想成立，即4=

n

〃+1

(2)由(1)知%=---.

n

〃+1

因为Inan=In----=ln(n+1)—In〃.

n

a

所以S“=如4+如％+如。3+…+如n

=In2—In1+In3-In2+In4—In3H---Fln(w+1)—Inn

=ln(«+l)>In/?.

15.(2021•浙江•杭州市富阳区第二中学高二月考)已知数列｛%｝前〃项和5“满足

<(2〃—1>3"+1.

S=------------------------------2/7.

4

(1)求数列｛%｝的通项公式为;

(2)令2=一；,用数学归纳法证明：b+b+...+h<^--~-«>2,ne^

a„+2n+[n+25ln2〃+1'

【答案】(1)a„=n-3n-'-2；(2)证明见解析

【分析】

(1)利用4与S”的关系，分〃=1,〃22两种情况，即可求出数列｛4｝的通项公式;

(2)由(1)求得数列｛"｝的通项，再根据数学归纳法的步骤结合放缩法即可得证.

【详解】

解：(I)当〃=1时，4=£=(2_：3+1_2=T,

当“N2时，

<_(2〃—1>3"+1o(2/7-3)-3--,+1n

4,=S“-S,i=-----------2n---------------2(1)

—•3"

=0----2^n-y-'-2，

4

当”=1时，等式也成立，

所以4="3i-2；

3”T1

(2)证明：由(1)得a=----=

a,+2n

117413

①当〃=2时，不等式左边=4+%=§+/五，右边=歹《=''

3一二=型二更=j_〉。，所以工<3,

5126060125

所以当〃=2时，不等式成立;

41

②设当〃=攵(女之2)时，不等式成立，即4讨+%+2+…+人”<三一丁7

52K+1

当〃=4+1时，

4+1+1+4+1+2+,,,+”2(A+1)=(4+1+瓦+2+・・・+匕24)+(为+1+4"2—"+|)

41111

<-------------------------F----------------b-------------------------------

52Z+12%+12k+2k+1

411

=—।------------

52k+2k+l

41

-5-2(I+1)

41

<-----：-------

52（%+1）+1'

,,,41

即瓦+漳++…+%*叫<--2（%+1）+1-

所以当九=%+1时，不等式也成立，

综上所述，％+%+…+邑<7--~（n>2,neN+）.

52〃+1''

16.（2021•河南南阳•高二期中）记5■为等差数列｛4｝的前〃项和，且1=20,%=1。.

（1）求S,；

（2）用数学归纳法证明：区+病+店+…+庖>吗W.eN.）.

【答案】（1）S,=1+〃；（2）证明见解析.

【分析】

（1）通过基本量列出方程组并解除，进而得到答案；

（2）分两步进行，先验证〃=1时不等式成立，其次先假设〃"时不等式成立，然后再根据

归纳假设，再证明〃=%+1时不等式成立即可.

【详解】

（I）设等差数列｛/｝的首项为4,公差为d,由邑=20,%=10得：

*+与b=20

:二;,所以*=1+”

Z，用干1寸

d=2

4+41=10

（2）证明：①当〃=1时，6=夜>1,不等式显然成立.

②假设〃=%时不等式成立，即廓+底+6+…+底>县兴

当〃=女+1时,

何+厄+我++瓜+~~'+J(Z+l)(1+2)>—^-)+J(k+l)~

_虫+1)*八一(攵+1)仕+2)

-rKI1一•

22

即〃=%+1时不等式成立.

由①②可知，对于任意不等式都成立.

17.（2021•浙江温州•高二期中）己知数列｛q｝,也,｝满足：4=；，"“+»=1，%=舍T

（1）求配打也也，猜想数列｛2｝的通项公式，并用数学归纳法证明；

（2）若5“="2+”2a3+的4+…+%,,+1，且4瓯<“对于恒成立，求实数”的取值

范围.

【答案】⑴%=3,也=/也=?，2=塔，证明见解析；(2)6(e(-00,1].

4567〃+3

【分析】

⑴根据4=%“+b”=1,%=匚/，得出々=：打=W也=?，从而猜想”=鬻,

然后再用数学归纳法求解；

(2)先表示出4as“<%,转化为只需满足(“-I)/+(3。-6)〃-8<0恒成立即可，

而二次项系数为,故需讨论4-1=0,”1>0,4-1<0,三种情况，即可求出。的范围.

【详解】

bbb1

(1)〃”二0n二(1一4)n。+〃〃)一2(2n-2)一巨

因为q=!，4=j,故打=:也=|■也=《

44567

77+2

可猜想

〃+3

3

①当〃=1时，々=彳，显然成立

②假设当"=左仅±1次wNj时成立，即仇=岩

K~rJ

则当〃=%